2023年经济数学基础微分学之导数应用

第一单元函数的单调性

一、学习目的

通过本节课的学习，了解函数单调性的概念，同时还要掌握运用一阶导数对函数在某一区

间上的单调性的判别方法.

二、内容讲解

1.本章概述

从这一讲开始讲第3章导数应用.在上一章的总结中指出，导数是特别重要的,不仅在本

课程中有很多应用，并且在将来的工作中也有很多应用.

这一章中，重要讲导数在两方面的应用：

1.导数在研究函数时的应用；2.导数在经济中的一些应用

例1股市及股市曲线

在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市.在股市上,人们特别关注股市

曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达成峰值,

哪一个时间达成低谷，低谷的值是多少？

例2生产场景及生产曲线

产量

在工业管理中，关心投入

与产量之间的关系，产量

随投入变化的情况，何时投入

在下两讲中就是要讨论这个问题.

2.单调性判别

下面一方面讨论

(-)定义3.1―函数的单调性.

什么叫函数的单调性？

1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增长，函数值也在

增长,叫做单调增长的;假如随着自变量的增长,函数值却在减少，叫做单调减少的.从函数自

身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性.

先考察y=f,它的图形是抛

物线.

在x>0处，函数单调上升；

在“C八函断的涵KR冬

当在X〉0这一边的每一点处都

有切线时，切线的特性是：切线与X

轴正向的夹角一定小于90°.

当在x<0这一边的每一点处都

有切线时，

切线的特性是：切线与x轴正向

的夹角一定大于90。.

y'=2x

当尤>0时，y'=2x>Q

当x<0时，y'=2x<0

(二)函数单调性定理3.1

设函数y=f(x)在区间&句上连续，在区间(a,份内可导.

(1)假如无€(m6)时，则f(x)在［a,6］上单调增长;

⑵假如尤e(a力)时，则加)在［a,一上单调减少.

意义:运用导数的符号判别函数的单调性.

说明：(1)闭区间［a,切换成其它区间，如(a,b),(-8,加,3+8).

(2)使定理结论成立的区间，称为尸=/(力的单调区间.

问题思考：若在区间4切内，/'(X)三°,则/U)一定是什么函数？同学们考虑的怎么样呢?

下面请同学回答这个问题.

学生甲：由于这个函数的导数是0,所以这个函数也是0.

学生乙：我不批准这种说法.根据第2章所讲的导数公式，当函数是常数时，它的导数是

0.我认为问题中的/应当是常数C.

想一想：这两位同学中，哪一位回答是对的的？

在判断哪一位同学的回答是对的的之前，先复习定理3.1.

定理3.1设函数y=f(x)在区间上连续，在区间(a,8)内可导.

(1)假如尤e(a力)时，/(%)>(2)0,则/(x)在［a,例上单调增长(不减)；

(2)假如“w(a,。)时，》(x)〈(如0,则f(x)在［a用上单调减少(不增).

“单调增长”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？

单调增长是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数

值也变大或函数值保持相等.所以，单调增长与单调不减是有一些差别的.

修改后的定理3.1如下：

定理3.1，设函数月U)在区间［a,b'］上连续，在区间(a,b)内可导

(1)假如正伍，8)时，(Q)»0,则f(x)在［a,。上单调不减;

(2)假如%€(%6)时,则於)在［a,一上单调不增.

由此我们可以说第二位同学的回答是对的的，下面给出证明.

结论:若/'(x)三0,xe［a,b］/j/(x)=c.

证：/'(幻三°=>f(x)既单调不增又单调不减n八幻=c

问题思考:单调函数的导数也是单调的吗?请举例说明.

答案不一定.例如函数f(x)=x3在区间(一8,+8)内是单调增长函数,但是其导数((x)=3x2在

区间(-8,+00)内不是单调函数.又如g(x)=ex及其导数g'(x)=ex在区间(-8,+8)内都是单调函数.

三、例题讲解

例1判别13+1的单调性.

［分析］函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断,在学了定理3.1后，就

解：:定义域为(-00,+°°)，"(无)=3/>0,%€(—8,+8),且/0

二)在(-8,+8)上单调增长.

从图形上可以看出这个函数的确在整个定义域上是单调增长的.

例2求y=2x'-9『+12x—6的单调区间.

［分析］一方面求出定义域，再运用定理3.1(运用导数作为工具)判断该函数在哪个范

围内单调增长，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0,在哪个范围内导数小

于0.因此,规定出使导数等于0的点(分界点)，再作判断.

解：：定义域为(一°°，+°°)，V=6%2-18x+12;

x2—3x+2=0；x-l)(x-2)=0；x\=1,X2=2

，单调增长区间为,+8);单调减少区间为［1,2］.

y

在右图形中XI=1,0=2是分界点，在区间（一8,1］内，函数是单调增长的；而在区

间［1,2］内，函数单调减少;在区间［2,+8）内，函数是单调增长的.

y~

例3求.1+x的单调区间.

,(1+X)—X1

y=~~7\?2-\2

解：定义域为(-8,T),(—1,+8),(1+X)一(1+X)-

X(-8,一1)-1(-1,+8)

y'+X+

yXX

单调增长区间为（-8,-1）,（-1,+°0）

从图形中看出，该函数的确在整个定义域内是单调增长的.

归纳:求函数单调区间的环节：

①拟定/（制的定义域;②求/'（X）=0和/（x）不存在的点,并组成若干子区间;

③拟定:（X）在每个子区间内的符号，求出f（X）的单调区间.

例4当x>0时，试证1n(l+

2

[分析]先建立一个函数尸(x),将问题转化为函数单调性讨论的问题；再运用导数判断F(x)

的单调增长性，得到要证明的结论.

1X2

1F\x)=-----(!-%)=——>0

证:尸(%)=ln(l+%)—(X-1)•••1+x1+x

，户(x)单调增长.又尸(0)=0,故当x〉0时，尸(x)>0；即ln(l+x)x-^x2.

四、课堂练习：求函数〃%)=x-e'的单调区间.

分析：求函数./U)的单调区间的环节为：1.拟定函数/(x)的定义域.

2.求出函数f(x)在其定义域内13)=。的点和导数不存在的点，将这些点由小到大排列,把定义

域提成若干子区间.

3.拟定了'(X)在每个子区间内的符号.通常的做法是:在该子区间内任取一点沏，鉴定广(xo)的符号,

由于/(%)在该子区间内单调，故的符号就是广(x)在该子区间内的符号.

4.根据每个子区间内,'(X)的符号，拟定f(x)的单调增减性，得到f(x)的单调区间.运用幕函数和指

数函数求导公式求之.

a,_ct—\f

[(1隔函数求导公式：若y=x，则y=ax；(2)指数函数求导公式：若丫=廿，则'=e\解:由于

xv

f(x)=x—e"的定义域为(-8,+8),且/(.=(x—e>)=-(e*,-1-eo]

五、课后作业

1.已知函数y=/(x)的导数如下，问函数在什么区间内单调增长？

(1)/(x)=x(x-2)；(2)/(x)=(x+l)2(x+2);(3)/(x)=x3(2x-l)；(4)，(x)=——-~r

(x+1)

2.求下列函数的单调区间：

(1)式x)=f-5x+6;(2)f(A:)=—；(3)f(x)=x4—2x2+1;(4).4x)=x?—Inx

1（1）（一8,0],[2,+8）；（2）[-2,+8）；（3）（-8,0]15'+8）（4）（-1，+8）.2.⑴（一00,*]是单

2

调减少区间,[g,8）是单调增长区间；（2）（-00,0）,（0,8）是单调减少区间；（3）（—00,—1],[0,1]是单调减

少区间，[一L5JL+8）是单调增长区间;（4）（0,与-]是单调减少区间，[三,8）是单调增长区间.

第二单元函数极值

第一讶函数极值及存在条件

一、学习目的

通过本节课学习，理解极值概念和极值存在的必要条件,掌握极值的判别方法和极值的求

fe.

二、内容讲解

（1）极值概念

定义3.2——极值概念

设函数/（x）在点xo的某邻域内有定义.假如对该邻域内的任意一点x（x*xo）,恒有/

（》产合）f（xo）,则称f（xo）为函数"X）的极大（小）直称X。为函数"X）的极大（小）值点.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

大家看下面这个图形：

在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点XI,X2,X5

和两个端点.

哪些点是极大值点呢？可以看到小是极大值点,X4也是极大值点.

端点6是不是极大值点呢？极大值点是指它的函数值要比周边的值都大,而端点6的

右边是没有函数值，所以它不是极大值点.

再找一找哪些是极小值点？X2是一个极小值点，X5也是一个极小值点.

X3是极大值点还是极小值点呢?不是，它不是极值点，由于找不到一个小范围，使它的函数

值成为最大或最小.

(2)极值求法

下面运用这个图形来解决如何求极值点的方法.

分析函数在极值点处具有什么特性.

XI是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，并且切线是一条水平线；X5

是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线.由此可得到,

若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数

为0.

定理3.2一一极值点必要条件

假如点无。是函数f(X)的极值点，且/'(xo)存在，则/'(xo)=O使/'(xo)=O的点，称为

函数/(x)的驻点.

定理3.2表达，假如一个点是极值点,并且在可导的条件下,这个点一定是驻

这样,极值点可以在驻点或不可导点处找到.

说明：1.若/（X。）不存在，则X0不是.为X）的驻点.

2.定理3.2是极值存在的必要条件.

根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点.但是，驻点并不一定是极

y=^

值点.例如：函数在心=0

处，/（xo）=O,由图可知，xo=O不是极值点.

因此，请大家想一想：

极值存在的充足条件是什么？

回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析.

从这个图形中很容易的看出，函数/（x）在点xo处达成极

大,xo是极大值点.当然，函数在这一点处切线是存在的，函数

在这一点是可导的，并且满足极值的必要条件/（xo）=0.

特性：点xo的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边

曲线是下降的，即斜率小于0.

由此可知，在可导的条件下,极值点的左右两边的导数符号

是不同样的.

从图形上显然看出xo也是极大值点，但在这一点处导数不存在,这个极大值点是不可导点.

特性:在点X0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点X0是极大值点，则它左边的导数

大于0,右边的导数小于0.

由这两个图可知，若xo是函数/(x)的驻点或不可导点，且在点xo的左、右两边的导数由

正变负，则XO是极值点，并且是极大值点.这一结论具有一般性，它是充足条件的一部分.

再看极小值点.从图中很容易发现X0是极小值点.由

于X。是/'(x)的可导点，所以满足极值的必要条件/(xo)=O.

若X0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0,即导数值

大于0；而在左边,它的斜率小于0,即导数值小于0.所以，一

个驻点是极小值点时,它的左、右两边的导数符号也是不同样

的.

xo是这个函数极小值点，但是不可导点.它所具有的特性是:在可导的条件下,次右边的导

数大于0,xo左边的导数小于0.

归纳：只要次满足极小值点的必要条件,那么在xo左右两边函数可导的条件下，左右两边

的导数符号是不同样的，并且从左到右,导数的符号从负的变为正的.

在这种情况下,刈不是极值点.在3左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致

的.也就是说，尽管xo满足了极值点的必要条件/(刈)=0,但在次的左右两边，导数不变号,

因此可以肯定X0不是极值点.X0也不是函数的极值点，且在X0左右两边，导数的符号是同样

的.

由上面的分析可以归纳出判别极值点的充足条件.

y

定理3.3——极值点的充足条件

设函数/U）在点xo的邻域内连续并且可导（兀的可以不存在）.假如在点工。的左邻域内

/'（X）＞（＜）0,在点xo的右邻域内/'（x）＜（＞）0,那么心是，无）的极大（小）值点，且/

（X0）是/（X）的极大（小）值.

假如在点X。的邻域内，/'（X）不变号，那么X。不是f（x）的极值点.

问题思考:若X。是f（x）的极值点，则一定有广（xo）=O吗？举例说明.不一定.例

如，1（左）=国，*6（—8,+。。），那么,40是/（X）的极值点.但在x=0处，/（X）不存在.

三、例题讲解

例1设函数产e'-x+l,求驻点.

［分析］驻点就是使导数等于（）的点.

解：=ev—1,由，=ev-l=0,得x=0

注意：这里求出的40不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点.可导函数

『（xo）=O是点心为极值点的必要条件，但不是充足条件.

例2设y=x-ln（l+x）,求极值点.

［分析］一方面求定义域,然后运用必要条件求驻点和不可导点,再运用充足条件进行判

别,拟定极值点.

yr=］-=0

解：定义域（T+8）,-1+X,解得X=0（驻点）

X(-1,0)0(0,+8)

—0+

极小值点

在40的左右两边，V的符号由负变正，故x=0是极小值点.

例3设＞=(/一尢+7求极值点.［分析］一方面求定义域,然后运用必要条件求驻点和

不可导点,再运用充足条件进行判别,拟定极值点.

解:定义域(―8，+8)；y=x3-1,4o处导数不存在，*=1是驻点.

X(-8,0)0(0,1)13+8)

-X-

y'+0

极小值点极大值点

在1=0的左右两边，V的符号由负变正，故尤=0是极小值点；

在*=1的左右两边，V的符号由正变负，故x=l是极大值点.

3

yx___X-4--

例4设.34,求极值.

［分析］一方面求定义域，然后运用必要条件求驻点和不可导点，再运用充足条件进行判

别,拟定极值点，最后写出极值.

解：定义域(一心+⑹，在x=0的左右两边V同号，故x=0不是极值点；

在户1的左右两边，V的符号由正变负，故x=l是极大值点.

X(-8,0)0(0,1)1Q，+8)

yf++0—

极大值^2

求函数极值的环节：

(1)拟定函数/(九)的定义域，并求其导数广(龙)；

(2)解方程/(x)=0,求出/(x)在定义域内的所有的驻点;

(3)找出/(X)所有在定义域内连续但导数不存在的点；

(4)讨论/(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，拟定函数兀r)的极值点；

(5)写出函数/(x)的极值点和极值.

四、课后作业

1.求下列函数的极值：

3-16

(1)/(x)=—X3-x;(2)f(x)=x9+—；(3)式工)=%2_1n(1+%);(4)f(x)=x2e-x

4x

y(l)=-l

1.⑴极小值4；(2)极小值.(2)=12；

,ZV3-1..V3.1+M

2222

(3)极小值；(4)/(0)min=0,/(2)max=4^

第二艺函数最值

一、学习目的

通过本节课学习，了解最大值、最小值的概念，知道极值与最值之间的关系，掌握最大值、

最小值问题的解决方法，纯熟掌握解决一些应用问题的方法,特别是求解经济应用问题最值的

方法.

二、内容讲解

1.最大值、最小值及其求法

(1)极值与最值的区别：

极值是在其左右小范围内比较;最值是在指定的范围内比较

所以,说到最大(小)值,要使问题提得明确,就必须明确指定考虑的范围.假如在指定的范

围内函数值达成最大，它就是最大值.

这个函数在区间［a,b］内的极大值点是Xi,1;极

小值点是X2,Xs.现在要问这个函数在闭区间［“，6］上最

大值点是哪一个，那么应当是整个指定区间上曲线最

高处的点就是最大值点.从图中可以看出，端点6处的

X函数值最大,所以点。就是该函数在区间［。，6］上的最

大值点.

y

同样，从图中可以看出即是区间［a,6］上最小值

点.

若将人点往左移至与,从图中可以看出，最大值点是

九4,而最小值点仍然是尤2.

若将区间改为［々，%］,则最大值点仍然是X”,最小

值点仍然是X2.

明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法

也就较容易得到了.

函数在吊力］上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中.

(1)端点：a,b；(2)驻点：使/(x)=0的点；(3)不可导点：/(x)不存在的点.

2.函数的最值概念(定义3.3)

最值的求法：①极值是在局部范围内比较;②最值是在指定的范围内比较.

求函数最值的环节：

①求导数7%);

②解/(%)=0,求出f(无)的驻点;

③找出/(x)连续但/'(x)不存在的点；

④比较/(x)在驻点、导数不存在点和端点处的值，拟定最大值和最小值.

问题思考：函数最值一定是函数极值吗？何时极值一定是最值？

极大（小）值只是在极值点附近的局部最大（小）值,而最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，它也

许在区间的端点处达成.因此，最大（小）值不一定是极大（小）值.

若于（X）在区间［a,b］上连续,在（a,b）内可导,且/（X）在［a,b］上有唯一极大（小）值点，则fM在

■，刃上的极大（小）值就是最大（小）值.

三、例题讲解

例1求y=/一3f-9x+5在［-4,4］上的最大值和最小值.

［分析］也许成为最值点的是端的、驻点和不可导点.因此，先求驻点和不可导点，再比

较这些点和端点处的函数值的大小，拟定最大值和最小值.

解：y=3x2-6x-9=3（x'-lx-3）=3（x+l）（x-3）=0xi=-1,x

2=3

-4-134

y-7110-22-15

所以，最大值为y（-1）=10,最小值为y（-4）=-71.

说明：不用判别T,3是否为极值点，只要计算-4,-1,3,4处的函数值,拟定最大值和

最小值.

\_

例2求产x（x—l）3在12,2］上的最值点.

3——x=-

解：（X-1）=（尤-1）・=0,4（驻点），且尤=1处导数不存在，所以，最小值

2

点为尤=4,最大值点为尤=-2.

2

-212

4

31-3

y一2（-3户4（-4）02

44

例3将边长为30cm的一块正方形铁皮的四角截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折

所以心=5是V的极大值点，也是V的最大值点.即截掉的小正方形边长5cm时,所得方

盒的容积最大,最大容积为V=5(30-10)2=2023cm3

说明：

1,解应用问题，一方面要建立数学模型，建立模型的第一步是设变量，再用这个变量把

问题用数学语言描述出来.

2.假如F(x)在出，句上连续，在(a力)内可导，并且/是/(x)在(a,8)内的唯一驻

点,那么当xo是/(x)的极值点时，次一定是/(x)在出⑶上的最值点.

四、课堂练习

1.求下列函数的最大值和最小值：

X21

77~[一~JJ

(1)F(x)=x+«l—x,[-5,1]；(2)；(x)=l+x2

2.求200m长的篱笆所围成的面积最大的矩形尺寸.

3.在半径为R的半圆内，内接一矩形，问①矩形的边长为什么值时，矩形的面积最大?②矩

形的周长最大？

1.(1)最大々)一最小/(-5)=疾-5：⑶最大"5)一,⑴一5,最小f(o)=o.

2.当矩形的长和宽都是50nl时，围成的面积最大.

当

3.①当矩形的长和宽分别是正R和2时，矩形的面积最大;

②当矩形的长和宽分别是半氏］/?时，矩形的周长最大.

第三单元导数在经济分析中的应用

毅一艺边际与边际分析

一、学习目的

通过本节课学习，了解边际成本、边际收入、边际利润的概念，会求成本、收入、利润等

经济函数的边际值和边际函数.

二、内容讲解

边际与边际分析

定义3.4——边际成本

在引进导数概念时，我们己经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的工厂中，可

以知道总成本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即总成本除总产量就是平

均成本.同时又引进了边际成本的概念,就是总产量达成一定期刻，再增长生产一个单位产

量时，单位成本增长量.下面具体看一个例子.

c（q）

q——产量；c（q）——成本函数；q——平均成本函数

c'（q）—产量为。时的边际成本函数

经济意义:产量为4时，再生产一个单位产品所增长的成本.

定义3.5一—边际收入

收入是销售量或产量的函数，因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数.设4一一销售

R⑷

量；氏①）——收入函数；q——平均收入函数

R'（q）——销售量为q时的边际收入函数

经济意义：销售量为。时,再生产一个单位商品所增长的收入.

定义3.6——边际利润

想一想利润是如何产生的？

已知成本c⑷，收入R⑷，那么利润W）=R⑷-C（“）

且边际利润L'（q）=R'（q）-c（q）

想一想边际利润的经济意义是什么？

这堂课我们讲了三个问题，即：

成本函数的导数称为边际成本；

收入函数的导数称为边际收入；

利润函数的导数称为边际利润.

思考题：当边际利润大于0,即“①。）＞°的意义是什么？

答案:关于利润〃/，若"（%）〉（），即在销售量为4。时的边际利润大于0,它意味着增

长销售量，利润还能增长.

问题思考：平均成本与边际成本有何区别？

平均成本e是在不同的产量下每单位产量的成本,它是产量在范围［o,q］内的平均.边际成本c是产量

为4单位时，成本C0）的增量AC与产量的增量△4的比值当△"-（）时的取值,也就是产量为“单位时总成

本C（4）的瞬时变化率.

三、例题讲解

例1一公司的每日成本C（千元）是日产量q（台）的函数。囚）=4（）0+24+5而，求：（1）

当产量为400台时的成本；（2）当产量为400台时的平均成本；（3）当产量由400台增长到48

4台时的平均成本；（4）当产量为400台时的边际成本.

解（1）当产量为400台时的成本为：C（400）=4（X）+2x4（X）+5VW=i300（千元）

C(400)=1300=325

(2)当产量为400台时的平均成本为：400一年一'(千元/台)

(3)当产量由400台增长到484台时的平均成本：

C(484)-C(400)1478-1300,

---------------------=---------------=2n.1119A

484-400484-400(千元/台)

C'(q)=(400+2g+5旧=2+

(4)当产量为400台时的边际成本为：2羽

Cf(400)=2+:“=2.125

所以，2JOO(千元/台)

例2某产品的销售量4与单位价格P之间的关系为4=1200-3p

(1)写出收入函数R与夕之间的关系；

(2)计算销售量达成300时的收入；

⑶销售量由300增长至360时，收入增长了多少？

(4)在这个过程中平均多销售一单位时，收入增长多少?

(5)求销售量为300时的边际收入.

11

27

/?(?)=pq=~(1200-q)q=400q--q

解：(1)收入函数R与4之间的关系为:

1,

/?(300)=400x300——x3002

(2)销售量达成300时，收入为：3=90000

(3)销售量由300增长至360时,收入增长了：氏(360)一夫(300)=100800-90000

(4)在这个过程中平均多销售一单位时，收入将增长：

R(360)—R(300)10800

--------------------=---------=180

360-30060

12

R'(q)=(400q——q2)'=400——q

(5)由于33

所以，销售量为300时,边际收入为:R'(300)=200

例3某公司天天的产量均能售出，售价为490元/吨，其每日成本C与每日产量"之间的

函数为C（q）=2000+450^+0.02^

（1）写出收入函数；（2）写出利润函数；

（3）求利润函数的导数，并说明其经济意义.

解⑴收入函数为：R（4）=490q

（2）利润函数为：L（q）=H（4）-C⑷=4904-（2000+450q+0.02/）

=-2000+40^-0.02<72

（3）利润函数的导数为：〃⑷=（一2000+40"0.02q2），=40_（）Eq

利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达成4时,，再增长单位产量后利润

的改变量.

例4某厂每月生产q（百件）产品的总成本为。⑷=4?+2乡+100（千元）.若每百件的销售价格

为4万元,试写出利润函数，并求当边际利润为0时的月产量.

解：已知4（百件），C①）=/+24+100（千元），，=40（千元/百件）

（1）利润函数为：必）=40"（/+2”100）

（2）边际利润为〃①）=40-（2q+2）=38-24

令Z/（q）=0,即//（4）=38—2<7=0,得4=19

请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系.

四、课堂练习

R（g）=800”JqNO）

某种产品的收入R（元）是产量g（吨）的函数4求：（1）生产200吨

该产品时的收入；（2）生产200吨到300吨时收入的平均变化率；（3）生产200吨时的边际收

入.

800(/--

分析：求产量为4=200吨时的收入只需将4=20°代入收入函数??(<7)=4求之；求产量从200

吨到300吨时的收入的平均变化率，只需先分别求出产量为200吨时的收入，产量为300吨时的收入，然后

AR(q)R(300)-R(200)

运用平均变化率公式=300-200求之.求产量为4=200吨时的边际收入，只需先求出边际

收入函数*⑷，然后将q=200代入边际收入函数R'(q),求出农仁⑼.

五、课后作业

1.某工厂每日产品总成本。(百元)与日产量q(kg)的关系为C⑷=4q+2北+500

求日产量为900kg时的边际成本.

2.某厂每月生产q(百件)产品的总成本为C(q)=/+2q+10O(千元).若每百件的销售价格

为4万元,试写出利润函数£(q),并求当边际利润为()时的月产量.

4—2

L30百元/kg.；2"⑷=3的-「100/=19百件

第工艺需求价格弹性

一、学习目的

通过本节课学习，了解需求弹性的概念，会求需求价格弹性.

二、内容讲解

定义3.7——需求价格弹性

设某产品的单位售价夕，该产品市场需求量q,则它的需求函数为GF(p)

需求函数的导数为：q'(p)

价格由。增长到p+、P,则需求由4(/?)增长到式夕+△〃).

△Pq(p+Ap)-q(p)

价格提高的比例p，需求改变的比例勺⑺

两个百分数之比(平均比率)

瞬时比率，即当八八。时，对需求影响的比例为

11m上x45+即…⑺J，（P）

Mq（p）△〃=4（，）=Ep

称为需求价格弹性，简称需求弹性，记为J.

边际问题和经济分析中的最值

边际成本、边际收入、边际利润；经济应用中的平均成本最小，收入、利润最大的问题.

需求价格弹性一一需求的变化是依赖于价格变化的，即当价格提高1%时，需求的变化是

比例.

问题思考:请写出需求价格弹性公式,解释它的经济意义.

需求价格弹性的公式是Ep=q（p）经济意义是：当价格下降（上升）1%时，需求将增长（减少）

的比例.

三、例题讲解

例1已知需求量g（单位:百件），价格〃（单位：千元），需求价格函数为:

式p）=15e3,2e[3,10],求当p=9时