2023届高三数学一轮基础巩固第11章第1节两个计数原理理（含解析）北师大版

PAGE1-【走向高考】2０16届高三数学一轮基础巩固第1１章第１节两个计数原理(理)北师大版一、选择题１.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.１0种 B．2０种Ｃ．25种ﻩD.3２种[答案]D[解析］因为每人均有两种选择方法,所以不同的报名方法有２5=32种．2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法为（)Ａ.6种 Ｂ.5种C.3种 D．2种[答案］B[解析]有３+2=5种.3．６位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有()A．2４0种ﻩB.３60种C.４80种ﻩD.７20种[答案]Ｃ［解析]本题考查了排列问题的应用．由题意,甲可从4个位置选择一个,其余元素不限制,所以所有不同次序共有Aeｑ\o\aｌ(1,4)Aｅｑ\ｏ＼al（5,５)=480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论．4.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如２８１6)的方法设计密码,当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有()Ａ.９0个 B.99个C.100个ﻩD．112个[答案］Ｃ[解析]由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定,则只考虑千位、百位即可,千位、百位各有1０种选择，所以有１０×10＝100(个).5.某单位有7个连在一起的车位，现有３辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的４个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为(）A.16 B．1８C．２４ D．32[答案]C[解析]若将7个车位从左向右按１~7进行编号,则该３辆车有４种不同的停放方法：(1）停放在1~３号车位；（２)停放在5～7号车位;(３)停放在1,２,7号车位;(４)停放在1,６，７号车位．每一种停放方法均有Aeq＼o\aｌ(3,3)=6种,故共有２4种不同的停放方法．6.某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料,则甲必须先投放，则不同的投放方案有(）A.10种ﻩＢ.１2种C．15种ﻩD．16种[答案]Ｃ[解析]依题意,可将所有的投放方案分成三类,①使用甲原料，有Ceq\o＼al（１，3)·１＝3种投放方案;②使用乙原料,有Ceq＼o\ａl(1,3)·Ａeq\ｏ＼al(２,2)=6种投放方案;③甲、乙原料都不使用，有Aeq\o＼al（2，３)=６中投放方案，所以共有3＋6＋６＝1５种投放方案．二、填空题7.(原创题）美女换装游戏中，有5套裙子，4双鞋子,３顶帽子,要求裙、鞋、帽必须且只能各选择一件，则有________种装扮方案.[答案］6０［解析]根据分步计数原理知,有5×４×3＝60种．８.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人,分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第３，4名,大师赛共有________场比赛．［答案]16[解析］小组赛共有2Ceq＼o\aｌ(２,4)场比赛;半决赛和决赛共有２+2=4场比赛;根据分类加法计数原理共有２Ceq\ｏ\al（2,4)＋４=16场比赛．９．农科院小李在做某项试验中,计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这６种种子中选出4种,分别种植在4块不同的空地上(１块空地只能种1种作物），若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有_＿_＿___＿种．(用数字作答)［答案]120[解析]由已知条件可得第１块地有Cｅq\o\al(１,2）种种植方法,则第2～４块地共有Ａeｑ\o\ａl（3,5）种种植方法,由分步乘法计数原理可得,不同的种植方案有Ｃeｑ\o\ａl(1,2)Aeq\o\aｌ(3，5)＝120种.三、解答题10.一个口袋里有5封信,另一个口袋里有４封信,各封信内容均不相同.(1）从两个口袋里任取一封信,有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法?［解析］(1）任取一封信,不论从哪个口袋里取,都能单独完成这件事，因此是两类办法．用分类加法计数原理,共有５＋4=9(种).(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取,都不能算完成了这件事,因此应分两步骤完成.由分步乘法计数原理,共有5×４=２0(种)．(３)第一封建信投入邮筒有4种可能,第二封建信仍有4种可能,…,第九封建信还有4种可能.由分步乘法计数原理可知,共有４9＝2６2144种不同的投法.一、选择题１．如图,Ａ、B、C、D为四个村庄,要修筑三条公路，将这四个村庄连起来,则不同的修筑方法共有（)Ａ.8种 B．1２种C.１6种 D.2０种[答案］C［解析]修筑方案可分为两类，一类是“折线型”,用三条公路把四个村庄连在一条曲线上（如图(1),A－B-C-D)，有eq\f(1,2）Aeq\o\ａl（4,4)种方法；另一类是“星型”,以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三个村庄(如图(2)，A－B，A－C,Ａ－Ｄ)，有４种方法.共有12＋４＝1６种方法.2．如图，用6种不同的颜色把图中A、Ｂ、Ｃ、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色共有()A.400种 B．460种Ｃ．4８0种 D.49６种［答案］C[解析]从A开始，有６种方法,B有５种，Ｃ有４种，D有4种,∴不同涂法有6×5×4×４=480(种)，故选C.二、填空题3.用数字2、3组成四位数,且数字2、3至少都出现一次,这样的四位数共有_＿__＿＿__个.(用数字作答）[答案]1４[解析］数字2,3至少都出现一次,包括以下情况:“2”出现1次,“3”出现3次，共可组成Ceq＼ｏ\al（1,4)=4(个)四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成Cｅq\o\al(2,4)=6（个）四位数.“2”出现3次，“３”出现1次,共可组成Ceｑ\o\ａl(3,4)=4(个）四位数.综上所述,共可组成1４个这样的四位数.４.江西省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程共学生选修,其中A、B、C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案.（用数值作答)[答案]75[解析]第一类，若从A、B、C三门选一门有Ceq\o＼al(1,3)·Ceｑ\o＼aｌ（3，6）＝6０(种）,第二类,若从其他六门中选4门有Ceｑ＼o\al(4,6)=1５(种）,∴共有6０+1５=75种不同的方法.三、解答题5．已知集合M={－3,－2,－1，0,1,2｝，P（a,b）表示平面上的点(ａ，b∈M)，问(1）P可表示平面上多少个不同的点？(2)Ｐ可表示平面上多少个第二象限的点?(３)Ｐ可表示多少个不在直线y＝x上的点？［分析]完成“确定点P”这件事需依次确定横、纵坐标,应用分步乘法计数原理．［解析]（1)确定平面上的点P（a,b)可分两步完成:第一步确定ａ的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值,也有６种确定方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上的点数是6×6＝36个.(2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a,由于a<0，所以有３种确定方法;第二步确定ｂ，由于ｂ>0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是３×２＝6.(3）点P(a,b）在直线y=x上的充要条件是a＝B.因此a和ｂ必须在集合M中取同一元素,共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.由（1)得不在直线ｙ＝ｘ上的点共有3６-6=30个.[点评]利用分步乘法计数原理解决问题:①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事．６．编号为Ａ,B,C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,２号，B球必须放在与Ａ球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种?[分析]根据A球、B球所在位置进行分类讨论.[解析]根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则Ｂ球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C，D,E有Aeq\ｏ\al(3，３)＝6种不同的放法,则根据分步计数原理，此时有Aeｑ＼o\al（3,3）＝６种不同的放法；（2)若A球放在5号盒子内，则Ｂ球只能放在４号盒子内,余下的三个盒子放球C，D，E有Ａeq\o\aｌ(3，3)＝６种不同的放法，则