人教A版高中数学高三一轮3-7解三角形学案

高三一轮复习3.7解三角形学案【考纲传真】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．【知识扫描】知识点1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C变形形式(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_CcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角知识点2在△ABC中，已知a，b和∠A时解的情况∠A为锐角∠A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解知识点3三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．必会结论(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，其变式有A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝coseq\f(C,2)；④coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\f(C,2).(3)正弦定理的公式变形eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).2．必知联系在三角形中大角对大边，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，余弦值则相反，即在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A>B，则必有sinA>sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则B＝45°或135°.()(4)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).()2．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C.eq\f(10\r(6),3)D．5eq\r(6)3．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)且b<c，则b＝()A．3 B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)4．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，则△ABC的面积为________．5．(2015·山东高考)设f(x)＝sinxcosx－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．规范解答4．正、余弦定理的综合应用(12分)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．【规范解答】(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.2分因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理，得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).5分(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).6分在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.8分故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝分由(1)知，AB＝2AC，所以AC＝分【解题程序】第一步：利用面积公式将△ABD与△ADC的面积表示出来；第二步：利用面积关系得到AB与AC关系，进而求出eq\f(sinB,sinC)的值；第三步：由面积之比得出边之比，求出BD；第四步：在△ABD和△ADC中利用余弦定理将AB2与AC2表示出来；第五步：利用cos∠ADB与cos∠ADC的关系得出边之间的关系，求出AC.【智慧心语】易错提示：(1)不能正确利用面积公式及∠BAD与∠DAC的关系，得不到eq\f(sinB,sinC)的值．(2)不能够活用余弦定理，忽视cos∠ADB与cos∠ADC的关系，不能求出AC的值．防范措施：(1)合理选择面积公式，应用已知条件将三角形的面积之比转化为边长之比．(2)巧用∠ADB与∠ADC的关系，结合余弦定理得到三角形的边长之间的关系，利用方程思想求出AC.参考答案1.【解析】(1)正确．A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.(2)错误．由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b<a知，B<A.(4)正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2.【解析】由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(10,\f(\r(3),2))＝eq\f(c,\f(\r(2),2))，∴c＝eq\f(10\r(6),3).【答案】C3.【解析】由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c，∴b＝2.【答案】C4.【解析】∵cosC＝eq\f(1,3)，0<C<π，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×2eq\r(3)×eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3).【答案】4eq\r(3)5.【解】(1)由题意知f(x)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))),2)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1－sin2x,2)＝sin2x－eq\f(1,2).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得－eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z；由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，可得eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)；单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝sinA－eq\f(1,2)＝0，得s