人教A版高中数学必修四 第一章 三角函数 《任意角的三角函数》学习过程

PrsinrcosxtancotxsecxrryPrsinrcosxtancotxsecxrry1.2意的角数学过知点：角函定在直角坐标系中，设是一个任意角α终边上任意一点（除了原点）的坐标为

(y

，它与原点的距离为

r(r|x

y|

x

，那么y（）值叫做α的正弦，记，

yr

；x（）值叫做α的余弦，记作，

xr

；y（）值叫做α的正切，记作，

tan

yx

；（）值

叫做的余切，记作，

；r（）值叫做α的正割，记作，

sec

rx

；（）值

r

叫做的余割，记作，

csc

r

．知点：角函的义、域①的边与轴的非负半轴重合的终边没有表明一定是正角或负角α的大小，只表明与α的终边相同角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的α，六个比值不以点的改变而改变大小；

P(x

在的边上的位置③当

2

Z)

时α的边在

轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，以

tan

ysec与

rx

无意义；同理，当

)

时，

r与无意义；yyr

r④除以上两种情况外，对于确定的α，比值、、、、、分是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函

rrxrx为正为正xkrrxrx为正为正xkO数，以上六种函数统称为三角函数。三角函数的定义域、值域函

数

定

义域

值

域y

R

[1,1]cos

R

[1,1]y

{

2

}

R知点三角数符由三角函数的定义，以及各象限点的坐标的符号，我们可以得知：y①正弦值对第一二限为（

y0,r

第四象限为（

yr

x②余弦值对第一四限为（

xr

于二、三象限为负（

y③正切值对第一、三象限为正（

y

同号于二、四象限为负异号说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。sin

、余

、正

、余cot

全正

为正

y

x

yy-

x知点：导公由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：

，cos(kcos

，其中．ktan

，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为～π间角的三角函数值问题．知点：角函线定：设任意角的点在原点，边与轴负半轴重合，终边与单位圆相交与点

(x,y)

，

TrrrTrrr过P作轴垂线，垂足为M过点

(1,0)

作单位圆的切线它与角的边或其反向延长线交与点.

T

o

o

T（Ⅱ）

（Ⅰ）

T

o

o

A

（Ⅲ）

（Ⅳ）由四个图看出：当角的边不在坐标轴上时，向线段

OMx,MP

，于是有

yr

xxOM，，

yMPATxOM

．我们就分别称有向线段学结1．三角函数定义

MP,AT

为正弦线、余弦线、正切线。

ytan，，，

cot

，

sec

rx

，

r2．三角函数的定义域、值域函

数

定

义域

值

域y

R

[1,1]cosy

R{

2

}

[1,1]R

krkr3．三角函数的符号csc

为正

全正cot

为正

cos

为正4、诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：sin

，cos(k

，其中．ktan

，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02π间的三角数值问题．5、三角函数线的定义：由四个图看出：当角的边不在坐标轴上时，向线段

OMx,MPy

，于是有

yr

xxOM，，

yMPATxOM

．我们就分别称有向线段典例

MP,AT

为正弦线、余弦线、正切线。例、知角α的终边经过点

(2,

，求α的六个函数制值解析：为

x所r

2

2

，于是

y322；cosrr

；tan

yx2

；

cot

xy

；sec

r13x

；

rcscy

．例．下列各角的六个三角函数值：（）0；（）；（3）

2

．

11解析）因为当

时，

r

，

，所以sin0

，

0

，tan

，

0

不存在，

，

不存在。（）为

时，

，

y

，所以sin

0

，

，tan

，

不存在，sec

，

不存在。（）为当

2

时，

x

，y

，所以322

，tan

3不存在，cot2

，sec

3不存在，csc2

．例．知角α的终边过点

(aa

，求的六个三角函数值。解析：为过点

(a)(，所以r|

，

x,a当a

yar5|a|5

；

xr

；

tan

2;cot

152

；当

yaa5a时r5|axar5a5

；

；

2;cot

．例、利用三角函数线比较下列各组数的大：1cot

45

42与2tan与tan3cot353

与解析：如图知：4sin35

2

2

B1

AT2tancot

4tan35235

T

1

TT例．用单位圆寻找适合下列条件的03601sin

12

2tan

33解析：

y

y

2

1

30x30例．利用位圆写出符合下列条件的角

2103090270的范围。

A

x（）

x

1；（）cos；22（）

0x

1