函数曲线的凹凸性与拐点

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关于函数曲线的凹凸性与拐点第1页，课件共13页，创作于2023年2月观察下列两图的特点：一、曲线的凹凸性与拐点第2页，课件共13页，创作于2023年2月１.曲线凹凸性的定义定义2.6

若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的,(a,b)为曲线的凹区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.第3页，课件共13页，创作于2023年2月

在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?2.曲线凹凸性的判定上图可见：

切线斜率k↗

凹曲线第4页，课件共13页，创作于2023年2月上图可见：

凸曲线

切线斜率k↘第5页，课件共13页，创作于2023年2月定理2.12设函数y=f(x)在区间(a,b)内的二阶导数

存在(1)若在(a,b)内f(x)>0

,则曲线y=f(x)在区间(a,b)

内是凹的；(2)若在(a,b)内f(x)<0

,则曲线y=f(x)在区间(a,b)

内是凸的。第6页，课件共13页，创作于2023年2月

例1解注意到：第7页，课件共13页，创作于2023年2月注意：拐点一定在曲线上。怎样判断曲线的拐点呢？定义2.7

连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.函数凹凸性凹凸区间凹凸区间分界点（拐点）第8页，课件共13页，创作于2023年2月拐点

凹凸性分界点

切线斜率k↗凸曲线

切线斜率k↘凹曲线前已述及:所以:凸曲线

凹曲线但反向不一定成立第9页，课件共13页，创作于2023年2月据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:(1)求函数y=f(x)的定义域;(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“

(x)不存在的点；

(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干个小区间，考察每个小区间上f“

(x)的符号；从而判断曲线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.

第10页，课件共13页，创作于2023年2月例2

求曲线的凹凸区间及拐点．(2)(3)列表考察函数的凹凸区间及拐点:解

(1)函数的定义域为凹拐点（2，–17）凸拐点(０，–５)凹f(x)＋0－0＋f"(x)(2,+∞)2(0,2)0(-∞,0)x第11页，课件共13页，创作于2023年2月例3

解因为拐点一定在曲线上，所以从而有即(1)式和(

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