2015清华大学自主招生试题(含答案)

2015清华大学自主招生第4页共9页选择题1.设复数z=cos+isin，则=（

）(A)0(B)1(C)(D)2.设数列为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“”的()条件(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要3.设A、B是抛物线y=上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB,则()(A)|OA|·|OB|≥2(B)|OA|+|OB|≥2(C)直线AB过抛物线y=的焦点(D)O到直线AB的距离小于等于14.设函数的定义域为(-1,1)，且满足：①>0,x∈(-1,0)；②+=，x、y∈(-1,1)，则为(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有（

）(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点6.△ABC的三边分别为、b、c．若c=2，∠C=，且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有（

）(A)b=2(B)△ABC的周长为2+2(C)△ABC的面积为(D)△ABC的外接圆半径为7.设函数，则（

）(A)有极小值，但无最小值(B)有极大值，但无最大值(C)若方程=b恰有一个实根，则b>(D)若方程=b恰有三个不同实根，则0<b<8.已知A={(x,y)∣}，B={(x,y)∣，已知A∩B={(),()}，则（

）(A)0<<2(B)(C)=，=b(D)=9.已知非负实数x,y,z满足+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为（

）(A)1(B)2(C)3(D)10.设数列{}的前n项和为，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得=，则（

）（A）{}可能为等差数列（B）{}可能为等比数列（C）{}的任意一项均可写成{}的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得=11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（

）(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁12.长方体ABCD−中，AB=2，AD=A=1，则A到平面BD的距离为（

）(A)(B)(C)(D)13.设不等式组所表示的区域为D，其面积为S，则（

）(A)若S=4，则k的值唯一(B)若S=，则k的值有2个(C)若D为三角形，则0<k≤(D)若D为五边形，则k>414.△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则=（

）(A)0(B)−15(C)−(D)−15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（

）(A)P(A)=0.4(B)P(B−A)=0.3(C)P(AB)=0.2(D)16.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（

）(A)最小值为(B)最小值为(C)最大值为(D最大值为17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（

）(A)105种(B)225种(C)315种(D)420种18.已知存在实数r，使得圆周上恰好有n个整点，则n可以等于（

）4.【解析】x=y=0=0,y=-x,为奇函数，(A)正确；0，(B)错误；，-=+=>0>↓,(C)正确；=-tan满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C5.【简解】将直线平移知：斜率为k的直线，与曲线y=至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故有三个极大值点，两个极小值点。选BC6.【解析】2R==R=,D正确；又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=或b=2;A=时，b=,=,周长为2+，面积为；b=2时，==,B=,同样有周长为2+，面积为。选BCD7.【简解】=(x+3)(x-1),,，作出其大致图象，如图选BD8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:与⊙C:交于相异的两点、。0<|OC|<2|r|0<<4,(A)错；四边形OC是菱形对角线OC与垂直且平分，(B)(C)正确；=，(D)正确。总之，选BCD9.【解析】关于z的方程有非负实数解，z=-1+2≥0,d=5x+4y+3z=5x+4y+6-3,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,],r∈[0,]d=r(5cosθ+4sinθ)+6-3=rsin(θ+arctan)+6-3≥4r+6-3=2(2r+3)-3,设=（2,3），=(r,)d≥2-3=2cos()-3=2cos()-3,作图知()最大值是与夹角，此时d≥2-3=3。选C10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n≠,结论假，q≠1时，常数，也不可能；答案(C),=,满足要求；答案(D),==，并非对所有数列成立。选AC11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D12.等体积法，选B13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形k>0时，S单调增，梯形ABC面积为>4，故S=4只有一解，(A)正确；△AB、△D的面积分别为、1,都比大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为的直线，(B)正确；k<0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC的斜率4，(D)正确。选ABD14.【简解】取AB的中点D,则=OA×AB×cos(π-∠OAB)=-AB×(OA×cos∠OAB)=-,同理=，，原式=.选D15.【简解】设P(AB)=x，则P(A)=0.2+x，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5x=0.2;P(A)=0.4，(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。选ABC16.【解析】设△ABC的重心为G,面积为1，过点G的直线与三角形边AB、AC分别相交于D、E，AD=xAB,AE=yAC,则有AB×ACsinA=1,如图特别的x,y∈{0,1}时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1当x,y∈(0,1)时，△ADE面积S=AD×AEsinA=xAB×yACsinA=xy,D、G、E三点共线存在实数λ，使得=λ()=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy,又=+，消去λ得到=3，因≥2≥S≥,等号成立当且仅当x=y=DE∥BC,故S最小值为，1-S的最大值为；故两面积比值有最小值，最大值。选BD17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A，从A逆时针方向的点依次记为(k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为(k=1,2,3,…,7)，△要构成以A为钝角的钝角三角形，则n+m≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。选ACD19.【简解】设x=x+yi(x,y∈R),代入化简得到，表示以(-,0)为圆心，以为半径的圆及其内部，根据图形，选ACD20.【解析】·是一个数值，不是向量，(A)错；=+==,(B)正确；=+=m+n-2cos=m+n-2cos≥2(1-cos)=,(C)正确；同理(D)正确选BCD21.【简解】,迭乘得到=(n+2)(n+1)n；n(n+2)<,(A)正确；2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ=表示椭圆；(C)为ρ=表示椭圆；(D)为ρ=表示双曲线。选BC23.【解析】≤g(x)=≥0,=0,(A)正确；≤5|x||sinπx|≤||.作图象知成立,(B)正确；x=是其一条对称轴，(C)正确；不可能为常数，故(D)错误。选ABC24.【简解】A+B>A>-BsinA>sin(-B)=cosB,tanA>tan(-B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，一定有，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但<1，(D)错误。总之，选ABC25.【解析】根据导数定义，对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时，|-1|<εx(1-ε)+1<<x(1+ε)+1，对ε取值可知(A)(C)正确；=1>0，知在0附近存在区间，>0,(B)正确；对于函数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC26.【解析】将所有的|sin∠AB−sin∠AB|，按从小到大排序，共有个，其中最小者不大于，最大为2，于是≥2,n的最小值为4.选B27.【解析】设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,].2x+y=1r=,x+=rcosθ+r=,记作T；去分母得到Tsinθ+(2T-1)cosθ=1,sin(θ+arctan)=1≤，解得T≥,等号成立当且仅当θ+arctan=θ+arctan=，(A)正确；当θ=0时T=2，θ=时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC28.【简解】黑球先放好，放白球，选A2