第二十一量子力学基础演示文稿

第二十一量子力学基础演示文稿目前一页\总数九十六页\编于二十三点优选第二十一量子力学基础目前二页\总数九十六页\编于二十三点第一节物质的波粒二象性德布罗意波-物质波ss21-1wave-particledualismofmaterialdeBrogliewave-materialwave目前三页\总数九十六页\编于二十三点引言一光的波粒二象性引起的思考、光的干涉衍射和偏振现象证明光具有波动性.光电效应康普顿效应证明了光具有粒子性.、、因此,光具有波粒二象性.光,作为光子(静止质量为零的粒子)具有波动性,宏观运动物体,是否也具有波动性?静止质量不为零的实物粒子,如电子质子中子,甚至、、换言之,是否一切物质都具有波粒二象性?目前四页\总数九十六页\编于二十三点德布罗意德布罗意与物质波PrinceLouisVictordeBroglie(1892~1987)德布罗意德布罗意1923年他提出电子既具有粒子性又具有波动性。1924年正式发表一切物质都具有波粒二象性的论述。并建议用电子在晶体上做衍射实验来验证。1927年被实验证实。他的论述被爱因斯坦誉为“揭开了巨大面罩的一角”。德布罗意为此获得1929年诺贝尔物理学奖。目前五页\总数九十六页\编于二十三点德布罗意方程二物质波德布罗意方程Epnl德布罗意假设微观粒子与光子一样,既具有粒子性,也具有波动性,它们都是波粒二象性粒子,称为波粒子,波粒子的运动既可用粒子性特征的动量和能量来描述,又可用波动性特征的频率和波长来描述.hEnplh物质的波粒二象关系为h是普朗克常量p的方向沿波动传播的方向与物质粒子联系的波称为德布罗意波或物质波与物质波粒二象性联系的方程称为德布罗意方程或德布罗意关系式目前六页\总数九十六页\编于二十三点德布罗意波长三自由粒子的德布罗意波长自由粒子静止质量为m0以速率在空间作匀速直线运动,不受任何外界作用的粒子v低速自由粒子的德布罗意波长vc可不考虑相对论效应pm0v则lhpm0vh则应考虑相对论效应v速度很高,甚至接近光速,pm0vgmvcv2((1m0vlhphcv2((1m0v高速自由粒子的德布罗意波长目前七页\总数九十六页\编于二十三点例电子的电量大小e1.61019C电子的静止质量m010319.1kgh6.631034Js普朗克常量解法提要题设为低速粒子,可不考虑相对论效应Ue电子枪内电场力做功为电子获得动能Ek离开电子枪成为自由粒子Ekvm0212动能得v2Ekm0pm0v2Ekm0phl2Ekm0h由动能定理EkUe得l2m0hUel求已知例电子U加速电压U设加速电压不太高,电子受加速电压作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.电子可看作低速自由粒子.该电子的德布罗意波长伏特目前八页\总数九十六页\编于二十三点续上得l2m0hUe1.6101910319.16.6310342UmU1.2251091.225Unm进一步的计算表明(略),当Ek20000eV或时若不进行相对论修正,则会导致计算波长的误差超过1U20000V讨论:l2Ekm0h或l1.225Unm可得lEkU((((((nmeVV10100100010000101001000100000.390.120.0390.012根据电子的电量大小e1.61019C电子的静止质量m010319.1kgh6.631034Js普朗克常量l求已知例电子U加速电压U设加速电压不太高,电子受加速电压作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.电子可看作低速自由粒子.该电子的德布罗意波长伏特目前九页\总数九十六页\编于二十三点戴-革实验3050相对强度0q6090q入射电子束衍射电子束镍单晶探测器U54V加速电压由物质波理论得phh2m0l理Ue541.225该运动电子的波长0.167nm由电子衍射实验数据处理得acqsinDkl实相长干涉条件1k时,得l实qsinD0.2150.165nmsin50符合得相当好四最早的电子衍射实验、戴维逊-革末实验1927年DDqcab50一级主极大方向0.215nm目前十页\总数九十六页\编于二十三点汤姆孙实验1927年，G.P.汤姆孙等令一电子束通过薄铝箔，结果发现，同X射线一样，也能得到清晰的电子衍射图样。射线衍射X电子衍射目前十一页\总数九十六页\编于二十三点电子衍射图片由于电子进入到晶体内部时容易被吸收，人们通常采用极薄的晶片，或让电子束以掠入射的形式从晶体表面掠过，使电子只与晶体最外层的原子产生衍射，从而成功地观察到多种晶体的电子衍射图样。电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射氧化锌晶体对电子的衍射钨晶体薄片对电子的衍射目前十二页\总数九十六页\编于二十三点电子及中子衍射图片电子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶体表面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。微观粒子具有波粒二象性的理论得到了公认。UO晶体的电子衍射NaCl晶体的中子衍射2目前十三页\总数九十六页\编于二十三点例qvF洛BF洛F向心mqvBRv2德布罗意波长phlBv即氦核++qe2a粒子RmmvqBRpmvqe2BRe2a粒子在磁感应强度为B的均匀磁场中沿半径为R的低速圆形轨道运动,则粒子的德布罗意波长为ale2BRh得作业选解作业选解目前十四页\总数九十六页\编于二十三点例pkE21mpv2p21mp2pp21mv2212amaakEapapkEkEamamp4pppa则pall题设为低速粒子若alpl求pkE？kEa++a+p质子氦核低速运动的质子和粒子,若它们的德布罗意a波长相同,则它们的动能之比为作业选解作业选解目前十五页\总数九十六页\编于二十三点例某金属产生光电效应的红限频率为,当用频率为的单色光照射该金属时,从金属中逸出的光电子(质量为)的德布罗意波长为men0nn0光电效应中的光电子，可看作低速粒子光电效应方程v2h((nn0menh221mev+A其中n0hAmevh2((nn0mehlph作业选解作业选解目前十六页\总数九十六页\编于二十三点例宏观粒子，总是看作低速粒子小球m1031kgv1021ms1质量为m1g,速度为vcms11的小球,其德布罗意波长为nmplhmvh1021103110346.6310296.63m10206.63nm作业选解作业选解目前十七页\总数九十六页\编于二十三点例由kE2122p21vm0m0pkEUe及得m20Ue已知经加速电势差后,一个带有单位电荷的粒子的德布罗意波长为则这个粒子的质量为A0.02206V,它是什么粒子.,不需作相对论修正,m0kgplhm20Ueh则解得m0l2h22eU10346.63))220.02)1010)22061.6101910271.67kg这是质子质子的电量e1.61019C质子的质量mp10271.67kg目前十八页\总数九十六页\编于二十三点例一束光的波长,光子的质量;若一电子的德布罗意波长也是m400nml400nml,不考虑相对论效应,电子的速度v光子:nhecm2nclmhlc及得6.631034400109310810365.53kg电子:若不考虑相对论效应pvm0hlp得vm0lh6.63103440010910319.11.82103ms1作业选解作业选解目前十九页\总数九十六页\编于二十三点要点1物质波德布罗意波mv自由粒子波动性nl，波粒二象关系德布罗意方程hEnplh要求熟练写出公式要点：粒子性Ep，0平面波目前二十页\总数九十六页\编于二十三点第二节不确定关系ss21-2Uncertiantyrelation目前二十一页\总数九十六页\编于二十三点不确定关系不确定关系位置和动量的不确定关系rxprxh1927年，德国物理学家海森伯提出微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，rxprx同一时刻位置的不确定量该方向动量的不确定量的关系称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明，同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖（注：不确定关系又称测不准关系，在上述rxprx表达式中的和都具有统计含义，分别代表有关位置和动量的方均根偏差。）WernerHeisenberg(1901~1976)海森伯目前二十二页\总数九十六页\编于二十三点归纳不确定关系可推广到三维运动情况:yhrpxrxhrprhrpryzz不确定关系式表明:沿某一方向同时测量粒子的位置坐标和动量时,坐标不确定量与动量不确定量之乘积不得小于普朗克常数h不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限,如果在某一具体问题中,可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。目前二十三页\总数九十六页\编于二十三点例例求xr电子xme10319.1kgv200ms1rv0.0100v子弹xm1021.0kgv200ms1rv0.0100v已知已知求xrhrxrp解法提要pmv由及prvrmeme0.0100v10319.12001041.81032kgms16.631034rxhrp1.810323.7102m3.7cmprvrmm0.0100v2.0104kgms12.61030m2001041021.06.631034rxhrp2.0104位置不确定量小到没有任何实际意义对宏观运动物体不必考虑物质的波动性.可见,物质的波动性对微观粒子意义重大.目前二十四页\总数九十六页\编于二十三点例例已知求rxmm0.1电子枪vms11075rv通常电视显象管中的电子速率meme10319.1kg电子质量解法提要hrxrp由prvrmerxhrp有pvmevrmerxh由有10319.11036.631034vrmerxh0.1ms17.28vvr此结果表明,,即电子的波动性,不会对显象管的正常工作造成严重影响.目前二十五页\总数九十六页\编于二十三点例由rpxpmv有rmvhrpx由rxl已知rx则rpxrxlhh得rvmrpxlhmmpmvmv如果某运动粒子的位置不确定量rx等于该粒子的德布罗意波长l证明其速度的不确定量,rvv其速度目前二十六页\总数九十六页\编于二十三点例如果某一维运动粒子的动量不确定量rx等于该粒子的动量l证明其位置的不确定量,其德布罗意波长rpxphrpx由rx已知rx则rpxhprpxhp因l得hprxhpl目前二十七页\总数九十六页\编于二十三点拟完下册完目前二十八页\总数九十六页\编于二十三点后续选讲内容后续选讲内容目前二十九页\总数九十六页\编于二十三点第三节波函数ss19-3Wavefunction目前三十页\总数九十六页\编于二十三点波函数微观粒子具有明显的波粒二像性，即明显具有已述：电子衍射实验表明不确定关系表明确定的取值，因此，不能用经典的位置和速度去描述微观粒子的运动状态。微观粒子的位置和动量（含速度）不可能同时具有粒子的整体性和波的衍射亦即相干叠加的波动性。德布罗意公式表明自由粒子的物质波波长和频率与粒子的动量和能量的关系。待述：寻找一个能反映波粒二像性的波函数；微观粒子的运动状态应如何描述。思路：根据表达波动的数学函数普遍形式某种物理量的时间和空间的周期函数结合反映物质波粒二像性的基本公式德布罗意公式推导出满足波粒二像性的波函数微观粒子运动状态的描述波函数的解释目前三十一页\总数九十六页\编于二十三点自由粒子的波函数一、波函数及其意义描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数,y()xtcosnp2l(tx)AAcosf一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波函数eifcosfisinf应用欧拉公式取实部e,y()xtinp2l(tx)A可写成复数形式：phlhnEEnhl1ph应用德布罗意公式即即沿X方向匀速直线运动自由粒子的波函数为Y,()xteinp2l(tx)Y0ei(tx)pEhp2Y0(tx)pEhp2Y0波函数的振幅，波的相位目前三十二页\总数九十六页\编于二十三点波恩的解释MaxBorn(1882~1969)玻恩在三维空间，自由粒子的波函数则为Y,()trY0ei(t)pEhp2r1926年德国物理学家玻恩从统计学的观点对波函数进行了解释认为物质波的实质是一种概率波波函数是一个复数，其本身并没有直接的物理意义Y而Y2=YY*却有真正的物理意义：波粒子在时刻，出现在空间位置处单位体积内的概率，称为概率密度。trY*是Y的共轭复数，若Y=Y0eib则Y*=Y0eib微观粒子的运动状态用波函数来描述,Y的物理意义为概率密度，通常用表示。Y2w目前三十三页\总数九十六页\编于二十三点电子双缝衍射盖住任何一条缝，相当于电子单缝衍射，都可得到单缝衍射图样。电子通过上或下缝后，在某处出现的概率密度分别为Y12和Y22根据概率波的概念，两条单缝同时开放时，屏上的电子强度分布应服从概率波的复数运算Y122Y=+Y2相干项=Y12+Y22+单缝包络线内的明暗条纹就是因为有相干项才形成的。电子的双缝衍射实验（每条缝相当于一条单缝，都有一定宽度）二、概率波对电子双缝衍射的解释目前三十四页\总数九十六页\编于二十三点概率波解释2Y相干项=Y12+Y22+在电子的双缝衍射实验中，电子出现在接收屏上的概率密度为时间很短时间较短时间不长时间很长入射光子双缝接收屏(a)(b)(c)(d)少量电子通过双缝后，各电子到达屏上何处完全是概率事件。大量电子通过双缝后，就形成电子双缝衍射的稳定概率分布。物质波正是这种概率分布的表现目前三十五页\总数九十六页\编于二十三点波函数性质三、波函数的性质YYYYXOXOOXOX以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件符合不符合不符合不符合同样，由于物质波是概率波，波函数必须满足归一化条件：标准化条件：单值连续有限因概率不会在某处发生突变因任一空间体积元内出现的概率只有一种因概率不可能为无限大由于物质波是概率波，波函数必须满足三个目前三十六页\总数九十六页\编于二十三点归一化波函数N1如果按上述积分求得的结果不是1,而是某一常量N即则应对该波函数进行归一化,其方法很简单,因上式可写成Y,()trN1Y,()tr*=1dVY,()tr2N88-+可见,原波函数Y,()trF,()tr=Y,()tr的归一化波函数为N1所谓是指Y,()tr在一切空间内发现该粒子的概率必然是1(即100%)即假设在三维空间中有一微观粒子的波函数为dVY,()tr2188-+归一化条件目前三十七页\总数九十六页\编于二十三点例例求设在轴作简谐运动的某粒子的波函数为Y,()xtexAithEe2pb222都是实常数bE,A是待定的归一化常数归一化波函数x则归一化波函数为Y,()xtexithEe2pb222b2p((14解法提要该函数的归一化积分式为*Y,()trdxY,()tr=188-+AithEe2pexb222((exAithEe2pb222((dx即88-+1=A2exb22A2b2p=得A=b2p((1488-+目前三十八页\总数九十六页\编于二十三点例例求归一化波函数设在轴运动的x某粒子的波函数为Y()xxAi1+1((2((3((粒子沿出现的概率密度分布在何处找到粒子的概率最大x解法提要为了运算方便,先将虚数项改写成在分子上的形式()Axi1+xi1+Axi1-xi1-()Axi1-x1+2归一化波函数为1pxi1+))Y()x1((*dx=(dxAxi1-x1+2(Axi1+x1+2((1=A2x1+2dx=A2p=得A=p1Y()xY()x88-+88-+88-+目前三十九页\总数九十六页\编于二十三点续2((粒子沿出现的概率密度分布xY()x*Y()x==Y()x2x1+2p1))=w()xx1+2p1))3((求极大处的值x令=dxd=0()xwdxd()xw即在x=0处找到粒子的概率最大得x=0处=p1为极大()w0目前四十页\总数九十六页\编于二十三点例P2YX0aa22aY0aXa22aY,()xt2概率密度2((()x0,xa()x0a0sinxpa2a2得Y,()xt2dxd0dxd0sinxpa2a2((2asinxap2p2xa2((0axY03((令求极大值的坐标Y,()xt2解得处Y,()xt2为极大另外两个解处为极小和x例设Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求某粒子的波函数为归一化波函数1((2((概率密度3((概率密度最大的位置p2解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xdYY*2Yxdxd0a0a1A,2Yxd0aA20asinxpa2xd1a2A21,A2a令求积分得：1((p2p2Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a得到归一化波函数：p2目前四十一页\总数九十六页\编于二十三点第四节19-4ssss薛定谔方程Schrodingerequation目前四十二页\总数九十六页\编于二十三点薛定谔方程引言一、引言Fmddtrpddtr()tp()tXYzOzXYOYr(t,(经典力学量子力学牛顿力学方程运动状态r,pmv有确定值mddtv22运动状态Yr(t,(是复数函数只是一种概率事件运动状态的时间变化率与力的确定关系内涵:？量子力学方程是否有运动状态的时间变化率与什么因素有关？怎样表述？内涵:目前四十三页\总数九十六页\编于二十三点续EnwinSchrodingerEnwinSchrodinger薛定谔薛定谔获1933年诺贝尔物理学奖1925年奥地利物理学家薛定谔提出了非相对论性的量子力学基本方程:(1887-1961)薛定谔方程一维自由粒子的薛定谔方程为便于理解下面从特殊到一般分别介绍在一维势场中运动粒子的薛定谔方程定态薛定谔方程的基本概念和数学表达式目前四十四页\总数九十六页\编于二十三点自由粒子薛定谔方程

二、一维自由粒子的薛定谔方程描述一维空间的自由粒子运动状态的波函数为Y,()xtei(tx)pEh2pY0Y若将对求两次偏导数可以得出,YxYieeh4pYx2222p23iYeex228p2h2mh2pYeet由式得123一维自由粒子的薛定谔方程自由粒子能量E动能Ek与动量的关系为2Ek2mE2mp其时间变化率是对时间求一次偏导数EYeeth2pY1i等式两边乘得YYE2mY22p目前四十五页\总数九十六页\编于二十三点一维势场薛定谔方程三、在一维势场中运动粒子的薛定谔方程若粒子在势能为Ep的势场中运动EEp+Ek其总能量2p2m+Ep已述EYeeth2pYiYieeh4pYx2222p2自由粒子没有势能只有动能iYeex228p2h2mh2pYeet一维自由粒子的薛定谔方程E总能量Ek2p2mYieeh4pYx2222p2Yeeth2pYi2p2m+Ep((Yeex228p2h2mih2pYeet+EpY在势场中作一维运动的微观粒子的薛定谔方程目前四十六页\总数九十六页\编于二十三点定态薛定谔方程四、定态薛定谔方程所谓定态是指粒子在一个不随时间变化的稳定势场中运动。即势能只是空间坐标的函数，与时间函数无关。EpYeex228p2h2mih2pYeet+EpY已述在势场中作一维运动的微观粒子的薛定谔方程代入上面已述的薛定谔方程，可得h28p2m+Epeex22Y()xEY()xY()x即eex22Y()x+8p2mh2(EEp(Y()x0稳定势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程定态情况下运动粒子的波函数可分解成时、空两部分相乘，即Y,()xtY()xeitEh2pY()x称为幅函数Y()x和Y()x2都与时间无关目前四十七页\总数九十六页\编于二十三点续已述稳定势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程eex22Y()x+8p2mh2(EEp(Y()x0如果粒子在三维势场中运动，定态薛定谔方程一般表示为exe22Y+8p2mh2(EEp(Y0eye22Yeze22Y++引用拉普拉斯算符exe22Y+eye22Yeze22Y+2得一般意义的定态薛定谔方程8p2mh2(EEp(Y0Y+2后面我们将会看到有关定态薛定谔方程的若干应用例子。目前四十八页\总数九十六页\编于二十三点稳定势阱例如由于有势场的作用，金属中的电子不能自动地从金属中逃逸出来；孤立氢原子中的电子不能自动地脱离氢原子。这些势场形象地称为势阱。如果这些势场处于稳定状态，就可以用定态薛定谔方程去研究电子的运动规律。0x()xEpx金属()rEpr0+r氢原子核电子金属的势阱氢原子的势阱目前四十九页\总数九十六页\编于二十三点第五节19-5ssss一维无限深势阱中的粒子Particleinone-dimensionalinfinitedeeppotentialwell目前五十页\总数九十六页\编于二十三点一维无限深势阱这是一个理想化的物理模型，应用定态薛定谔方程可求出运动粒子的波函数，有助于进一步理解在微观系统中，有关概率密度、能量量子化等概念。一维无限深势阱08a(x0)a(x0,x)()xEp势能分布满足下述条件的势阱称作一维无限深势阱。0aX88()xEp目前五十一页\总数九十六页\编于二十三点续上求解0aX88()xEpm08a(x0)a(x0,x)()xEp阱外阱内设质量为的微观粒子，处在一维无限深势阱中，（一）列出定态薛定谔方程eex22Y()x+8p2mh2(EEp(Y()x0阱外8EpY()x0故粒子在阱外出现的概率为零。要保证波函数的有限条件，阱外的波函数只可能为零，即0Ep阱内eex22Y()x+8p2mh2EY()x0关键是求解这个微分方程目前五十二页\总数九十六页\编于二十三点续上求解（二）求阱内定态薛定谔方程的通解eex22Y()x+8p2mh2EY()x02k8p2mh2E令eex22Y()x+Y()x02k得此微分方程的通解为()Y()xsinAxk+jA式中和为待定常数jk、（三）根据边界条件确定常数jk,E和并求能量的可能取值x0xaY()xY()x0Y()x在边界处和的取值应与阱外连续，故边界处的Asinka0A00,Y()0Asin0()Y()aAsinka+0kapn,()n0+1,2+,得及又因得以及jjjn0Y()x0时阱内,不合理舍去n同一的负值和正值概率密度相同。kpna()n1,2,取Eh2n2a28m()n1,2,n得目前五十三页\总数九十六页\编于二十三点续求解wY()xnn()x20a(x0,x)sinxpna2aa(x0)2（五）求概率密度分布()Y()xsinAxk+a(x0,x)Y()x0（四）求归一化定态波函数由已得结果阱外a(x0)阱内jkpna()n1,2,0,及jAsinxpnaY()xn()n1,2,得Y()xn88Y()xnx2d2xdA0asinxpnL21应满足归一化条件2dA0asinxpna2pnaxpna()xpna()2Apna12241sin2xpna()0a22Aa1A2a积分得Y()xn0a(x0,x)sinxpna2aa(x0)得归一化定态波函数目前五十四页\总数九十六页\编于二十三点结果分析讨论一维无限深势阱中的微观粒子计算结果分析讨论sEnEn()2+n1n2n8sEnEn()0n从能级相对间隔看，则在微观粒子可能取的各种能态中，随着值增大，逐渐向经典过渡。()n1,2,n2h2a28mEnEnh2a28mE1EsnEn+1En()2+n1h2a28mEnn1E1n24E1E19n3称或基态能零点能相邻能级的能量间隔能量量子化Esn()2+n1h2a28m能量量子化是微观世界的固有现象从能级绝对间隔看，能量量子化极不明显，可视为经典连续。Esn()2+n1算得能量量子化明显×37.7eVm如，电子9.1×10kg–31L处在宽度(原子线度)的势阱中-1010mL处在宽度(宏观尺度)的势阱中–210mEsn()2+n1算得间距太小×37.7×10eV-15目前五十五页\总数九十六页\编于二十三点续Y()xn0a(x0,x)sinxpna2aa(x0)0aX1Y()x3Y()x0aXn3Y20aX()xn2n1Y()xn,tY()xnteiEnEnwnh波函数好比驻波h2p2p0a(x0,x)sinxpna2aa(x0)2wn()xY()xn20aXn10aXn22()xw0aXn3概率密度分布wn()x0wn()xxxnn称节点位置处的极大处的称最概然位置增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。很大，概率密度趋近均匀分布。3()xw1()xw()n1,2,n2h2a28mEnEnh2a28mE1EsnEn+1En()2+n1h2a28mEnn1E1n24E1E19n3称或基态能零点能相邻能级的能量间隔能量量子化一维无限深势阱中的微观粒子计算结果分析讨论目前五十六页\总数九十六页\编于二十三点第六节19-6ssss氢原子及多电子原子的结论conclusiononhydrogenatomandmultiple-electronedatom目前五十七页\总数九十六页\编于二十三点氢原子薛定谔方程一、氢原子定态薛定谔方程求解的结论氢原子中的电子处在核的库仑场中，其势能为得8p2mh2(EEp(Y0Y+220e4perEp这是一个球对称的稳定势场，应用三维空间定态薛定谔方程+8p2mh2(E(Y0Y+220e4perXYzmr核电子eqj通常是用球坐标求解这个微分方程，求解过程比较复杂，下面只简略介绍求解时需要满足的三个量子条件，以及所得出的主要结论。目前五十八页\总数九十六页\编于二十三点能量量子化Ene0m8e42h2n21nn1.能量量子化主量子数1,2,3,…决定氢原子的主能量（与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设。）L()+ll1l2.角动量量子化h2pLn（与玻尔的人为假设有所区别，实验证明，量子力学的结果更为准确。）h2pl0,1,2,…,(n1)角量子数（副量子数）决定角动量的大小目前五十九页\总数九十六页\编于二十三点角动量空间取向lmLzlm3.角动量的空间取向量子化LL角动量的空间取向是量子化的，通常设Z轴方向为某一特定方向（外场方向），在此特定方向上的投影的可能值为h2pllm0,±1,±2,…,±决定角动量的取向磁量子数L()+ll12l1lmLzlmz0LLL例如：时0,±1h2ph2pL有3种可能取向它们在Z轴的投影值分别为h2p0,±h2ph2ph2pl2lmL()+ll16LLLLL0z22Lh2ph2ph2ph2ph2ph2p时0,±1,±2有5种可能取向它们在Z轴的投影值分别为Lzlmh2p0,±h2p±2h2p，目前六十页\总数九十六页\编于二十三点电子概率分布氢原子核外电子的概率分布用球坐标求解氢原子的定态薛定谔方程所得到的核外电子的定态波函数是三个函数相乘：YHFR()r()q()j由于核外电子的运动状态与量子数nmll有关，其结果的表达HFR()r()q()jYnlml(r,q,j)mlnllml形式为R()rnl2H()qlml2F()jml2n,lrj,qlmlml(r,q,j)在空间处出现的概率密度分布。Ynlml(r,q,j)2nmll(,,)为电子处于定态时，为电子处于定态时沿出现的概率密度分布。为电子处于定态时沿出现的概率密度分布。为电子处于定态时沿出现的概率密度分布。下面用图示法简略说明这种表示形式的含义。目前六十一页\总数九十六页\编于二十三点径向概率密度电子沿径向出现的概率密度分布剖面示意图（用明暗定性示意概率密度大小）R()r2nl不同量子态的电子沿球坐标径向出现的概率密度分布曲线举例横坐标中的相应于玻尔第一轨道半径r1=0=1,nl=1=2,nl=0=2,nl012345678910111213r1r0.10.20.30.40.50.61rr1rr1rrn10n20n21目前六十二页\总数九十六页\编于二十三点角向概率密度lmllmllmllmllmllmlH()qlml2q,lml不同态的电子时沿角向出现的概率密度分布举例：图中，从原点引向曲线某点的距离，代表在该方向上概率密度的大小。ZYqqqqqqZZZZZYYYYY000011222±1±1±2,jq()F()jml2j由量子力学计算还可以得知，概率密度与角向无关。,jqH()qlml2因此，电子沿角向的概率密度分布，可用曲线绕Z轴旋转所得的回旋面来描述。从原点引向回旋面某点的距离，代表在该方向上概率密度的大小。目前六十三页\总数九十六页\编于二十三点电子云1Ynlml(r,q,j)2综合考虑径向和角向的概率密度分布，得到可将这种概率密度的空间分布形象化地作成象云一样的图象，空间任何一点上云的密度（图中定性表示为明亮程度）与概率密度成正比。称为电子云图。m0m1m2m0m1m0n32n10n21以Z为轴的回旋面上的电子云側视图所谓“电子云”，并非表示一个电子同时占据云图的整个空间，它只是表示在某点发现电子的概率密度。右图为处在几种不同的量子态时，氢原子的电子云示意图。目前六十四页\总数九十六页\编于二十三点电子云2mn32n10n21m0m0m1m0m1m2含Z轴的剖面上的电子云示意图Ynlml(r,q,j)2综合考虑径向和角向的概率密度分布，得到可将这种概率密度的空间分布形象化地作成象云一样的图象，空间任何一点上云的密度（图中定性表示为明亮程度）与概率密度成正比。称为电子云图。所谓“电子云”，并非表示一个电子同时占据云图的整个空间，它只是表示在某点发现电子的概率密度。右图为处在几种不同的量子态时，氢原子的电子云示意图。目前六十五页\总数九十六页\编于二十三点电子自旋二、电子的自旋在氢原子定态薛定谔方程求解时，用了三个量子数描述电子nlml、、的不同量子状态。但许多试验证明，要完整反映原子中电子的量子状态，还需要引入反映电子自旋的量子数。1、斯特恩盖拉赫实验NS1924年德国物理学家斯特恩和革拉赫实验发现轨道角动量为零的原子束银原子沉积记录屏一束银原子分裂成两束基态银原子束狭缝银原子发射源lm0l0,只有一个价电子，银原子外层基态的银原子束lm0l0,轨道角动量为零，通过磁场时不应发生偏转。实验结果是原子束分成了对称的两束这预示着原子系统中还有另一类起源的磁矩，它在外场的方向上仅有两个投影通过非均匀磁场时分裂成两束。非均匀磁场目前六十六页\总数九十六页\编于二十三点自旋量子数2、电子自旋概念为了解释斯特恩-革拉赫实验，1925年美籍荷兰物理学家乌仑贝克和古兹密特提出了电子自旋的概念：s在Z轴（外磁场）方向上的投影（3）szmsmsh2p称为自旋磁量子数msms+21只能取两个值：sz21+故h2p电子除空间运动外，还有自旋运动，与之相自旋角动量自旋磁矩和（1）。联系的有s电子自旋角动量的大小是量子化的。s()+1ssh2p（2）s称为自旋量子数s21是半整数：s23h2p故zs230h2p21h2p21h2p目前六十七页\总数九十六页\编于二十三点无经典图像1927年费蒲斯和泰勒用基态的氢原子束实验结果也是分成两束。通过非均匀磁场，电子的自旋及自旋磁矩的存在进一步被证实。电子自旋是电子的固有性质，任何经典机械运动图像都不可能确切描述这种特性。其它基本粒子也有自旋特性。其中，质子和中子的自旋量子数也是半整数，即。s21目前六十八页\总数九十六页\编于二十三点多电子原子的描述三、多电子原子的描述1、四个量子数多电子的原子，其薛定谔方程比氢原子的情况要复杂得多，但近似计算表明，其核外电子的运动状态仍由四个量子数决定，即名称允许取值主量子数n=1,2,n…其值决定原子中电子的能量角量子数l=0,1,2,(-1)…nlllm0,±1,±2,…,±lm磁量子数自旋磁量子数smms+21其值决定电子轨道角动量在外磁场中的取向其值决定电子自旋角动量在外磁场中的取向，同时还影响电子在外磁场中的能量其值决定原子中电子的角动量。由于轨道磁矩与自旋磁矩间的相互作用，对能量也有一定影响，又称副量子数ll电子运动状态特征的描述目前六十九页\总数九十六页\编于二十三点四量子数与壳层2、壳层结构电子分布规律的描述多电子原子核外的电子分壳层排布，同一壳层的电子具有相同的主量子数,n1,2,3,4,5,6,7,=n代号：K，L，M，N，O，P，Q，在同一壳层上角量子数相同的电子组成分壳层（或支壳层）0,1,2,3,4,5,6,=lspdfghi代号：，，，，，，，是沿用早期光谱学对某一谱线状况的称呼，代号s,p,d,f,后面则接着按字母顺序排列。ffundamental（（基本的f，如:strong强的（（s，principal主要的（（p，弥散的dispersive（（d，目前七十页\总数九十六页\编于二十三点两个原理电子在壳层和支壳层上分布遵循下列两条原则：(2)能量最低原理原子处于未激发的正常状态时，在不违背泡利不相容原理的条件下，每个电子都趋向占据可能的最低能级，使原子系统的总能量尽可能的低。根据上述两个原则，可定性确定多电子原子核外电子按壳层的分布。(1)泡利不相容原理在一个原子中，任何两个电子不可能具有完全相同的一组量子数nllmsm((，，，。目前七十一页\总数九十六页\编于二十三点举例举例说明：211,2,…=n0,1,2,(-1)nl，=lm=±1,±2,0,±lsm=±…，…四个量子数的允许取值为问n=3的主壳层中最多能容纳几个电子？+++2121212121212121212121212121n：3l：012lm：001-12--1012sm：2121+2121++++++++从图中可见，=3的主壳层中最多能容纳18个电子。nnN2+()1Sl0n2l12+2(n21)22n2由此不难得出：计算主量子数为的主壳层中最多能容纳电子数的通式为n目前七十二页\总数九十六页\编于二十三点简表各壳层最多可容纳的电子数0123456spdfghiln1234567KLMNOPQNn2222222666666101010101014141414181818222226281832507298角量子数为的支壳层中最多能容纳电子数为主量子数为的壳层中最多能容纳电子数为2（l2+1（Nn2n2ln目前七十三页\总数九十六页\编于二十三点元素电子组态表示...KLMNO...fgdpfdspds3sp33s1sp22444455555...1261319.........HHeCAlK1222222262126261HHeCAlKs1s1s1s2p2sp33s1sp22sp33s1sp22s41222222621226261元素的电子组态举例这称为元素的电子组态表示法目前七十四页\总数九十六页\编于二十三点下册完完目前七十五页\总数九十六页\编于二十三点备用资料备用资料目前七十六页\总数九十六页\编于二十三点势垒一、势垒0aX0a))x0,x))x0aE隧道效应粒子在某力场中运动，若力场的势函数具有下述形式()xEp()xEp0Ep()xEp0Ep该势能函数称作一维矩形势垒。按经典力学观点，能量的粒子0Ep不可能穿越势垒。在量子力学中，应求解定态薛定谔方程后才能下结论。目前七十七页\总数九十六页\编于二十三点隧道效应02x2Ydd+Y2k102x2Ydd+Y2k2))x0aa))x0,xE2k()2令E2k1,8mh2p28mh2p20Ep得二、势垒贯穿隧道效应0aXIIIIII0a))x0,x))x0aEmeex22Y()x+8p2mh2(EEp(Y()x0()xEp()xEp0Ep0Ep设：一矩形势垒的势能函数一质量为能量为的粒子0EpI由区向势垒运动在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程上述微分方程的解为YB2+xAekixkieA12+xekixkie1+xekixkie1CBCIIIIII((((((1区区区目前七十八页\总数九十六页\编于二十三点续上YB+xAekiA2xkie1+xeki1+xeki1xkieC2xkieBCIIIIII((((((1CIII0YYY入入射波反射波反透射波透区无反射，区区区x0axYxdYdDYY22AC22根据边界条件和处和必须连续，可求方程中各系数的关系。为描述粒子透过势垒的概率引入透射系数透射粒子数入射粒子数透入e2a2kD8h2mE()k2a,,估算表明为势垒宽度为原设p20EpX0aIIIIII+入射波反射波透射波()xEp可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒，这种现象称为亦称。这是微观粒子波动性的表现。隧道效应势垒贯穿隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。目前七十九页\总数九十六页\编于二十三点扫描隧道显微镜三、扫描隧道显微镜（STM）d逸出电势垒高金属1dVTIT金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面，在金属外表面附近形成电子云，电子云的分布形式与金属晶体的结构和表面性质有关。若两块金属表面相距很近，至使表面的电子云发生相互重叠，此时若在两金属间加一微弱电压（操作电压），则会有微弱的电流（隧道电流)从一金属流向另一金属，并可表示为两金属的平均逸出电势垒高度逸出电势垒高金属1逸出电势垒高金属2金属2金属121+()Ep0Ep01Ep02Ep02Ep01IT8VTedAEp0dITdA若势垒宽度和势垒平均高度分别以nm和eV为单位时，约为1。实验表明，只要改变0.1nm(原子直径线度），就会引起变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描，它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。Ep0目前八十页\总数九十六页\编于二十三点续上dITVTXYz()XYz()ITAtomicResolutionSTMonSi(111)沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，使保持不变。针尖的空间坐标的变化反映了样品表面原子阵列的几何结构及起伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。计算机显示系统电子测控及数据处理系统纵向分辨率0.005nm达横向分辨率达0.1nm真空或介质电子云扫描探针测试样品Si(111)表面7×7元胞的STM图像亮点表示突起，暗部表示下凹STM可用于金属、半导体、绝缘体和有机物表面的研究。是材料科学、生命科学和纳米科学与技术的有力武器。IT8VTedAEp0目前八十一页\总数九十六页\编于二十三点塞曼效应塞曼效应三、塞曼效应BB外磁场若将光源置于足够强的外磁场中，它所发出的一条谱线会分裂成若干条相互靠近的谱线，这种现象是荷兰物理学家塞曼于1896年发现的，称为塞曼效应。这里仅以一种最简单的情况为例，将锌灯置于强磁场中，在垂直于磁场的方向上观测，锌原子能级跃迁原来发射的单线，分裂成三条谱线。分光计光源外磁场无外磁场时的某一谱线加外磁场后分裂成三条谱线塞曼效应是由于具有磁矩的原子在磁场中获得附加能量，使原来的一个能级发生分裂成若干个能级，谱线亦随之分裂。这一现象也证明了角动量空间量子化的存在。目前八十二页\总数九十六页\编于二十三点玻尔磁子续上erI+w2pwIemIpr221ewrmeLmevrmewr2m2meeLmLmL2meeL()+ll1m()+ll14mee()+ll1BmBmmz2meeLzlmBmLzlmmmBmzBlmBmrEBllm()若用玻尔的轨道模型作比喻好比圆电流此圆电流的磁矩大小为电子轨道角动量大小为联立解得因与反向，故在量子力学中，角动量大小量子化h2p相应地存在磁矩量子化hph2p9.274×10J·T

-24-1称为玻尔磁子角动量取向量子化相应地存在磁矩取向量子化当沿Z轴方向对上述原子系统施以外磁场B时，磁力矩对各可能取向的做功，使原子系统获得附加能量为0,±1,±2,…,±rEBl(+21)附加能量使得原子系统原来的一个能级分裂成个能级，这是导致谱线分裂的重要因素之一。在不同光源、外磁场及观测方向的条件下，塞曼效应呈现更复杂的谱线分裂现象，对后来电子自旋的发现起了重要作用。目前八十三页\总数九十六页\编于二十三点全同粒子全同粒子一、全同粒子与全同性原理全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，所有的电子是全同粒子；所有的电质子也是全同粒子。全同性原理全同粒子体系中任何两个粒子的交换，不会引起体系状态的改变。在经典力学中，即使固有性质完全相同的两个质点，是可以根据运动轨迹对它们进行追踪并加以辨认和区分的。但在量子力学中，轨道概念对微观粒子没有意义，不可能对全同粒子进行追踪和区分，全同粒子失去了个别性。因此，全同粒子在同样的条件下其行为是完全相同的，全同粒子体系中任何两个粒子的交换，不会引起体系状态的改变。目前八十四页\总数九十六页\编于二十三点全同粒子波函数YY2YY*YYYY全同粒子系统的波函数在波函数一节中曾提到，波函数和描述同一状态，其概率密度相同。这里有必要结合全同性原理，定性地介绍一下量子力学中有关全同粒子系统的波函数的若干重要概念和结论。设某全同粒子系统的波函数为，将其中的任意两个粒子互换后，系统状态不变，但其波函数有可能仍为，也有可能是，前者称为对称函数，后者称为反称函数。由量子力学可以证明（略），描述全同粒子系统的状态的波函数只能是对称的或反对称的，而且，其对称性不随时间的改变而改变。实验表明，自旋为奇数倍的粒子，如电子、质子和中子，粒子系统用反对称波函数描述，这类粒子称为费密子。自旋为偶数倍（包括零）的粒子，如光子、粒子，粒子系统用对称波函数描述。这类粒子称为玻色子。h4ph4pa目前八十五页\总数九十六页\编于二十三点泡利不相容原理二、泡利不相容原理WolfgangPauli(1900~1958)泡利1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统由费密子组成，由于费密子系统的波函数是反对称函数，如果有两个粒子的状态相同，则系统的波函数为零，即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态。这一结果称为泡利不相容原理。对于原子系统，泡利不相容原理表明在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有两个完全相同的量子态。或者说，原子中的每一个量子态上最多只允许有一个电子。目前八十六页\总数九十六页\编于二十三点徐光宪定则0123456spdfghiln1234567KLMNOPQNn2222222666666101010101014141414181818222226281832507298电子的能量主要由主量子数决定越小能级越低，该壳层离核越近。电子一般按n由小到大的顺序填入各能级。nn但角量子数对电子的能量也有影响，使得一些较重元素的原子，有时n较小的壳层尚未填满，电子就开始填入较大的壳层。我国科学家徐光宪n总结出一条规律徐光宪定则：对原子外层的电子，能级高低由的大小来确定，其值越大，能级越高。支壳层，的例如，=3nl=2d3s4d4s5(3+0.7×2)=4.4高于(4+0.7×0)=4支壳层，=4nl=0的=4nl=2(4+0.7×2)=5.4的支壳层，高于=5nl=0(5+0.7×0)=5支壳层，的等等又如，n(+0.7)l，，，，目前八十七页\总数九十六页\编于二十三点举例HHeLiBeBCNOFNeNaMgAlSiPSClAKCaScTiRbSrYZrVCrMnFeCoNiCuZnGaGeAsSeBrKrNbMoTcRuRhPdAgCdInSnSbTeIXes3p3s1p2p4d4s5s4s2d3p5能量高于d3s4d4高于s5等等。19号元素K（钾）的电子组态：s3p3s1p2662s42s22121号元素Sc（钪）的电子组态：s3p3s1p2662s422s221d337号元素Rb（铷）的电子组态：s3p3s1p2p4s56662s422s221d310根据徐光宪定则，对原子外层的电子，能级高低由(+0.7)的大小来确定，其值越大，能级越高。得nl目前八十八页\总数九十六页\编于二十三点元素的电子组态KLMNO...d3s3p3s1s2p2s4p4d4f4s5p5d5f5g5...12