直线的倾斜角和斜率张帆

襄樊四中张帆直线的倾斜角与斜率引言:

通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来，这一方法是用代数方法研究几何问题的基础，它的产生对于促进教学的发展起到了巨大的作用。在本章中，我们将学习平面直角坐标系中直线和圆的方程的知识，一般曲线方程的概念，以及用坐标的方法研究几何问题的初步知识。这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微分等知识的基础。此外，还要学习线性规划的初步知识，它是直线方程的一个直接应用。(一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，3)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的：∵A(1,3)的坐标满足函数式，∴点A在函数图象上．∵B(2，1)的坐标不满足函数式，∴点B不在函数图象上。判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；

判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．

简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．(二)直线的方程思考：

直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．直线的方程和方程的直线以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．(三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向,怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等,都有待于我们继续研究．

问题1：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。总结：有四种情况，如图。可用直线与x轴所成的角来描述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°。poyxypoxpoyxpoyx.pXYO.X.pYO（1）X.pYOX.pYO（1）（2）X.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（3）X.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（3）.p(4)(四)直线的倾斜角在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0o,因此,倾斜角的取值范围是

0o≤α＜180o直线倾斜角的定义有下面三个要点：(1)直线和x轴的交点；(2)直线按逆时针方向旋转；(3)最小正角．X.pYOX.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（4）（3）oo问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？xyoxyoxyoxyo（1）（2）（3）（4）问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？（通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤＜180°，在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度。）提问：XpYO.(x,y)Q(五)直线的斜率定义及表达式：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。常用k表示，即k=tanα①当α=0°时，k=0；②当0°＜α＜90°时,k＞0③当α=90°时，k不存在；④当90°＜α＜180°时,k＜0五、直线的斜率给出一个描述直线方程的量——直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：问题4：当=0°时，k值如何？当0°＜＜90°时，k值如何？当=90°时，k值如何？当90°＜＜180°时，k值如何？X.pYOX.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（4）（3）ooK>0K<0K不存在K=0课堂练习：1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：（1）当时，直线斜率等于直线斜率的绝对值，且属于集合(0,+∞),直线的斜率及其绝对值随着直线的倾斜角的增大而增大，当α无限接近于90o时，直线的斜率k无限趋近于+∞.(2)当时，直线的斜率小于0，变化范围为(-∞,0),随着倾斜角在开区间(90o,180o)内逐渐增加，直线斜率的绝对值从正无穷大逐渐增加而无限趋近于0。

当时，直线斜率的绝对值的变化范围为(0，+∞),随着倾斜角在开区间(90o,180o)内逐渐增加，直线斜率的绝对