《工程力学》第9~10讲空间力系和重心

1工程力学任课教师戴勇2018年9月~2019年1月2齿轮箱动画第九讲第四章

空间力系和重心§4.1力的投影和力对轴之矩一、力在空间直角坐标轴上的投影力F在三个轴上的直接投影：FX=FcosαFY=FcosβFZ=Fcosγ3两条平行或相交直线构成一平面§4.1力的投影和力对轴之矩一、力在空间直角坐标轴上的投影力F在三个轴上的直接投影：FX=FcosαFY=FcosβFZ=Fcosγ

4已知三轴上分力求合力力F在Z轴和XOY平面上的投影(二次投影)：5FXY=FsinγFX=FXYcosφ=FsinγcosφFY=FXYsinφ=FsinγsinφFZ=Fcosγ

二、力对轴之矩

机械中最常见的轴系传动系统中，各齿轮与轴、皮带轮与轴之间形成力的传递。图示是典型的最简单传动轴受力情况。

力对轴之矩是度量力对绕定轴转动刚体的作用效果。如力对门轴的力矩使门绕门轴转动。6力对轴之矩的定义

正负号规定→（右手定则）力对轴之矩是代数量

其大小等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与该轴交点的矩。什么情况下？

的作用线通过

z轴(力臂d=0)

平行于

z轴(F在xoy平面上投影为零）

与

z轴共面Z合力矩定理同样适用于力对轴之矩。如一空间力系由F1、F2、…、Fn组成，其合力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。

MZ（FR）=MZ（F1）+MZ（F2）+…+MZ（Fn）

=∑MZ（Fi）三、合力矩定理Fn是齿轮间的啮合力，它对齿轮绕X轴转动的效果可用MX（Fn）度量。在机械工程中，通常将Fn分解为三个分力:FX——Fa（轴向力）FY——Fr（径向力）FZ——Ft（切向力，或称圆周力）10MX（Fn）=MX

（Fx）+

MX（Fy）+

MX（Fz）=MX（Fz）=MX（Ft）11同理：Mz（Fn）=Mz

（Fr）+

Mz（Fa）注意：有两个力对Z轴有力矩。为什么？

Ft∥Z轴例题1

求图示手柄上的力F

在三个坐标轴上的投影。12第一次投影第二次投影例题2

求图示手柄上的力F

对三个坐标轴之矩。注意力的共面问题如图示,什么是一次投影?什么是二次投影?小结：不共面，找力臂，判正负，列方程。§4.2空间力系的简化与平衡方程15一个物体有可能作6自由度运动卡拉比-丘成桐流形从六维转换成三维Mx(F)MZ(F)MY(F)

一、空间力系的平衡方程

与平面力系一样，空间任意力系最终也是可以简化为一主矢和主矩。当主矢和主矩都为零时，力系平衡。

最终可导出平衡方程：16它们可解六个未知量（用右手定则确定力矩的正方向）§4.2空间力系的简化与平衡方程空间汇交力系的平衡条件及平衡方程空间平行力系的平衡条件及平衡方程17二、空间常见约束类型（P59表4-1）18

空间固定端xzyFXFZFYMXMYMZ§4.3轮轴类构件平衡问题的平面解法（先空间部分）19该轴受力情况分析

例题3：设AC=CB=L，齿轮半径R=L/2；Fa=P，Fr=2P，Ft=3P。求A、B两点约束力(注意：此轴在力偶M和力Fn作用下处于平衡状态)。

解：1、研究对象:齿轮轴2、受力分析20解：3、列平衡方程求解A、B两处有5个约束力——未知量。（首先将B点约束力求出）21∑MZ=0，2LFYB

—LFr—RFa=0FYB=（LFr+RFa）/2L=（2LP+PL/2）/2L=1.25P注意力的共面问题（右手定则）Fa=P，Fr=2P，Ft=3PAC=CB=L，R=L/2解：3、列平衡方程求解A、B两处有5个约束力——未知量。（首先将B点约束力求出）22∑MY=0，2LFZB

—LFt=0FZB=Ft/2=3P/2=1.5P注意力的共面问题（右手定则）Fa=P，Fr=2P，Ft=3P∑MX=0，RFt—M=0M=RFt=(L/2)×3P=3PL/2AC=CB=L，R=L/2解：3、列平衡方程求解【FZB=1.5PFYB=1.25P】23Fa=P，Fr=2P，Ft=3PFZA和FZB

对称于Ft分布可定FZA=FZB？∑FY=0，FYA+FYB

—Fr=0FYA=Fr—FYB=2P—1.25P=0.75P∑FZ=0，Ft—FZA—FZB=0FZA=1.5P∑Fx=0，Fa—FXA=0FXA=Fa=PAC=CB=L，R=L/2

有些同学反映轴向力Fa对Z轴的力矩不理解。这实际上是如何将空间问题转化为平面问题进行分析。如果观察XAY平面，可看到的力有：FXA、FYA、Fa、Fr、FYB（Fn已分解，不出现）。此时，Z轴在XAY平面投影是个点——与A点重合。24

问题:1、

在如图已知条件下,如何求得MX?2、∑MY=0，2LFZB

—LFt+MX=0对吗？？25AC=CB=L，R=L/226已知:Fr=10KN,Fa=20KN,Rc=80,在平衡状况（匀速转动）下求MX=?讨论：A、B点约束力如何画？2728A、B点约束力如何画？2.二次投影法一.力在空间直角坐标轴上的投影1.一次投影法力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面上的投影对该轴与平面交点之矩。二、力对轴之矩

合力对某轴之矩，等于各分力对同轴力矩的代数和。三、合力矩定理本课小结空间力系平衡方程作业：30作业：P66~67习题4-2；4-6关键是搞清楚：投影关系！力对轴之矩！3132祝同学们学习愉快工程力学任课教师戴勇2018年9月~2019年1月34（用右手定则确定力矩的正方向）Mx(F)MZ(F)MY(F)复习：空间力系的平衡方程

复习：空间力系的平衡方程

与平面力系一样，空间任意力系最终也是可以简化为一主矢和主矩。当主矢和主矩都为零时，力系平衡。

最终可导出平衡方程：35它们可解六个未知量（用右手定则确定力矩的正方向）空间汇交力系的平衡条件及平衡方程空间平行力系的平衡条件及平衡方程36第四章

空间力系和重心§4.3轮轴类构件平衡问题的平面解法（平面部分）上次课已经涉及到了轮轴类零件平衡问题。能否采用平面方法来解题？

《制图》课程——工程语言课程——将空间实形转化成平面图形的办法学问。

平面解法解题步骤：

受力图——三个平面投影图——解三个平面任意力系平衡问题（但最多只能求解6个未知量）。37

上次课讨论的例题3：设AC=CB=L，齿轮半径R=L/2；Fa=P，Fr=2P，Ft=3P。求A、B两点约束力。38∑MZ=0，得FYB=1.25P∑MY=0，得

FZB=1.5P∑MX=0，得

M=3PL/2∑FY=0，

得

FYA=0.75P∑FZ=0，

得

FZA=1.5P∑Fx=0，得

FXA=P例1：（用平面法解）知：rD=50mm,rC=100mm,

切向力Ft1=3.58KN,径向力Fr1=1.3KN,Fr2=2.6KN；

求切向力Ft2和约束力？39

讨论：

1、研究对象

可从ZAY平面、

XAY平面、ZAX平面

分别进行研究。

2、画三个

平面的受力图40

已知：rD,rC，Ft1,Fr1,Fr2求切向力Ft2和约束力？右视图俯视图主视图

3、列平衡方程1）在ZAY平面上

∑MA(F)=0rCFt1—rD

Ft2=0

Ft2=rCFt1/rD

=100Ft1/50=2Ft1=7.16KN

还有四个约束力是未知数，在下面二张图中求解。41

已知：rD,rC，Ft1,Fr1,Fr2？？？？？右视图

3、列平衡方程2）在XAY平面上∑MA(F)=00.3FYB—0.2Fr2—0.1Fr1=0FYB=（2Fr2+Fr1）/3=(2×2.6+1.3)/3=2.17KN∑FY=0FYA+FYB—Fr2—Fr1=0FYA=Fr2+Fr1—FYB=2.6+1.3—2.17=1.73KN42？？

已知：rD,rC，Ft1,Fr1,Fr2

,Ft2

主视图3、列平衡方程3）在XAZ平面上∑MA(F)=00.2Ft2—0.3FZB—0.1Ft1=0FZB=（2Ft2—Ft1）/3=（2×7.16—3.58）/3=3.58KN∑FZ=0FZA+FZB

—Ft2+Ft1=0

FZA

=0？？43？？

已知：rD,rC，Ft1,Fr1,Fr2

,Ft2,FYB,FYAFZB=3.58KNFt1=3.58KNFt2=7.16KN俯视图从图中可看出FZB、Ft2、Ft1已成平衡。（FZA

=0）44Ft1=3.58KNFt2=7.16KNFZB=3.58KN俯视图总结：画两图（立体、平面）查投影列方程45

已知：rD,rC，Ft1,Fr1,Fr2

小作业：AC＝CB＝L1、请在五分钟内画出该空间力系的三张投影图。46∑MY=0，2LFZB

—LFt+MX=0对吗？？47

力偶的合力为零！力偶可使物体绕轴转动。§4.4物体的重心与平面图形的形心一、重心的概念及坐标公式1.重心和形心

重心在工程上处于很重要的地位。如飞机的起飞与降落，机首必须抬起，这与飞机载重位置有关；轮船从三副至大副，有一关就是装船配重关；磨床上的砂轮凡是新装上去的，一定要用平衡块校正；跑高速公路的汽车，修过轮胎后一定要用平衡块校正。48§4.4物体的重心与平面图形的形心一、重心的概念及坐标公式2.重心的概念及坐标公式

实际上该项是一个重积分的过程。推算略。(合力之矩等于各分力之矩的代数和）P64表4-2简单形体重心（形心）表从中可查到实用计算公式。注意表中“α”用弧度表示：如1800用“π”表示；900用“π/2”表示。49§4.4物体的重心与平面图形的形心二、确定物体重心位置的方法

1、组合法

匀质物体形心坐标公式：平面图形的形心50例2：

试确定如图a所示不等边角钢的形心位置。已知a=70mm，b=110mm，d=10mm。解法一：（1）选取参考坐标系Oxy如图所示。（2）将角钢截面假想地分割为Ⅰ、Ⅱ两个矩形，它们的形心位置分别为C1（x1，y1）和C2（x2，y2），面积分别为A1和A2。A1=(110×10)mm2=1100mm2

x1=5mm，y1=55mmA2=(60×10)mm2=600mm2

x2=40mm，y2=5mm（3）计算形心坐标51能用负面积法吗？解法二：将角钢截面看作从一个大矩形上去掉一个小矩形，如图所示，被去掉小矩形的面积取负值（称为负面积法）。设大矩形的形心坐标为C1（x1，y1），面积为A1，则设小矩形的形心坐标为C2（x2，y2），面积为A2，则A1=(110×70)mm2=7700mm2

x1=35mm，y1=55mmA2=—(60×100)mm2=—6000mm2

x2=40mm，y2=60mm52a=70mm

b=110mm

d=10