高二学科素养能力竞赛抛物线综合测试题（原卷版）

高二学科素养能力竞赛抛物线综合测试题第I卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A．

B．

C．

D．12．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（

）A． B． C． D．33．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．4．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是(

)A．B．(O为坐标原点)的面积为C．D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为5．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为A．2 B．1 C． D．46．已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为A． B． C． D．7．已知，是过抛物线（）焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则抛物线的标准方程为A． B． C． D．8．已知圆和焦点为F的抛物线上一点，M是上，当点M在时，取得最小值，当点M在时，取得最大值，则A． B． C． D．二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（

）A． B．C．A，，三点共线 D．10．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，以为圆心的圆与相切于点，点与抛物线的焦点不重合，且，，则（

）A．圆的半径是4B．圆与直线相切C．抛物线上的点到点的距离的最小值为4D．抛物线上的点到点，的距离之和的最小值为411．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32 D．当最小时，12．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（

）A．若直线的斜率为，则B．的最小值为C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D．若点，则周长的最小值为第II卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知圆C:，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.14．已知点是抛物线上动点，且点在第一象限，是抛物线的焦点，点的坐标为，当取最小值时，直线的方程为______．15．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线（）上任意一点，Q是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______.16．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线经过点，其焦点为．(1)求抛物线的方程；(2)设点在抛物线上，试问在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．18．已知抛物线上的点到其焦点的距离为．(1)求和的值；(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．19．已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值.20．已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，抛物线上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线的方程为．(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线和交抛物线于A，B，C，D，且A，C两点在直线的下方，求证：直线的倾斜角互补并求直线的交点坐标．