高二导数素质能力提高竞赛综合测试（原卷版）

高二导数素质能力提高竞赛综合测试第I卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则（

）A． B．C． D．2．若函数，函数，则的最小值为（

）A． B．C． D．3．已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．4．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则以下四个命题：①；②；③；④中一定成立的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函数，则（

）A． B．C． D．7．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线l上方，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数则方程在区间上的实根个数为（

）A．8 B．10 C．16 D．18二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．， B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切10．已知，函数，下列结论正确的是（

）A．一定存在最小值B．可能不存在最小值C．若恒成立，则D．若恒成立，则11．已知函数，函数，下列对函数描述正确的是（

）A．当时，有三个零点 B．当时，有三个零点C．当时，有三个零点 D．当时，有两个零点12．函数，，下列说法正确的是（

）．（参考数据：，，，）A．存在实数m，使得直线与相切也与相切B．存在实数k，使得直线与相切也与相切C．函数在区间上不单调D．函数在区间上有极大值，无极小值第II卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是__________．14．若时，关于的不等式恒成立，则正整数的取值集合为__________.（参考数据：）15．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____.16．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图所示，（百米），建立如图所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为______.四、解答题17．已知函数.(1)证明：函数存在两个极值点，且有；(2)试比较函数的极大值与极小值之和与3的大小，并说明理由.18．已知函数．(1)若，试判断的单调性，并证明你的结论；(2)若恒成立．①求的取值范围：②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：）19．设函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；(3)过坐标原点O作曲线的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.20．已知函数，其中．(1)证明：有唯一零点．(2)设为函数的零点，证明：①；②．参考数据：．21．已知函数（e为自然对数的底数）.(1)若在点处的切线方程为，求a的值；(2)若的最小值为1，求在上的最小值；(3)若，证明：当时，.22．椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线．关于x轴的对称点记为．C在点处的切线是指曲线在点P处的切线．定义“”运算满足：①若，且直线PQ与C有第三个交点R，则；②若，且PQ为C的切线，切点为P，则；③若，规定