正余弦定理的应用

正余弦定理的应用题型一求高度问题例1如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.跟踪训练1(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)题型二三角形的面积公式及其应用例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝eq\f(π,3)，cosA＝eq\f(4,5)，b＝eq\r(3).(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．跟踪训练2如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．题型三三角形面积的最值问题例3已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(eq\r(2)a－b)·sinB，求△ABC面积的最大值．跟踪训练3若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值．题型四三角形中的综合问题例4在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．跟踪训练4已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，∠C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．题型一求高度问题例1如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.跟踪训练1(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案eq\r(3)a，eq\f(2\r(3),3)a解析甲楼的高为atan60°＝eq\r(3)a，乙楼的高为eq\r(3)a－atan30°＝eq\r(3)a－eq\f(\r(3),3)a＝eq\f(2\r(3),3)a.(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·eq\f(1,tan45°)＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2·eq\r(3)h·h·eq\f(1,2)，解得h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176.4，∴h≈13m.题型二三角形的面积公式及其应用例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝eq\f(π,3)，cosA＝eq\f(4,5)，b＝eq\r(3).(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝eq\f(π,3)，cosA＝eq\f(4,5)，所以C＝eq\f(2π,3)－A，sinA＝eq\f(3,5).于是sinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\f(3＋4\r(3),10).(2)由(1)知sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(3＋4\r(3),10)，又因为B＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(3)，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(6,5).于是△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×eq\r(3)×eq\f(3＋4\r(3),10)＝eq\f(36＋9\r(3),50).跟踪训练2如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．解连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝eq\f(1,2)AB·ADsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC，∴S＝eq\f(1,2)(AB·AD＋BC·CD)sinA＝eq\f(1,2)(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝52－48cosC.∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32，∴cosA＝－eq\f(1,2)，又A∈(0°，180°)，∴A＝120°，∴S＝16sin120°＝8eq\r(3).题型三三角形面积的最值问题例3已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(eq\r(2)a－b)·sinB，求△ABC面积的最大值．解由正弦定理得a2－c2＝(eq\r(2)a－b)b，即a2＋b2－c2＝eq\r(2)ab.由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(2)ab,2ab)＝eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2RsinA·2RsinB·eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)R2sinAsinB＝eq\r(2)R2sinAsin(eq\f(3,4)π－A)＝eq\r(2)R2sinA(eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA)＝R2(sinAcosA＋sin2A)＝R2(eq\f(1,2)sin2A＋eq\f(1－cos2A,2))＝R2[eq\f(\r(2),2)sin(2A－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)]∵A∈(0，eq\f(3,4)π)．∴2A－eq\f(π,4)∈(－eq\f(π,4)，eq\f(5,4)π)∴sin(2A－eq\f(π,4))∈(－eq\f(\r(2),2)，1]，∴S∈(0，eq\f(\r(2)＋1,2)R2]，∴面积S的最大值为eq\f(\r(2)＋1,2)R2.跟踪训练3若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值．解S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－(a2＋b2－c2)，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，∴c2－(a－b)2＝2ab(1－cosC)，即S＝2ab(1－cosC)，∵S＝eq\f(1,2)absinC，∴sinC＝4(1－cosC)．又∵sin2C＋cos2C＝1，∴17cos2C－32cosC＋15＝0，解得cosC＝eq\f(15,17)或cosC＝1(舍去)．∴sinC＝eq\f(8,17)，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(4,17)a(2－a)＝－eq\f(4,17)(a－1)2＋eq\f(4,17).∵a＋b＝2，∴0<a<2，∴当a＝1，b＝1时，Smax＝eq\f(4,17).题型四三角形中的综合问题例4在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．解(1)由题意可知eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)×2abcosC.所以tanC＝eq\r(3)，因为0<C<π，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－A－\f(π,3)))＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤eq\r(3)(0<A<eq\f(2π,3))，当A＝eq\f(π,3)， 即△ABC为等边三角形时取等号．所以sinA＋sinB的最大值为eq\r(3).跟踪训练4已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，∠C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．(1)证明∵m∥n，∴asinA＝bsinB.∴a·eq\f