案例成果高数

二重积分定nf(x,y)dlimf(i,i)D zf(x,

i D

1二重积分的几何曲顶柱体在xoyfx,y0fx,y)d表曲顶柱体Dfx,y)0fx,y)dDfxy)符号不定时，fxy)d表曲顶柱体体积代D2性质

当为常数时[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x, 性质

对区(D

D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d 性质 若为D的面积，1dd 3性质

若在Dfx,ygx,y),则f(x,y)dg(x,y)d 特殊地|fxy)d|

f(x,

d性质 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上mf(x,y)dD性质 设函数f(x,y)在闭 D上连续 D积，则在D上至少存在一点(,)f(x,y)df(,)D4性质7设函数f(xy)在闭区域上连续域D关于x轴对称Dx轴上方的部分为D1Df(x,yf(x,y),

O

f(x,y)d

f(x,y)1f(x,yf(xyDf(x,yd15上 下 返 结5§§102利用利用直角坐标计算二利用极坐标计算二重定定积分如何计 61、X－型区域与Y－型区

X－型区

D表示

D

Y－型区

D：cy 1(y)x

Dc

xox7D的X

x1(

x2( ax 1(x)y2(D的YcyDY:

1(y)x

dy2dy2(Dcy(1ab8(1)如果积分区域为：axb1xy2y2y2(Dy1(aby2(Dy1(ab其中函数1x2x)在区间[ab]上连续.9fxy0fx,y)d的值等于D为底，以曲Dzfx,y为曲顶柱体的体积先对y后对x的二次积zf(x0,应用计zf(x0,的方法,b

zf(x,V

A(x0)

2(x0)f(x,

A(x001(x00

y2

f(x,y)d

b(2(x

f(x,y)dy)dx

y1 1(xff(x,y)dy.1(x2 (xabf(x,D

(2(2如果积分区域为：cyd,1yx2［Y－型x

xd1(ycDxd1(ycDxd1(ycDx2DDf(x,d2(yc1(yf(x,y)dx当D既是X－型区域：axb1(xyY－型区域：cyd1(yxyx=x=yc

x=x bdx2(x

f(x,y)dy

dy2(

f(x,

d 1(x 1(d 当D是任意区域时，用直线将D先分割为域，D1,D2,…,Dn，再利用积分在区域上f(x,yDn

y f(x,y i 确定D的边界曲线,画出D的图形;将D表示成X-型区域(或Y-型区域):D向x轴(y轴)上投影：axb(cyd过区域D,,

(x f(x, f 1(xD 2(y

注意:二1(1D

f(x,y)d

dy(y)f(x,y)dx

例1IDxyd其中Dy＝1x＝2y＝x所围的闭区域

1xy解法1将D看作X型区域则Dy1y

xd

2y1I1dxxyd 1

xy 21x31xdx

1y2

1x2yx解法2将D看作yx2 yxydx2

2xy

dy

yyI d

2 215上 下 返 结15例 求(x2y)dxdy，其中D是由抛Dxyyxy解两曲线的交yx2x

(0,0),1(x2y)dxdy1D

(x2 1[x2(0

x2)1(xx4)]dx33x x重要题型：交换二次积分的2、画出积分区域的3、10例 改变积10

1

fxy)dy的次序.0 0 原 dy y1例y1

f(x,y)dx11

2x

f(x,y)dy

22dx fxy)dy的次序2y2y2y 2x21原式1

f(x,练习改变积

2axx2

fx, (a0)的次序.2a2aa2ya22axx2a2a22axx2a2原式

0dyaa

f(x,a

f(x,y)dx

dyy2

f(x,a2a225求x2eydxdy，其中D是以2D(0,1)为顶点的三角形.2Qeydy无法用初等函数1积分时必须考虑1x2ey2

yx2ey2D1ey1

3dy

1ey21

y

1(1

2 2y练习y

II 21

yexdxy

exdx1 1yyy解Qexdx不能用初等函数表yy 原式I

1dx

exdy2 x(eex)dx e2 2二重积分化为二次积分时,为了计算简便,要恰当的选取积分次序,注意被积函数的特性.zz2zz2A(yx2y2x 设这两个圆柱面的方程分别x

y2R2及x2z2R2R2D{(x,y)|0yR2R2x

,0xVD

R2x2zzzz2A(yx2y2xR2xRR2xR

R2x2dydxR2x2RR2x2R