常见递推数列通项公式求法典型例题及习题

(圆满版)常有递推数列通项公式的求法典型例题及习题(圆满版)常有递推数列通项公式的求法典型例题及习题(圆满版)常有递推数列通项公式的求法典型例题及习题常有递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】[例1]an1kanb型。（1）k1，an1anb{an}是等差数列，anbn(a1b)（2）k1，an1mk(anm)∴an1kankmmmb比系数：kmmbk1∴{anba1b∴k}k，首11是等比数列，公比kanb(a1b)kn1an(a1b)kn1b∴k1k1∴k1k1[例2]an1kanf(n)型。（1）k1，an1anf(n)，若f(n)可乞降，可用累加消的方法。an1an1例：已知{an}足a1n(n1)求{an}的通公式。1，解：an1an111n(n1)nn1∵anan111an1an211∴1nn2n1nan2an311n3n2⋯⋯a3a211a2a112312ana11an21（n1）个式子乞降得：1nn∴（2）k1时，当f(n)anb则可设an1A(n1)Bk(anAnB)∴an1kan(k1)An(k1)BA(k1)Aaaba(k1)BAb解得：AB1)2∴k1，k1(k∴{anAnB}是以a1AB为首项，k为公比的等比数列∴anAnB(a1AB)kn1∴an(a1AB)kn1AnB将A、B代入即可（3）f(n)qn（q0，1）an1kan1等式两边同时除以qn1得qn1qqnqCnanCn1k1qnCnq{Cn}an1kanb令则q∴可归为型[例3]an1f(n)an型。1）若f(n)2）若f(n)

是常数时，可归为等比数列。可求积，可用积累约项的方法化简求通项。a11an2n1an1例：已知：3，2n1（n2）求数列{an}的通项。anan1an2a3a22n12n32n5533解：an1an2an3a2a12n12n12n3752n1an31a112n1∴2nankman1man1型。[例4]1k(11)1k1k考函数倒数关系有anan1m∴anan1mCn1an{Cn}可an1kanb型。令：1.已知{an}足a13，an12an1求通公式。解：an1m2(anm)an12anm∴m1∴{an11}是以4首，2公比等比数列∴an142n1∴an2n112.已知{an}的首a11，an1an2n（nN*）求通公式。解：anan12(n1)an1an22(n2)an2an32(n3)⋯⋯a3a222a2a121ana12[12(n1)]n2n∴ann2n13.已知{an}中，an1nan2求数列通公式。n2且a1解：anan1an2a3a2n1n2n3n4212an1an2an3a2a1n1nn1n243n(n1)an2an4∴a1n(n1)n(n1)∴an2n1an4.数列{an}中，1an，a12，求{an}的通。2n1解：12n1an111an12n1an∴an1an2n11bnan∴1∴bnbn12n1bn1bn22n1bnbn1232n2b3b2123b2b11221bnb12211∴bn22n

bn1bn⋯⋯1232n2n

1bn12n1bn1∴2n1[1(1)n1]2221111122n2n21an2n∴2n15.已知：a11，nan1an12n1{an}的通公式。2，2，求解：anAnB1[an1A(n1)B]2an1an11An1A1B2222A21A1B1A4B6∴a1463∴22解得：∴{an4n6}是以3为首项，12为公比的等比数列an4n63(1)n1an34n6∴2∴2n1【模拟试题】1.已知{an}中，a13，an1an2nan。，求2.已知{an}中，a11，an3an12（n2）求an。3.已知{an}中，a1，an2an12n（n2）求an。1an44{an}a4an4.已知中，，an1（n2）求。1an2Sn2已知{an}中，a12Sn1（n2）5.1，其前n项和Sn与an满足{1}{an}（1）求证：Sn为等差数列（2）求的通项公式6.{an}中，前n项和Sn满足Sn1(an2)2已知在正整数数列8（1）求证：{an}是等差数列（2）若bn1an30{bn}的前n项和的最小2，求值【试题答案】解：由an1an2n，得anan12n1∴anan12n1an1an22n2⋯⋯a2a12ana12(12n1)2n2an2n2a12n1∴12∴2.解：由an3an12得：an13(an11)an13∴an1即{an1}是等比数列1an1(a11)3n1∴an(a11)3n1123n113.解：anan11由an2an12n2n1得2n∴{anan12n}成等差数列，2n2(n1)∴ann2n2n14.解：an12242(an2)1an11anan∴an122(an2)2an2（n1）111bn1∴an12an22（n1）an2bn1bn1(n1)即2111n2(n1)an2∴{bn}是等差数列∴an2a1222n5.解：SnSn12Sn2（1）2Sn1∴Sn1Sn2SnSn1112{1}SnSn1∴Sn是首项为1，公差为2的等差数列12n1Sn2(1)22an2n14n2(n2)118nSn2132n12n1（2）∴1n1an2(n2)又∵a114n28n3∴6.解：a1S11(a12)2∴a12（1）8n2时，anSnSn11(an2)21(an12)288整理得：(anan1)(