指数式、对数式

指数式、对数式【课前明示】重点：1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 .2．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数对简化运算的作用 .难点：1．如何快捷进行根式及指数的运算？要想正确、快捷地进行根式及指数的运算，必须熟练掌握根式与指数形式的互化、各种运算性质及运算技巧 .x y a,（1）a 2b的化简：设可解得x,y,则a2bxy2xy|xy|,xyb,一般情况下只需简单凑成完全平方公式即可 .2）根式形式运算时，常常改写成指数形式，然后直接利用指数运算性质得出结论，但结果应化成已知的根式形式.3）在底数为分数或小数时，通常把它们先化成假分数再进行分数指数的运算.2．对数式与指数式怎样互化？abNblogaN其中a0,a1.3．式子nan与nan有什么差别？（1）当n为大于1的奇数量na对任意aR有意义.它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，nan1的偶数时，只有当a0时有意义.当a0时无意义，a.当n为大于naa0表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是a,na.nna（2）式子nan对任意aR都有意义.当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a,a0,a,a0.【课堂引入】111112731．计算：（1）;（2）(x2y2)(x4y4).6413[解]（1）原式4

3

14.31 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1（2）(x2y2)(x4y4)(x2y2)(x4y4)(x4y4)x4y4.2．计算：lg147lg7lg18.2lg3[解]方法一：原式lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)lg2lg72lg72lg3lg72lg31470.方法二：原式lg2lg17183【例题精析】●题型一 指数式的运算113，求xx14的值；（2）若xlog3423x23x1．（1）已知x2x21，求的值.x2x282x2x11[解（]1）由x2x2

3，得xx122xx1474317.xx47.2x2847839.x13（2）由xlog341,得log341,4x3.23x22x2

x22x122x3117.33[解题回顾]条件求值问题，简单的可直接代入， 复杂的常常需要先钭条件或求值式适当变形，然后方可代入.●题型二 对数式的运算2．计算：（1）lg27lg8lg1000；（2）lg2lg5lg0.2lg40.lg1.223lg33lg233(lg32lg21)3[解]（1）原式=222432lg21.lglg3210（2）原式lg2lg10lg2lg(2210)lg2(12lg2)(lg21)(2lg21)2210lg22(lg2)22(lg2)22lg2lg211.3．已知log23a,log37b，用a,b表示log4256.2[知识联想]将底数与真数分解质因数.[解]因为log23a，则13又log37b,log42log373log32ab3agl2,56log321ab.log37a1●题型三 指、对数式的大小比较4．比较各组值的大小：（1）0.40.2,0.20.2,20.2,21.6； （2）ab,ab,aa，其中0 a b 1；（3）(sincosa与(cossin，其中0,.[解]（1）0.20,0.40.20.0.20.20.40.20.401.而120.221.6.0.20.20.40.220.221.6.（2）0a1且bab,abaaab.（3）0,,0sincos(sincos(sinsin(cos)sin,即(sincos(cossin.[解题回顾]比较函数值大小是常见题型，常用方法有：（1）比较同指数幂的大小，比较同底数幂的大小时，运用幂函数、指数函数的单调性； （2）底数与指数都不同时，经常采用放缩法或借助第三者来比较大小；（3）有时可能用函数图象及其相互位置关系来比较大小.5．设m,n都是不等于1的正数，并且logm3logn3，试比较m,n的大小.[错解]logm3logn3,11,lgmlgn,mn.lgmlgn[解]logm3logn311lg3nlg3m0,lg3mlg3nlog3mlog3nlog3mlog3n0,log3mlog3n0,m1,0m1,1,n1,或0nmlog3n或log3mlog3m1,或n1.log3mnmnm0综上得，0mn1或1mn或0n1m.[解题回顾][错解]中由11，得lgmlgn是错误的.这里应分以下三种情况进行讨论：1gmlgn311lgmlgn,110，则m1,1mn;ii)若，i）若lgn0lgnlgmn1lgmlgmlgn,则0m1,0mn1;0n1101m1m.采用作差比数大小，是比较大小的常用手法之一.iii）若，则0lgmlgn本题也可借助图像进行比较.【随堂练习】220.531．求值：（1）(0.027)32771(31)0945.2；（2）125952[知识联想]利用分数指数幂进行计算：（1）先把根式化为分数指数幂；（2）再根据幂的运算性质进行计算.[解]（1）原式(0.3)212527

13

259559.910033100（2）原式521(52)2(52)1(52)1.log1211lg9lg292．计算：55=；1002=.243．方程3113x1的实数解为xlog34.3x3114．计算lglg251002=20.4[解]lg11lg2510024

lg110121020.100【课外作业】11．计算：(0.25)0.513160.251.27111122321.[解]原式273164442212．设a131313，则a,b,c的大小关系是bac.2,b5,c23．计算log21log31log5112.2589［解］原式2log25(3log32)(2log53)12.11(n,n1)(nZ)，则n=2.4．若11log1log12353111[解]11log1310log310(2,3).n2.log123log5135．已知ablg32lg353lg2lg5,则a3b33ab的值是1.[解]ablg32lg353lg2lg5(lg2lg5)[lg22lg25lg2lg5]3lg2lg52221.lg22lg2lg5lg5(lg2lg5)a3b33ab(ab)(a2b2ab)3ab(ab)21.6．已知lgxlgy2lg(x2y)，求lgxy2x的值.y[解]由lgxlgy2lg(x2y)，得lgxylg(x2y)2.222y,220,xyxy(x2y)x4xy4x5xy4y0,(xy)(x4y)或x4y.但xy时，x2y0故应舍去，x4y，即x4,log2xlog242lg24.yy1lg227．已知logax1,logbx2,logcx3,求logabcx的值.[解]logax1,logxa1.logbx2,logxb1.logcx3,logxc1.112163logabcxlogx(abc)logxalogxblogxc11.11123108．（1）已知ab1，且logablogbalogba的值；，求logab35（2）求lg8lg125lg2lg5.lg10lg0.1[解]（1）因为a11，所以logba1.设logbax，则logab1.x根据题意，x1101，解出x3.所以logablogba18x,xx.3x3（2）原式lg1000lg1024.1lg101(lg10)22【感受高考】1．（10·四川改编）2log510log50.252.[解]原式log5102log50.25log5(1000.25)log5252.2．（11·天津改编）已知a5log23.4,b5log43.6,c15

log30.3，则a,b,c的大小顺序为a c b .log30.310101log33,1log23.42.0,0log43.61,1log32.[解]1010,log23.41010又log23.4log2log3log3log43.6.5log23.55log335log43.6.333故acb.3．（12·北京）已知函数f(x)lgx，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.[解]f(x)lgx,f(ab)1,lg(ab)1,f(a2)f(b2)lga2lgb22lg(ab)2.4．（14·陕西）已知4a2,lgxa，则x10.[解]由于4a22a1112,解得a，故lgx，解得x10210.22第11课时 幂、指、对函数【课前明示】重点：611．了解幂函数的概念，结合函数 y x,y x2,y x3,y 1,yx2的图象了解它们x的变化情况.2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点 .3．理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要数学模型，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0,a1).难点：大致有yx21x11．幂函数的图象有几种类型？首先考虑在第一象限，、yx2、y三种不同的图象形状，然后考虑奇偶性得出在其它象限的图象.2x轴是函数图象的渐近线.0a1时，．为什么说单调性是指数函数的重要性质？当x,y0；当a1时，x,y0，当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.3．为什么说单调性是对数函数的重要性质？y轴是对数函数图象的渐近线.当0a1时，x0,y；当a1时，x0,y；当a1时，a值越大，图象越靠近x轴，递增速度越慢；当0a1时，a值越小，图象越靠近x轴，递减速度越慢.【课堂引入】1．幂函数yx2的定义域为{x|x0}；值域为(0,)；单调递增区间为(,0).[提示]y12.x2．已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图象可能是②.[解]函数f(x) 2x 2的图象是把函数 y 2x的图象向下平移 2个单位得到.7由2x 2 0，得x 1，即在( ,1)上函数 f(x) 2x 2的图象位于 x轴下方.根据指数函数图象的特点，不难看出把 x轴下方的部分对称到 x轴上方后是②的图象 .故填②.3．若函数y(log1a)x为减函数，则a1,1.22[解]0log1a1,1a1.224．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)2x1,则f(log210)的值为3.5［解］log210(3,4).x(0,1)时，f(x)2x1，且f(x)为偶函数，则当x(1,0)时，f(x)2x1，且f(x)的周期为2，当x(3,4)时，f(x)f(x4)2x41,f(log210)24log21011613.105【例题精析】●题型一 指数函数的运用1．已知函数f(x)ax1(a0,a1)，求函数f(x)的值域.ax1[解法一]由yax1，得axy1.ax0,y10，解得y1或y1.ax1y1y1f(x)的值域为(,1)(1,).[解法二]yax1ax1212.ax0,ax11.11或ax1ax1ax1ax11121或111.y1或y1故f(x)的值域为x0,xaxa1a11(,1)(1,).[解题回顾]解法一是逆求法.解法二是利用函数中局部的范围(ax0)，导出该函数值的整体范围（值域）.82．已知函数xaxxf()3,f(a2)18,()34的定义域为[0,1].xgx（1）求a的值；（2）若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数的取值范围.[方法指导]解（2）时应注意到函数f(x)是二次型函数，所以将g(x)在[0,1]上单调减等价转化为二次函数在[1,2]上的单调问题.[解]（1）由f(a2)3a218,3a2，故alog32.222）g(x)

x 4x 2x .2 40x1，则1x2.g(x)在[0,1]1，故2.2上单调递减，23．已知函数f(x)a(a0且a1).axa（1）证明：函数yf(x)的图象关于点1,1对称；22（2）求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.[方法指导]证明f(x)的图象关于点对称，只要证明f(x)图象上的任意一点关于该点的对称也满足f(x)的解析式即可；解（2）时应注意观察所求式的特点，转化为计算f( x) f(1 x)的定值，较简略 .[解]（1）设P(x,y)是f(x)图象上的任意一点，它关于1,1的对称点为P(x,y),22xx1,x1xaa则22中，得1y1y代入yax.yy1yaa1xa22y1aaax1axaa1xa1aaxax,aaaxa即ya.点P(x,y)也在f(x)的图象上.axa9故f(x)的图象关于点1,1对称.22（2）f(x)f(1x)aaaax11.axaa1xa1aaxaax1f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)[f(2)f(3)][f(1)f(2)][f(0)f(1)]3(1)3.●题型二对数函数的运用|logx|0x104．已知函数fx1x6(x若a,b,c互不相等，且fafbfc，则abc10),2的取值范围是10,12.[引入辅元]求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两上（或多个）函数，利用两个函数图象的上、 下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 .[解]a,b,c互不相等，不妨设abc,fafbfc,如图所示，由图象可知，0a1,1b10,10c12.fafb,|lga||lgb|.即lgalg1,a1,则ab1.所以abcc10,12.bb5．已知函数ylogaa2xloga2ax，当x[2,4]时，y的取值范围是1,0，求实数a的8值.[命题转化]将y转化为二次函数是解题的关键.[解]ylogaa2xloga2ax，当x2,4时，y的取值范围是1,0，求实数a的值.8[命题转化]将y转化为二次函数是解题的关键.[解]ylogaa2xloga2axlogax21logax121loga2x3logax21logax321.2228令y1，则logax3,x2,4,0a1,loga4logaxloga2.8210111210，即logax30.y82288由二次函数y1t321的图象得：228该图象必以3,1为顶点，并且过点2,0，或者以3,1为顶点，并且过点1,0，2828loga21,loga42,1.又loga4logaxloga2,2loga43或3loga21.解得a,222[解题回顾]求解本题应注意将y转化为二次函数型；再注意到a和logax的取值范围.【随堂练习】x1x4,11．函数f(x),23)2则f(log24.f(x1),x4［解］因为log234,所以f(log23)f(log231)f(log26).同理，得f(log26)f(log261)f(log212)f(log224).log224而log224log2164，得f(log23)11.2242．幂函数f(x)x的图象过点2,1，则f(x)的单调递减区间是(0,).4[解]由12，则222,f(x)x2.43．（1）ylgxlg(53x)的定义域是1,5；31（2）y4

|x|的值域是 [1, ) ；1（3）y3

x2 x1的单调递减区间是 , 。21[提示]y3

(x 1)2 12 4.4．当x (1,2)时，不等式(x 1)2 logax恒成立，则a (1,2] .[提示]设y (x 1)2,y logax，作出它们的图象可得 a的取值范围.115．函数f(x)log1(22xx2)的值域为[1,).3[解]22xx2(x1)233,log1(22xx2)log131.故值域为[1,).33【课外作业】1．设x0,1，下列不等式中正确的是③.21x1x331x1x11①11；②(1x)2(1x)2；③33；④(1x)2(1x)2.2222[解]0x1,1x1x0,0113,221x

1x

1x 1x1 1由指数函数单调性得2 2

，排除①，

3 32 2

,选③.30,133110，由幂函数的单调性得(1x)2(1x)2,(1x)2(1x)2,22排除②，④，故选③.ax21,x0,2．已知函数f(x)2)eax,x为R上的单调函数，则实数a的取值范围是(a0[1,0).[解]若a0，则f(x)在定义域两个共间内都是常数函数，不具备单调性；若a0，函数f(x)在两段上都是单调递增的，要想使函数在R上单调递增，只要(a2)e01，即a1,与a0矛盾，此时无解；若2a0，则函数在定义域的两段上都是单调递减的，要想使函数在R上单调递减，只要a21，即a1即可，此时1a0；当a2时，函数f(x)不可能在R上单调.综上所述，a的取值范围是[1,0).3．若函数fx2x,x0,，则函数yffx的值域是1,11,1.2x,x022[解]设nfx2x,x0,的值域为1,00,1.2x,x012yfn2n,1n0,的值域为1,11,1.2n,0n1224．若函数f(x)log2x2的定义域是[1,2]，则f(x)的值域是[0,1].[解]1x2,1x22,故0log2x21.1x141x5．已知9x103x90，求y2的最大值和最小值.42[解]由9x103x90，得(3x1)(3x9)0，解13x9,0x2.令1x2t，则1t1,y4t24t24t11.242当t11时，ymin1；当t1，即x0时，ymax2.,即x26．设a是实数，求函数f(x)4x4x2a(2x2x)的最小值，并求相应的x的值.[解]yx2x2x2x)x2xt，则t2,yt22at2t(a)a22(2)2a(22.设22.若a2，则当ta时，y有最小值a22.由ta，得2x2xa，即x2ax1，得2xaa242)，xlog2(aa24)1.(2)202(a若a2，则当t2时，y有最小值24a，由t2，得2x2x2,2x20,2x1,x0.1[解题回顾]本题是在内函数t2x2x值域为t2的情况下，求外函数yt22at2的最小值.因为二次函数yt22at2最小值与顶点横坐标a相对于区间[2,)的位置有关，所以要按此进行分类讨论，分为a在区间[2,)上和a在该区间外两类.7．已知函数f(x)lg[(a21)x2(a1)x1].（1）若f(x)的定义域为(,)，求实数a取值范围；（2）若f(x)的值域为(,)，求实数a的取值范围.[解]（1）根据题意，(a21)x2(a1)x10对一切xR恒成立.13当a210时，a210,解之得a1或a5.a1)24(a21)0,3当a210时，若a1,f(x)lg(2x1)，不合题意，当a1时，f(x)0，符合题意.综上所述，a1或a5.3（2）a210,1a5，当a210时，若a1,f(x)lg(2x1)，符号题意，03若a1,f(x)0，不合题意.综上所述，15a.38．已知函数g(x)4xn是奇函数，f(x)log4(4x1)mx是偶函数.2x（1）求mn的值；（2）设h(x)f(x)1x，若g(x)h[log4(2a1)]对任意x1恒成立，求实数a的取2值范围.[解]（1）由于g(x)为奇函数，且定义域为R，g(0)0，即40n0n1.20f(x)log4(4x1)mx,f(x)log4(4x1)mxlog4(4x1)(m1)x.f(x)是偶函数，f(x)f(x)，得到m11，所以mn.1x22（2）h(x)f(x)log4(4x1),h[log4(2a1)]log4(2a2).2又g(x)4x12x2x在区间[1,)上是增函数，所以当x1时，g(x)ming(1)3.2x232a242,11由题意得到2a10,a3,即a的取值范围是aa3.222a20【感受高考】1．（13·天津）函数 f(x) 2x|log0.5x| 1的零点个数为 2 .14[解]f(x)的零点的个数即为函数y|log0.5x|与函数y1的图象交点的个数，在同一坐2x1标系中作出函数y|log0.5x|与y的图象，易知有2个交点.2x2．（15·湖南）已知函数fxx3,xa,若存在实数b，使函数gxfxb有两个零点，x2,xa.则a的取值范围是,01,.[解]令xx3xa,hxx2xa，函数gxfxb有两个零点，即函数yfx的图象与直线yb有两个交点，结合图象可得a0或aha.即a0或a3a2，解得a0或a1，故a,01,.113．（12·天津改编）函数f(x)x22

x的零点个数为 1 .11[解]函数f(x)x22

x11的零点，即令f(x)0，根据此题可得x22

x，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个 .3．函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是1.[解]设y12x,y22x3，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示.4．（13·新课标全国卷I改动）已知函数f(x)x22x,x0,ln(x1),x0若|f(x)|ax，则a的取值范围是[2,0].[解]当x0时，f(x)x22x(x1)210，所以|f(x)|ax，化简为x22xax，即x2(a2)x，因为x0,所以a2x恒成立，所以a2.当x0时，f(x)ln(x1)0,|f(x)|ax化简为ln(x1)ax恒成立，由函数图象可知，a0，综合可知，2a0.5．（14·江西）已知函数fx5|x|,gxax2xaR.若fg11，则a=1.[解]因为g1a1,所以fg1fa15|a1|150，即|a1|0，得a1.6．（14·四川）已知fxln1xln1x,x1,1.现有下列命题：①fxfx；15②f2x2fx;③|fx|2|x|.其中的所有正确命题的序号是①②③.1x2[解]fxln1xln1xfx,①正确；2x2x2x21x2fln1lnx1x11x21x21lnlnln1x21x21x21xx12x1ln2ln2fx,②正确；1x1x

22当0x时，|fx|fx0.令Fxfx2x,1即Fxln1xln1x2x，则Fx1122x20,1x1x1x2所以函数Fxfx2x在[0,1)上为增函数，所以FxF0，即fx2xf0200，即fx2x0，又因为fx为偶函数，所以|fx|2|x|,③正确.7．（13·湖南）函数f(x)lnx的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为2.[解]由对数函数f(x)lnx与二次函数g(x)x24x4(x2)2可得函数图象有两个交点.8．若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是(1,).x[解法一]不等式2x(xa)1可变形为xa1.21x在同一平面直角坐标系内作出直线yxa与y的图象.2由题意，在(0, )上，直线有一部分在曲线的下方，观察可知，有a1，所以a1.1x[解法二]不等式2x(xa)1可变形为ax.21x1(x0)，易知当x增大时，y记g(x)xx与y22

x的函数值都增大，故g(x)为增函数，又 g(0) 1，所以g(x) (1, ).由题意可知a 1.16第14课时 函数最值【课前明示】重点：掌握求函数值域最值的常用的方法 .难点：1．函数的值域与函数的最值有什么区别与联系？1）函数的值域是函数值的取值范围，它是一个集合，函数的最值是函数值的最大值与最小值的那一个值，它是函数值域中的一个元素.（2）函数一定要有值域，但不一定有最值，如函数y1的值域为x|xR且x0，但它x没有最大值，也没有最小值.（3）函数的最值一定在函数的值域中.2．如何求简单分式函数、无理函数的最值？它们实际上是基本函数的复合形式，可以通过恒等变形或换元转化为基本函数来求 .【课堂引入】1．设函数yx22x3，则该函数的单调递减区间为(,1]；单调递增区间为[3,).[提示]由x22x30，得x1或x3.2．已知函数fxx22x1，则fx的值域为0,2.[提示]f(x)x22x1,0f(x)2.3．若函数f(x)2,则f(x)的值域为8x2x20,.72[解法一]f(x)x22222,x177,x即0f(x)8.x17772417[解法二]由yx22，得yx2yx2y20.当y0时，得20,y0，x28由y24y(2y2)0，解得0y，综合以上得7[解法三]由f(x)(x22(2x1)0，得x1.当x,1时，x2)222f(x)；0当x1,时，f(x)0.当，x1时，f(x)取最大值为8.227又f(x)0,f(x)(0,8].7【例题精析】●题型一分式函数的最值．已知函数f(x)x，求f(x)的最大值与最小值.1x21[方法指导]求f(x)的最值的常用方法有不等式法、判别式法.解法一当x0时，，当x0时，111[f(x)0f(x)1,xx|x|x2.]xx|f(x)|11f(x)1.当x1时，f1,解得22(x)取最小值为.22当x1时，f(x)取最大值为1.2[解法二]由yxx，得yx2xy0.当x0时，y0；当x0时，y20.211y1(y0).22综上以上知，当x1时，f(x)min1;当x1时，f(x)min1.22[解题回顾]解一是利用不等式求f(x)的最值，解二是用判别式法求f(x)的最值.总之函数f(x)ax(ab0,a,b,c,d均为常数)时，可考虑用以上两种方法来求f(x)的cxbx2d最值.2．已知函数f(x)x22x4，求f(x)的最值.x2x418(x2x4)x1x[解法一]f(x)x4.x2x2x4当x0时，f(x)11;4x14x21当x0时，x13,11，即2f(x)1;x3x413x当x0时，x415,1116x4;x15x当x0时，f(x)1.综合以上，当x2时，f(x)min2；当x2时，f(x)min6.35[解法二]由yx22x4，得(y1)x2(y2)x4(y1)0；当y1时，x0；x2x4当y1时，(y2)216(y1)20，解得2y6.35当x2时，f(x)min2；当x2时，f(x)max6.35[解题回顾]在解一中应注意先将f(x)进行适当的简化后再分类讨论用不等式求解，对简单的有理函数的最值问题都可考虑用导数的方法来求解.3．已知函数y2x1，求该函数的最值.x2x22[]设2x1t，则t21(t1)2tt22t.解法一222当t0时，y0；当t0时，y245,2y0;4.t15t1tt当t0时，y2,t413,0y2.tt1t343212x,当x时，ymax综合以上得，当时，ymin52.2x1231;[解法二]由y2，得2yx2(y2)x2y10.当y0时，x2x2x2当y0时，y2)28y(2y1)0，即15y24y40,2y2.5319当x321时，ymax2时，ymin5；当x.223[解题回顾]解一是换元法，通过对分子的换元将原函数式转化为题型一中的第2题类型，解二是判别式法.●题型二 无理函数的最值4．求函数y1的值域.x2x1[条件转换]由于函数形式特殊，求函数f(x)的值域可从求f(x)的分母的取值范围入手即可.23.[解]x2x1故f(x)的值域为0,23.x2x335．已知函数yxx21，求该函数的最大值.[解]由yxx21，得x21xy0,xy,又x21x22yxy2.显然y0.xy21y21y，得y210，解得y1或0y1.2y，由2yyy取最大值为1（此时x1）.[解题回顾]解本题的关键点有：一是将函数式变形挖掘出隐含条件xy，二是将函数式看成关于x的方程并解出x；三是利用xy得到关于y的不等式解出y.另外，等轴双曲线及其渐近线的图象是本题的几何背景.6．设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g(a)，求g(a).[解]设1x1xt,1x1,平方得t2221x2，因此2t24,2t2.m(t)at22tat2ta,t[2,2]，对称轴为t1，分以下情况讨论：22a①当a0时，函数ym(t),t[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t10知ym(t)在[2,2]上单调递增，所以g(a)m(2)a2.a②当a0时，m(t)t,t[2,2]，所以g(a)2.20③当a 0时，函数y m(t),t [ 2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段 .1(0,2]，即a2若t，则g(a)m(2)2.a2若t12,2)(a若t1)(2,a

，即2a1,用g(a)m1a1.22a2a，即1a0，则g(a)m(2)a2.2a2a1,2综上所述，g(a)a12a12a2,22a2.2[解题回顾]f(x)a1x21x1x的特征是：1x2与1x1x存在着特定的关系.(1x1x)2221x2.因此，考虑用换无法.设1x1xt，则t2221x2.于是f(x)变换为关于t的函数m(t)1at2tat[2,2].事实2上，f(sincoassin与本例是同一个模型，区别在于sin2cos21，而(1x)2(1x)22.【随堂练习】10，则函数y2x21的最大值为22.．若xx[提示]2．函数

x0,2x2112x1y2x22.xxxf(x)xx1的最小值为3.412[提示]3x10,x1,f(x)(x1)x11x1.24当x5时，f(x)min3.442123;另解，设x1t(t0)，则xt21,f(t)t21tt13244当t1时取等号.23．函数f(x)2x2x2的值域为0,34.41217,0f(x)34.[解]f(x)2x2x22x4844．已知函数f(x)x，则当x=-1时，f(x)取最小值1；x2x13当x1时，f(x)取最大值1.[]由yx2x得yx2(y1)xy0.当y0时，x0；提示当y0时，y1)24y20，解得1y1,(y0)；1时，1x22x13当y0,x1;3333当y1时，x22x10,x1.【课外作业】1．函数y432xx2的最小值是2；最大值是4.[提示]032xx2(x1)242,2432xx24.2x0时，函数yax21的最小值为3，则正实数a.．若9x4[解]x0,yax21ax12a3,a9.xx43．函数[解]设

9y 2x 1 7 4x的最大值为 .27t274xt(t0)，则x,47t2t291(t1)2129y1tt25(01)5.22222224yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10．函数上，其中mn0，则12的最小值为8.mn[解法一]函数yloga(x3)1A(2,1),的图象恒过定点点A在直线mxny10上，则有2mn10，即2mn1.又mn0,m0,n0,1111(2mn)4n4m4248.mnmnmn当且仅当n2m时，等号成立.[解法二]yloga(x3)1A(2,1).的图象恒过定点点A在直线mxny10上，2mn10，即mn1.mn0,m0,0.n22ab21221R),mn21(a,b2n.abm2128，当且仅当mn1，即m1,n1时，取“=”，12的最小值为8.mn2442mn5．设函数ymx243xn的最大值为7，最小值为1，求该函数的解析式.x21[解]由ymx243x，得(ym)x243xy0.x21由已知条件ym0,ym)(yn)0，得y2(mn)y(12mn)0,由y7,(y1)(y7)0，得y26y70.mn6,m5,m1,12mn解得n1或5.7,n所求函数的解析式为y5x243x1或yx243x5.x21x216．已知函数y9x26x1x21，求该函数的最大值和最小值.[解法一]由yx26x1，则(y9)x26xy10.当y9时，x4;x21323当y9时，yy1)0,y210y0，解得0y10.当x10，当x3时，ymax10.时，ymin3[解法二]由y9x26x196x8.记u6x8，设6x8(,tt)R，则xt8，x21x21x216ut2t236t36；t816t1001001t166t当t0时，u0；当t0时，t10016201636.umax1，即ymax10；t当t0，t1001620164,umin9,即ymin0.t2x7．已知函数f(x)，点A(1,0)，点P是函数yf(x)(x1)图象上的任意一点，x1求AP的最小值，并求此时点P的坐标.x2[解]设P(x,y),AP2(x1)2y2(x1)24.令x1t,t0，x14t1242222则AP2(t2)2t24t8t4t4ttttt22t2.t因为x1，所以t0,t222.所以AP2(222)2.y因此AP的最小值是222.此时t2,x21，点P的坐标是(21,22).8．函数g(x)(x2m,x[1,2]，g(x)2x恒成立，求实数m的取值范围.1)|xm|x1[解]由题意，2x2m在x[1,2]上恒成立，即xm在x[1,2]上恒成立.x1(x1)|xm||xm|故m[1,2]，否则无意义.则有0m1或m2.则|xm|m对x[1,2]恒成立，mmxmm,mxmx2mxm对x[1,2]恒成立.xxx1当x1时，012m，此时2m1或m2；242当1x2时，x2mx2.1xx1设h(x)x2x112在(1,2]上是减函数，h(x)minh(2)4，因此