电子科大随机信号分析2015随机期末试题A

__________/电子科技大学2014-2015学年第2学期期末考试A卷一、设有正弦随机信号XtVcost，其中0t，为常数，V是[0,1)平均散布的随机变量。〔共10分〕1．画出该过程两条样本函数。(2分)2．确定t02，t143时随机信号X(t)的一维概率密度函数，并画出其图形。(5分)3．随机信号X(t)可否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号Xt的随意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：1__________/X(t)Vcost1t2.当t02时，X(2)0，PX(2)01，此时概率密度函数为：fX(x;)(x)2当t3时，X(3)2V，随机过程的一维概442率密度函数为：3)2,2x02fX(x;40,others2__________/3.EXtEVcost1cost均值不平稳，所2以X(t)非广义平稳，非严格平稳。二、设随机信号Xnsin2n与Yncos2n，其中为0~上平均散布随机变量。〔共10分〕1．求两个随机信号的互有关函数RXY(n1,n2)。(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不有关性与统计独立性。(4分)3．两个随机信号结合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互有关函数3__________/RXY(n1,n2)EXn1Yn2Esin2n1cos2n21n12n22sin2n12n2Esin2212n20sin2n12其中Esin2n12n220对随意的n1、n2,都有RXY(n1,n2)0，故两个随机信号正交。又EXnEsin2n1cos2n2,0EYnEcos2n1sin2n004__________/CXY(n1,n2)RXY(n1,n2)mXn1mYn21sin2n2n0212故两个随机信号互不有关，又由于X2n2221Ynsin0ncos0n故两个随机信号不独立。3.RX(n1,n2)EXn1Xn2Esin2n1sin2n21Ecos2n2ncos2n2n212122125__________/RY(n1,n2)EYn1Yn2Ecos2n1cos2n21Ecos2n12n2cos2n12n22212两个随机信号的均值都平稳、有关函数都与时刻组的起点没关，故两个信号分别平稳，又其互有关函数也与时刻组的起点没关，所以二者结合平稳。三、Wt为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点PWt30.3和PWt30.7，试求〔共10分〕1．Wt的一维概率密度函数。(3分)2．Wt的二维概率密度函数。(4分)6__________/3．Wt可否严格平稳？(3分)解：下面的讨论中，t不在时隙分界点上：1.在时隙内的任一点上，Wt为二进制失散随机变量，所以，随机信号的一维概率密度函数为：fw,t0.3w30.7w3当t1,t2在同一时隙时，随机变量t1,Wt2取值相同，此时二维概率密度函数为：fw1,w2;t1,t20.3w13,w230.7w13,w23当t1,t2不在同一时隙时，随机变量Wt1,Wt2取值独立，此时二维概率密度函数为：fw1,w2;t1,t20.09w13,w230.21w13,w230.21w13,w230.49w13,w233.Wt不严格平稳。7__________/四、设正弦随机信号X(t)=Acos(ωt+Θ),ω是常数，A∽U(-1,+1),Θ∽U(0,π),且A和Θ统计独立，令Y(t)=X2(t)。〔共10分〕讨论：1．Y(t)的均值。(3分)2．Y(t)的有关函数。(4分)3．Y(t)是否是广义平稳？。(3分)解：1.Y(t)的均值：E[Y(t)]E[X2(t)]E[A2cos2(t)]1EA2E[1cos(2t2)]21EA21*112236Y(t)的有关函数：8__________/RY(t,t)EY(t)Y(t)EX2(t)X2(t)EA4cos2(t)cos2(t)1EA4E1cos2t221cos2t2411E1cos2t22cos2t24511Ecos(2)cos(4t24)20401cos(2)2040由于Y(t)的均值和有关函数都与t没关，所以Y(t)是广义平稳随机信号。五、高斯随机信号X(t)的自有关函数以以下列图〔共10分〕1．求X(t)的一维概率密度函数。(3分)2．求X(t)上间隔为0.001的随意两个采样9__________/时刻的二维密度函数。(4分)3．对一段时长为1秒的信号，最多可以获取多少了独立的采样点？(3分)RX(τ)4τ(秒)-0.000100.0001解：1.求X(t)的一维概率密度函数；〔3分〕2，故m=0由于：RX(∞)=m22=4σ=RX(0)-mfX(x;t)1x224exp8求X(t)上间隔为τ=0.001s的随意两个采样时刻的二维密度函数；〔4分〕由于：CX(τ)=X(Rτ-)m2，故CX(0.001)=010__________/高斯随机变量不有关，则其统计独立，因此随意两个间隔为0.001s的两个随机变量的二维密度函数为：fX(x1,x2;t11x12x22,t2)exp88对一段时长为1秒的信号，最多可以获取多少了独立的采样点？〔3分〕由于不有关的最小间隔为0.0001秒，则在秒间隔内，最多可采集的独立采样点为：1/0.0001+1=10001N0六、功率谱密度为2的零均值平稳高斯白11__________/噪声经过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频次为f0，带宽为2B。〔共10分〕1．ni(t)的同相重量i(t)及正交重量q(t)的自有关函数和有关系数。(4分)2．i(t)的二维概率密度函数。

f(i,i2;t,t1)i12B(3分)3．i(t)及q(t)的二维结合概率密度函数。(3分)解：依题12__________/1.Si( )Sq( )SX(0)SX(0),00,其余2N02Bsin(2B)sin(2B)Ri( )Rq( )2B2N0BB22i( )Ci()Ri( )sin(2B)q( )Ri(0)2Sa(2B)Ci(0)Bq( )i( )Sa(2B)2.2Bkk,k1,2,是Ri()的零2B点f(i,i;t,t1)f(i;t)fi(i2;t1)i122Bi12Bi2i211exp(1)exp(2)22N0B4N0B22N0B4N0B1exp(i2i24N0B12)4N0B由于ni(t)的功率谱对于f0偶对称，故i(t)与q(t)各处正交、没关、独立13__________/fiq(i,q;t1,t2)fi(i;t1)fiq(q;t2)1exp(i2q2)4N0B4N0B七、已知平稳过程X(t),t的均值函数为m(t)1，有关函数为R( )2cos2，讨论其均值各态历经性。〔共10分〕解：1( )1Tlim2TTCdlim2TTT

T()1dTlim1Tlim1T2TTcos(2)d4TTcos(2)d2TTlim1cos(2)TT0T4T所以X(t),t拥有均值各态历经性。14__________/八、设有随机过程X(t)Acos(t),t，其中A,是相互独立的随机变量，是正常数，A~U(3,3),~U(0,2)，试讨论X(t),t的广义平稳性和广义各态历经性。〔共10分〕解：mX(t)EAcos(t)EAEcos(t)0R(t,t)EAcos((t))Acos(t)EA2Ecos((t))cos(t)621cos3cosR()1222X(t),t广义平稳。15__________/lim1TAX(t)2TTAcos(t)dtTlimAsinTcos0mXTTlim1TAX(t)X(t)2TTAcos((t))Acos(t)dtTA2cosR()2XX(t),t均值各态历经，有关函数不拥有各态历经性。九、假定某积分电路的输入X(t)与输出Y(t)之间知足关系：Y(t)tX( )d，积分时t4间为4秒。〔共10分〕1．求该积分电路的冲激响应h(t)。(5分)2．假定输入X(t)Acos(0t)，其中16__________/A=2，0为常数，θ为遵照[0,2)平均散布的随机变量，求输出Y(t)的功率谱。(5分)解：〔1〕Y(t)tX( )dt4X(t)(t)时，Y(t)h(t)故h(t)u(t)u(t4)2〕E[X(t)]E[Acos(0t)]0RX(t,t)E[X(t)X(t)]E[Acos(0t)Acos(0(t))]2cos0故X(t)为平稳随机信号，其功率谱为SX( )2(0)(0)由于积分电路为LTI系统，当输入为平稳随机信号时，输出也是平稳随机信号。17__________/H(j)h(t)ejtdt4sin(2)ej22H(j24sin22)2则SY( )8sin22(0)(0)2十、已知平稳白噪声信号X(t)经过以下列图所示的低通滤波器，X(t)的均值为零，自相关函数为RX( )( )。〔共10分〕求：1．输出信号的功率谱。(5分)2．输出信号的平均功率。(5分