北师大版初三上课后习题及答案

北师大版初三上课后习题及答案

第一章特殊平行四边形

习题1-1

1.已知：如图，在菱形ABCD中，NBAD=2NB.求证：AABC是等边三角

形.

2.如图，在菱形ABCD中,BD=6,AC=8,求菱形ABCD的周长.

3.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点o.求证：AC

平分NBAD和NBCD,BD平分NABC和4ADC

4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,团中有多少个

等接三角形和直角三角形？

1.证明:V四边形ABCD是菱形，BC=AB,BC//AD,/.ZB+ZBAD=180°

(两直线平行，同旁内角互补).

VZBAD=2ZB,AZB+2ZB=180°,AZB=60°.YBC=AB,

ABC是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形).

2.解：四边形ABCD是菱形，,AD=DC=CB=BA,AC±BD,A0=l/2AC=

l/2x8=4,D0=1/2BD=l/2x6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得

AD=V(AO2+DO2)=V(42+32)=5./.菱形ABCD的周长为4AD=4x5=20.

3,证明：,/四边形ABCD是菱形，AD=AB,AC士BD,DO=BO,.*.△ABD是

等腰三角形，I.A0是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是ZDAB的

平分线，AC平分ZBAD.

同理可证AC平分ZBCD,BD平分ZABC和ZADC.

4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.

习题1-2

1.已知：如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC的垂直平分线分别与

AD.AC.BC相交于点E,0,F.求言正：四迫形AFCE是菱形.

2.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD和交于点0,点E,

F,G,H分别

是0A,OB,0C,CD的中点，求证：四边形EFGH是菱形。

3.如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC,AD>CD,将纸片沿过点D的

直线折叠，使点C落在AD上的点C'处，折痕DE交BC于点E,连接

CE.你能确定时边形CDC*E的形状吗?证明你的结论.

答案：

1.证明：在IZ1ABCD中，AD//BC,AZEA0=ZFC0（两直线平行，内错角

相等）.

EF是AC的垂直平分线，A0=C0.在△A0E和△C0F中，

ZEAO=ZFCO,

<AO=CO,

、ZAOE=COF,

/.△AOE之△COF(ASA),/.AE=CF.：AE//CF,

...四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

•••EF士AC,四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

2.证明：•.•四边形ABCD是菱形，二AC±BD,OA=OC,OB=OD.又点

E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,0D的中点,

OE=1/2OA,0G=l/2OG,0F=1/2OB,0H=1/2OD,OE=OG,OF=OH,

四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

•/AC±BD,即EG±HF,/.平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的

平行四边形是菱形）.

3.解：四边形CDOE是菱形.

证明如下：由题意得，△C'DECDE.所以NCZDE=ZCDE,C”

D=CD,CE=C~E.又因为AD//BC,所以/CZDE=ZCED,所以/CDE=Z

CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C,E=C,D,所以四边形CDOE是

菱形（四边相等的四边形是菱形）

习题1-3

1.已知，如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF,

求证：（l）Z\ADE^ACDF,（2）ZDEF=ZDFE

2.证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半。

3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,且AC=16,BD=12,

求菱形ABCD的高DH.

4.已知：如图，在四边形ABCD巾,AD=BC,点E,F,C,H分别足AB,

CD,AC,BD的中点，求证：四边形EGFH是菱形

5.如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使NA为

菱形的一个内角吗？

答案:

1.证明：(1)四边形ABCD是菱形,

AD=CD,AB=CB,ZA=ZC.

,?BE=BF,AB-BE=CB-BF,即AE=CF.

(AD=CD,

(NA=/C,ADE=△CDF(SAS).

在△ADE和CDF中，lAE=CF,

(2)VAADECDF,Z.DE=DF,AZDEF=ZDFE

(等边对等角).

2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.

图1-1-35

求证：S菱形ABCD=l/2AC-BD.证明：Y四边形ABCD是菱形，Z.AC±

BD,AO=CO,BO=DO./.S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△C0D=l/2AO.BO.

S菱形ABCD=4xl/2AO-BO=l/2x2A0-2B0=l/2AC-BD.

3.解：在菱形ABCD中，AC±BD,AZA0B=90°,A0=1/2AC=1/2x16=8,

B0=1/2BD=1/2x12=6.

在Rt△AOB中,由勾股定理，得AB=V（AO"2+BO"2）=V（8"2+6"2）=10.

S菱形ABCD=l/2AC-BD=1/2x16x12=96,

又DH±AB,S菱形ABCD=AB-DH,

96=AB-DH,即96=10DH,DH=9.6.

二菱形ABCD的高DH为9.6.

4.证明：•••点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，GF是△ADC的

中位线，EH是△ABD的中位线,GF//AD,GF=l/2AD,EH//AD,EH=1/2AD,

/.GF//EH,GF=EH,四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边

形是平行四边形），

又,/FH是△BDC的中位线，，FH=l/2BC.

又•••AD=BC,I.GF=FH,二平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四

边形是菱形）.

5.略

1.一个矩形的对角线长为6,对角线与一边的夹角是45,求这个矩形

的各边长,

2.一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°,对角线长为15,求这个

矩形较短边的长.

3.如图，在RSABC中，NACB=90。，D为AB的中点,AE//CD,CE〃AB,

试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论。

4.证明，如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三

角形是直角三角形。

答案:

图1-2-33图1-2-34图1-2-35

1.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD,两条对角线相交于点0,

0A=0B=3.在△AOB中，ZOAB=Z0BA=45°，于是NA0B=90°,

AB=V(0B"2+0A"2)=3V2,同理AD=3V2,所以BC=AD=3V2AB=DC=3V2

所以这个矩形的各边长都是3V2.

2.解:如图1-2-34所示，

设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点0,ZA0B=60°,AC=BD=15,

AO=1/2AC=7.5,B0=l/2BD=7.5,OA=OB,

AOB是等边三角形，AB=7.5.

3.解：四边形ADCE是菱形.

证明如下：在Rt△ABC中，ZACB=90°,D为AB的中点，,CD=l/2

AB,AD=1/2AB,

AD=CD.AE//CD,CE//AD,Z.四边形ADCE是平行四边形.

又•••AD=CD,I.平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱

形）

4.已知:如图1-2-35所示，

在△ABC中，B0为AC边上的中线，B0=l/2AC.

求证：△ABC是直角三角形.

证明：如图1-2-35所示，延长B0到D,使BO=DO,连接AD,CD.

AO=CO,BO=DO,，四边形ABCD是矩形.AZABC=90°.

/.△ABC是直角三角形.

习题1-5

1.如图，在AABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E,使DE=AD,

连接BE,CE.

⑴试判断四边形ABEC的形状；

⑵当4ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？

2.如图，点B在MN上，过AB的中点。作MN的平行线，分别交NABM

的平分线

和NABN的平分线于点C,D试判断四边形ACBD的形状，并证明你的

结论

3如图，已知菱形ARCD,画一个矩形，使得A,B,C,D四点分别在矩

形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍.

D

（第3题）

答案：

1.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四

边形）.

（2）当△ABC是直角三角形，即ZBAC=90°时，四边形ABEC

是矩形.

图1-2-37

2.解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.

CD//MN,，Z2=Z4.BD平分ZABN,AZ1=Z4,Z1=Z

2,二OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,OC=OD.：0是AB的

中点，OA=OB,

...四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

又,/BC平分ZABM,AZ3=1/2ZABM.BD平分ZABN,AZ1=

1/2ZABN.

ZABM+ZABN=180°,/.2Z3+2Z1=180",AZ3+Z1=90°,即

ZCBD=90°.

•••平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

3.解：做法如下：如图1-2-37所示,

（1）连接AC,BD;

(2)过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;

(3)同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E,F,G,H,则

矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.

习题1-6

1.如图，在矩形ABCD中，对角AC与BD相交于点0,ZABC=30°,BD=4,

求矩形ABCD的面积.

2.如图，在矩影ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点A作BD的

垂线，垂足为E,已知NEAD=3NBAE,求NEA0的度数。

3.已知：如图，在AABC中，AB=AC,D为BC的中点，四边多ABDE是

平行四边形,

求证：四边影ADCE是矩形。

(第3题)

4.如图，在矩彤纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,将矩彤纸片折叠,

使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长。

D

B------------------------------------------C

（第4题）

5.如图，在矩形ABCD中，AB=3.AD=4,P是AD上不与A和D重合的

一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，番足为E,F求PE+PF的

值。

（第5期）

答案：

1.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4,ZABC=90°,ZACB=30°,：.AB=

1/2AC=1/2X4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=V(AC*2-AB*2)=

V(4-2-2"2)=2V3.

/.S矩形ABCD=BC-AB=273X2=4V3.

2.解：在矩形ABCD中，ZBAD=90°,即ZBAE+ZEAD=90°.

VZEAD=3ZBAE,AZBAE+3ZBAE=90°,ZBAE=22.5°.

AZEAD=3ZBAE=3X22.5°=67.5°.；AE±BO,AZAEB=90°,AZ

BAE+ZABE=90°,即22.5°+NABE=90°,AZABE=67.5°.

AC=BC,0A=l/2AC,0B=1/2BD,，OA=OB,AZOAB=ZABE=67.5°.

,/ZEAO+ZBAE=ZOAB,/.ZEAO=ZOAB-ZBAE=67.5°-22.5°

=45°.

3.证明：YD是BC的中点，BD=CD.

,/四边形ABDE是平行四边形，，AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性

质）.二AE=CD.

•••AE//CD,四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形

是矩形）.

•••AB=AC,ED=AC,平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的

四边形是平行四边形）.

X4.解:将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38

所示.

折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点0，在矩形ABCD

中，ZB=90°，BC=8cm,设CE=xcm，则AE=xcm，BE=BC-CE=（8-x）

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2,X2=62+(8-x)2,解得

x=25/2,即EC=25/4cm.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=V(AB"2+BC"2)=V(6"2+8"2)=1Ocm.

0C=l/2=AC=l/2X10=5cm.

EF±AC,AZE0C=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得E02=EC2-0C

2,E0=V(E0"2-0C'2)=V((25/4)"2-5"2)=15/4cm,：.折痕EF=2E0=2

X15/4=15/2cm.

X5.解：如图1-2-39所不，

连接P0.S矩形ABCD=AB.BC=3X4=12.在Rt△ABC中，AC=BV(AB2+BC2)=

J(32+42)=5.又因为AC=BD,A0=1/2AC,DC=1/2BD,

所以A0=D0=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD=1/2AO.PE+1/2DO-PE=

1/2AO(PE+PE)=1/2X5/2(PE+PE)=5/4(PE+PE).又因为S

△AOD=1/4S矩形ABCD=1/4X12=3，所以5/4(PE+PE)=3,解得

PE+PE=12/5.

习题1-7

1.对角线长为2cm的正方形，边长是多少？

2.如图，四边形ABCD是正方形，ACBE是等边三角形，求NAEB的度

数.

3.如图，A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，

仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=QC.证明两条直路BP=AQ且

派4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小

路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽度）.你

有几种方法？（至少说出三种）

答案

1.解：设正方形的边长为为想xcm,则x2+x2=22,解得x=J2,即正方形

的边长为V2cm.

2.解：四边形ABCD是正方形，:.乙ABC=ZDCB=90°,AB=BC=DC.

VACBE是等边三角形，,BE=EC=CB,ZEBC=ZECB=60°.

AZABE=30°.

AB=BE,

.'.ZAEB=BAE=(180°-ZABE)/2=(180°-30°)/2=75°.

3.证明：如图1-3-24所示，

•••四边形ABCD是正方形，

，AD=D,ZBAD=ZD=90°,AB=DA.

,/PD=QC,

...AP=DQ

?.△ABPDAQ.

BP=AQ,Z1=Z2.

VZ2+Z3=90°,

AZ1+Z3=90°,

即BP1AQ.

X4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方

形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅

供参考.

4^,P.n

:E0S3

图

图1-3-241-3-25

习题1-8

1.证明：对角线相等的菱形是正方形.

2.已知：如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DE.

求证：四边形AECF是菱形。

（第2题）

3.如图，在正方形ABCD中，E,F,G,H分别在它的四条边上，且

AE=BF=CG=DH.

四边形EFGH是什么特殊四边形?你是如何判断的?

（第3题）

4.如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,正方形A'B'C'0与正方形

ABCD的边长相等.在正方形A'B'C，。绕点。旋转的过程中，两个正

方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系?请证明你的

结论.

（第4题）

答案:

1.答案：对角线相等的菱形是正方形.

已知：如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且

AC=DC.

求证：四边形ABCD是正方形.

证明：•/四边形ABCD是菱形，/.AD=BC.

又"/AB=BA,BD=AC,.*.△ABD且△BAC(SSS).AZDAB=ZCBA.

又：AD//bc,AZdab+Zcba=180°.AZDAB=ZCBA=90°.

...四边形ABCD是正方形.

2.证明：•••四边形ABCD是正方形，

AD=CB,AD//CB,

.\ZADF=ZCBE.

在△ADF和=ZCBE中，

'AD=CB,

■ZADF=ZCBE,

、BE=DF,

ADFCBE（SAS）,

\AF=CF,ZAFD=ZCEB.

ZZAFD+ZAFE=180°,ZCEB+NCEF=180°,

AFE=ZCEF（等角的补角相等）.

AF//CE（内错角相等，两直线平行）.

•.四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

AD=AB,

.'.ZADF=ZABE.

在△AFD和AEB中,

'AD=AB,

,ZADF=ZABE,

、DF=BE,

/.△AFDAEB(SAS).

AF=AE,

...四边形AECF是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).

3.解：四边形EFGH是正方形.

在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.

因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,

即BE=CF=DG=AH.

所以△AEHg△BFEg△CGFg△DHG(SAS),所以Z

AEH,HE=EF=FG=GH,所以四边形EFGH是菱形.

因为/AEH+ZAHE=90°,

所以NDHG+ZAHE=90°,

所以NEHG=90°,所以菱形EFGH是正方形.

4.解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.

证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积

的1/4,即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=1/4S正方形ABCD.

重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设0A'与AB相交于点E,OC'

与BC相交于点F.

,/四边形ABCD是正方形，

二OA=OB,ZEAO=ZFB0=45°,AO±BD.

又VZA0E=90°-ZEOB,ZB0F=90°-ZEOB,

AZAOE=ZBOF,

/.△AOEBOF.

二S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,

二S△AOB=S四边形EBFO.

又S△A0B=l/4S正方形EBFO.

Z.S四边形EBF0=l/4S正方形ABCD.

第一章复习题

(1-5)

1.一个菱形的两条对角线的长分别为4cm和8cm,求它的边长。

2.如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且0A=0B=0C=

0D=J2/2AB,则四边形ABCD是正方形吗？

(第2题)

3.如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那

么这个四边形一定是菱形吗?为什么？

4.一个菱形的周长是200cm,一条对角线长60cm,求：

(1)另一条对角线的长度；

⑵菱形的面积.

5.证明：如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么以它

的四边中点为顶点可组成一个正方形

答案：

1.解：设该菱形为菱形ABCD,两对角线交于点0,则△AOB为直角三角形,

直角边长分别为2cm和4cm,则有勾股定理，得AB=J(0A-2+0B-2)=J

(2"2+4"2)=2V5(cm),

即林习惯的边长为2J5cm.

2.解：由OA=OB=V2/2AB,可知0A-2+0B-2=AB-2,则ZA0B=90°.

因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，

故四边形ABCD必是正方形.

3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.

4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点

0,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.

解：(1)因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4X200=50

(cm),

ACJ_BD且0A=0C=1/2AC=1/2X60=30(cm),0B=0D.在Rt△AOB中，

0B=V(AB2-AO2)=V(502-302)=40(cm).

所以BD=20B=80cm.

(2)S菱形ABCD=l/2AC-BD=1/2X60X80=2400(cm'2).

5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD,对角线AC±BD,E,F,P,Q分

别为边AB,BC,CD,DA的中点.

求证：四边形EFPQ为正方形.

证明：•••E,Q分别为B,AD的中点，

同理/-BD,EF/Z工AC,E(yZFP.

.-.EQ/=/23D.=E2M=2=

二四边形EFPQ为平行四边形.

AC=BD,EF=EQ.

•••CEFPQ为菱形.

*/AC±BD,/.EF±EQ.

AZQEF=90°.

菱形EFPQ是正方形.

(6-10)

6.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC,

求NDAE的度数.

（第6题）

7.（1）如果一个菱形绕对角线的交点旋转90后，所得图形与原来的

图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？

⑵如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的

图形重合，那么这个四边形是正方形吗?为什么？

8.已知：如图，AD是AABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平

行线，交AB于点E,交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.

（第8题）

9.已知：ZXABC的两条高分别为BE,CF,点M为BC的中点.求证:ME=MF.

10.已知正方形的对角线的长为L,求这个正方形的周长和面积

答案

6.解AC=EC,AZCEA=ZCAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE,

AZDAE=ZCEA=ZCAE.

又ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°,

AZDAE=l/2ZDAC=1/2X45°=22.5°.

7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.

（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.

8.证明：如图1-4-22所示，

AD平分ZBAC,AZ1=Z2.

,/DE//AC,AZ2=Z3.

.\Z1=Z3.AE=DE.

DE//AC,DF//AB,

二四边形AEDF是平行四边形.

又AE=DE,QAEDF是菱形.

9.证明:如图1-4-23所示,

BE±AC,ME为Rt△BEC的中线，

/.ME=1/2BC.

同理MF=1/2BC,ME=MF.

10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=1.求正方形的周长和面积.

解：正方形ABCD中，AB=BC,ZB=90°.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,2AB

2=y,所以AB=V2/21.所以正方形的周长=4AB=4XV2/21=2V21,S四边形

ABCD=AB"2=(J2/21)"2=1/21-2.

（11-15）

11已知:如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,点C

作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.求证：四边

形C0DP是菱形.

（第】1题）

12.已知:如图，在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,点M,P,

N,Q分别在AO,BO,CO,DO上，且AM=BP=CN=DQ.求证：四边形MPNQ

是形.

（第12鹿）

13.已知：如图，在RtaABC中，ZACB=90°,CD是0ABC的角平分线,

DE±BC,DF±AC,垂足分别为E,F.求证：四边形CEDF是正方形，

14.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm.动点P从点A开始沿AB边以4cm/s

的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以lcm/s的速度运动，点P

和点Q同时出发，当其中一点到达终点时一，另一点也随之停止运动.

设动点的运动时间为ts,则当t为何值时，四边形APQD是矩形？

（第14题）

15.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形?试说

明理由。

答案：

11.证明：CP//BD,DP//AC,

四边形CODP是平行四边形.

四边形ABCD是矩形，AC=BD.

0C=l/2AC,0D=1/2BD,OC=OD

...四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）

12.证明：四边形ABCD是矩形，

/.AC=BD.

OA=OC,OB=OD,

又；AM=BP=CN=DQ,

，OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,

...四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,

...MN=PQ,四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

13.证明：在Rt△ABC中，ZACB=90°,CD平分ZACB,

AZFCD=l/2ZACB=45°.

DF±AC,AZDFC=90°.

在Rt△FCD中,ZFDC=90°-ZFCD=90°-45°=45°

AZFCD=ZFDC,/.FC=FD.

DE±BC,AZDEC=90°.

AZDFC=ZFCE=ZDEC=90°.

...四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.

•IFC=FD,四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）

14.解：由AP=4tcm,CQ=1cm,

丁四边形ABCD是矩形，

AB=DC-CQ=（20-t）cm.

DQ=DC-CQ=（20-t）cm.

当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,

20-t=4t,解得t=4

二当t为4时，三角形APQD是矩形.

15.解：△BFD是等腰三角形，理由如下：

Y四边形ABCD是矩形，

AD//BC,AZADB=ZDBC.

VZFBD=ZDBC,

VZFBD=ZADB,BF=DF.

...△BFD是等腰三角形.

（16-21）

16.如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案,

求NACF,ZAFC的度数.

（第16■）

17.小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来

时，又感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾

沿对角线对折，让小颖检验（如图）.小颖还是有些疑惑，老板又将纱

巾沿另一条对角线对折，让小颖检验.小颖发现这两次对折后两个对

角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾。你认为小颖买的这块纱巾一

定是正方形吗?你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？

18.已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,

H.求证：四边形EFGH是矩形.

fi

B

（第18题）

19.你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗?在这些剪拼的过

程中，剪下的困形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？

⑴平行四边形；（2）三角形；（3）菱形.

20.将相应的条件填在相应的箭头上，使得下图能清楚地表达几种四

边形之间的关系。

（第20脑）

21.已知两条对角线，利用尺规作一个菱形.

答案：

16.解由题意知，矩形ABCD四矩形GCDF,

I.AB=FG,BC=GC,AC=FC,

△ABCFGC,

AZACB=NFCG.

VZACB+ZACD=90",

AZFCG+ZACD=90°,

即ZACF=90°.

•••AC=CF,ACF是等腰直角三角形.

ZAFC=45°.

17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检

验对角线是否相等.

18.证明：,/四边形ABCD是平行四边形，

，BC//DA.

AZDAB+ZABC=180°.

AH平分ZDAB,BH,平分ZABC,

AZHAB=3/2ZDAB,ZHBA=1/2ZABC.

/.ZHAB+ZHBA=90°.

AZH=90°.

同理可证ZF=90°,ZHEF=90°.

，四边形EFGH是矩形.

19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.

(1)(2)(3)

图1~4~24

20.略

21.略

第二章一元二次方程

1.根据题意，列出一元二次方程：

（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,

恰好变成i一个正方形，这个正方形的边长是多少？

⑵三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242,这三个数分别是多

少？

2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系

数、一次项系数和常

数项：

•等号的边相是关f人出数的制式的方程•檄力整式方程・

3.从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿坚拿都进不去，横着比

门框宽4尺,竖着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着

拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？

请根据这一问题列出一元二次方程。

答案：

1.解：（1）设这个正方形的边长是xm,根据题意，得（x+5）（x+2）=54,

即x2+7x-44=0.

(2)设这三个连续整数依次为x,x+1,x+2，根据题意，得x(x+1)

+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242,即x2+2x-80=0.

―—融形式二次一二数|一次项一次|重数可！

Xr5=5,-]I3——5x+l-3]3I-5I]

1）*6I—+*_8.0J1I1I—8

2._____________^____________________________

3.解：设竹竿长为x尺，

则门框宽为（x-4）尺，高为（x-2）尺.由勾股定理，得（x-4）2+（x-2）

"2=x2,即x2-12x+20=0.

习题2-2

1.一个面积为120m2的矩形苗它的长比宽多2m.苗僮[的长和宽各

是多少？

2.有一条长为16m的绳子，你能否用它围出一个面积为15m2的矩形?

若能，则矩形的长、宽各是多少？

3.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必

须在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否

则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间1（s）和运动员距离

水面的高度h（m）之间满足关系:h=10+2.5t-5t?.那么他最多有多长

时间完成规定动作？

答案：

1.解：设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m.

根据题意，得x（x+2）=120,即x2+2x-120=0.列表：

由表格知x=10.（当x=-12时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去）

答：苗圃的宽为10m,长为12m.

2.解：能.设矩形的长为xm,则宽为（8-x）m.

根据题意，得x（8-x）=15.

整理,得x2-8x+15=0.列表:

12345

j-2-8J-+183

由表格知x=5.（当x=3时，也满足方程，但不符合实际，故舍去）

答：可用16m长的绳子围城一个15m2的矩形，其次为5m,宽为3m.

3.解:根据题意，得10+2.5t-5t2=5，即2t2-t-2=0,列表：

所以l<t<2.进一步列表:

11.11.21.31.4

2tz—t—2—0.68—0.320.080.52

所以1.2<t<l.3.

答：他完成规定动作的事假最多不超过1.3s.

习题2-3

1.解下列方程：

(1)x2+12x+25=0(2)x2+4x=10

2.如图，在一块长35m、宽26nl的矩形地面上，修建同样宽的两条互

相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花

草，要使剩余部分的面积为850m2道路的宽应为多少？

3.游行队伍有8行12歹U,后又增加了69人，使得队伍增加的行、列

数相同，你知道增加了多少行或多少列吗?

答案：

1.解：(1)移项，得x2+12x=-25.

配方，得x2+12x+62=-25+36,(x+6)2=11,

即x+6=V11或x+6=-VII.，x_l=V11-6,x_2=-V11-6.

(2)配方，得x2+4x+22=10+22,(x+2)2=14,

即x+2=V14或x2=-V14.

二x_l=V14-2,x_2=-V14-2.

(3)配方，得x2-6x+(-3)2=11+(-3)2,(x-3)2=20,

即x-3=2V5或x-3=-2V5.

，x_l=2V5+3,x_2=-2V5+3.

(4)化简，得x2-9x=-19,

酉己方，得x2-9x+(-9/2)-2=-19+(-9/2)~2,(x-9/2)

"2=5/4,

即x-9/2=V5/2或x-9/2=-V5/2,

：.x_l=(9+V5)/2,x_2=(9-V5)/2.

2,解：设道路的宽为xm,根据题意，得(35-x)(26-x)=850.

整理，得x2-61x+(-61/2)2=-60+(-61/2)2.

二(x-61/2)"2=(3481)/4.开平方，得x-61/2=±59/2.

解得x_l=l,x_2=60(不合题意，舍去).

答：道路的宽应为1m.

3.解：设增加69人后，增加的行数，列数都是x，则(x+8)(x+12)=69+8

X12.

整理，得x2+20x=69.

配方•得x2+20x+102=69+102.

(x+10)2=169.

开平方，得x+10=±13.

解得x_l=3,x_2=-23（不合题意，舍去）

答：增加的行数，列数都是3.

习题2-4

L解下列方程：

(1)6x2-7x+l=0(2)5x2-18=9x

(3)4x2-3x=52(4)5x2=4-2x

2.印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏。

八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调

皮.告我总数共多少，两队猴子在一起”你能解决这个问题吗？

派3.如图，A,B,C,D是矩形的四个顶点，AB=16cm,BC=6cm,动点P

从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止;动点Q同

时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动何时点P和点Q之间的距

离是10cm?

A1--------

g**c

(第3题)

答案：

1.(1)x_l=l,x_2=l/6.(2)x_l=3,x_2=-6/5.

(3)x_l=4,x_2=-13/4.

(4)x_l=(-1+721)/5,x_2=(-1-721)/5.

2.解：设共有x只猴子，根据题意，得x=(l/8x)2+12.解得xl=16,

x_2=48.

答：共有16只或48只猴子.

3.

解：如图2-2-4所示，过点Q作QHJ.AB,垂足为H.设经过ts时,

点P和点Q的距离是10cm.

则CQ=2tcm,AP=3tcm.

Y四边形ABCD是矩形，AZB=ZC=90°.

VZQHB=90°,

二四边形QHBC是矩形，

,BH=CQ=2t,HQ=BQ=BC=6cm,

PH=AB-AP-BH=16-3t-2t=(16-5t)cm.

在Rt△PHQ中，ZPHQ=90°,由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2.

当PQ=10cm时，102=(i6-5t)2+62.(16-5t)2=64,

解得t」=8/5,t_2=24/5,

经检验：t_l=8/5s,t_2=24/5s时都符合题意，所以当t」=8/5s和

t_2=24/5s时，点P和点Q的距离是10cm.

习题2-5

1.不留方程，判断下列方程的根的情况:

(1)5/+x=7；(2)25/+20*+4=0;

(3)(x+l)(4x+l)=2x

2.用公式法解下列方程：

(1)2x2-4x-l=0；(2)5x+2=3x-；

3

-X

2

3.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一

丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对

角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

4.长方体木箱的高是8dm,长比宽多5dm，体积是528立方分米,求这个木箱的长和

宽.

答案：

1.解：(1)原方程变形为5x2+x-7=0,

这里a=5,b=l,c=-7,因为b2-4ac=l2-4X5X(-7)=141>0,

所以原方程有两个不相等的实数根.

(2)这里a=25,b=20,c=4.因为b2-4ac=202-4X25X4=0,

所以原方程有两个相等的实数根.

(3)原方程变形为4x2+3x+l=0,

这里a=4,b=3,c=l,因为b2-4ac=32-4X4Xl=-7<0,

2.解：(1)a=2,b=-4,c=-l,

b2-4ab=16-4X2X(-1)=24>0,

x=(-b±V(b"2-4ac))/2a=(4+2V6)/4,

x_l=(2+V6)/2,x_2=(2-V6)/2.

(2)5x+2=3x2变形为3x2-5x-2=0.

a=3,b-5,c=-2,

b2-4ac=25-4X3X(-2)=49>0,

x=(-b±J(b2-4ac))/2a=(5±7)/6,

x_l=2,x_2=-l/3.

(3)(x-2)(3x-5)=1变形为3x2-llx+9=0.

a=3,b=-ll,c=9,

b2-4ac=121-108=13>0,

x=(-b±V(b*2-4ab))/2a=(11±V13)/6.

x_l=(ll+V13)/6,x_2=(ll-V13)/6.

(4)0.2x2+5=3/2x变形为0.2x2-3/2x+5=0,

a=0.2,b=-3/2,c=5,

b2-4ac=(-3/2)2-4X0.2X5=-7/4<0,

原方程没有实数根.

3.解：设门的高为x尺，则宽为(x-6.8)尺.

根据题意，得102=x?+(x-6.8)2

整理，得2x2-13.6x-53.76=0.

解得x_l=9.6,x_2=-2.8（不合题意，舍去）.

x=9.6.x-6.8=2.8.

答：门的高度为9尺6寸，宽为2尺8寸.

4.解设木箱的长为xdm,则宽为（x-5）dm,于是有8x（x-5）=528,

解得x_l=ll,x_2=-6（不合题意，舍去）.所以x=ll.所以x-5=l1-5=6.

答：木箱的长为11dm,宽为6dm.

习题2-6

1.在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同

的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积

的72%,那么金色纸边的宽应该是多少？

2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）,另

三边用木栏围成，木栏长40nl.

⑴鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m'吗？

⑵鸡场的面积能达到250m?吗？

如果能，请你给出设计方案;如果不能，请说明理由，

3.如图，圆柱的高为15cm,全面积（也称表面积）为200ncm2,那么圆

柱底面半径为多少？

（第3昭）

派4.如图,由点P(14,1),A(a,0),B(0,a)(a如)确定的三角形PAB

的面积为18,求a的值。

(第4题)

答案：

1.解设金色纸边的宽是xcm,根据题意，得(90+2x)(40+2x)X72%=90

X40,

即x2+65x-350=0,解得x_l=5,x_2=-70(不合题意，舍去).

答：金色纸边的宽是50cm.

2.解：设鸡场的一边(靠墙的一边)长为xm,则另外两边长均为(40-x)/2m.

(1)若x-(40-x)/2=180,解得x_l=20+2V10(不合题意，舍去)，

x_2=20-2J10.

鸡场的面积能达到180m2.

若x-(40-x)/2=200,解得x_l=x_2=20.

二鸡场的面积能达到200m2.

(2)若x-(40-x)/2=250,则x2-40x+500=0,方程无实数根.

...鸡场的面积不能达到250m2.

3.解：设圆柱底面半径为Rem,则15-2nR+2nR2=200n,

解得R_l=5,R_2=-0(不合题意，舍去).

，圆柱底面半径为5cm.

X4.解：如图2-3-2所示，过点P做x轴的垂线，垂足为M,根据题意，

得S△pab=S梯形pmob-S△boa-S△pma,

即1/2(1+a)X14-1/2a2-l/2XlX(14-a)=18，

解得a_l=3，a_2=12.

所以a的值为3或12.

习题2-7

1.用因式分解法解下列方程：

(l)(4x-l)(5x+7)=0；(2)3x(jr-l)=2-2x；

(3)(2x+3)?=4(2x+3)；(4)2(X-3)2=XZ-9.

2,解下列方程：

(1)5(X2-X)=3(X2+X);(2)(X-2)2=(2X+3)2；

(3)(x-2)(x-3)=12；(4)2x+6=(x+3)2；

(5)2y'+4y=y+2.

3.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜

花（如图），原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地面积为

12n?,求原正方形空地的边长.

答案:

L解：(1)(4x-l)(5x+7)=0，

4x-l=0,或5x+7=0,

x_l=l/4,x_2=-7/5.

(2)原方程可变形为3x(x-1)+2(x-1)

即(x-1)(3x+2)=0,

X-l=0,或3x+2=0,

Z.x_l=l,x_2=-2/3.

(3)原方程可变形为(2x+3)(2x+3-4)=0,

2x+3=0,或2x-l=0,

x_l=-3/2,x_2=l/2.

(4)原方程可变形为

2(2x-3)2-(x+3)(x-3)=0