初中数学数据分析解答题专题训练含答案

…………○…………外…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………初中数学数据分析解答题专题训练含答案

姓名：__________班级：__________考号：__________一、解答题（共12题）1、垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员丙测试成绩统计表测试序号12345678910成绩（分）768b758a87（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的a＝，b＝；（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.81、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）2、某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）___________，___________；（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．3、在5月31日世界禁烟日到来之际，某校为了提高禁烟意识，在七、八年级举办了“关爱健康，远离香烟”的知识竞赛，两个年级分别有500人为了了解本次竞赛成绩情况，现从中各随机抽取了部分同学的测试成绩x（得分均为整数，满分为100分）进行调查分析，过程如下：第一步：收集数据七年级：68

88

100

100

79

94

89

85

100

88

81

69

98

79

77

94

96

75

92

67八年级：69

97

78

89

98

100

99

100

95

99

99

69

75

100

99

78

79

87

85

79第二步：整理、描述数据分数段60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年级人数3458八年级人数25310第三步：分析数据年级平均数中位数众数满分率方差七年级868810015%115．6八年级88．792a15%120第四步：应用数据（1）直接写出a的值和八年级抽取了多少个同学的成绩进行分析（2）在此次测试中，七年级甲学生的成绩为89分，八年级乙学生成绩为90分，甲、乙两人的成绩在各自年级中哪一个更靠前？请说明理由．（3）若成绩在90分至99分之间（含90分，99分）的学生为二等奖，请估计七、八年级一共获得二等奖的学生总人数．4、某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：甲：92，95，96，88，92，98，99，100乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，（1）求甲成绩的平均数和中位数；（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．5、某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为，你对它与中位数的差异有什么看法？（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？6、某中学准备举行一次球类运动会，在举行运动会之前，同学们就该校学生最喜欢那种球类运动问题进行了一次调查，并将调查结果制成了表格、条形图和扇形统计图，请你根据图表信息完成下列各题：（1）此次共调查了多少位学生？（2）请将表格和条形统计图补充完整.乒乓球足球篮球其他60

7、一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．（1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率．8、如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．9、为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是；（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．10、2020春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了三条人工测体温的通道，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有两学生进校园，在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．（1）其中一个学生进校园时，由王老师测体温的概率是；（2）求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率．11、某中学为了解该校学生阅读课外书籍的情况，学校决定围绕“在艺术类、科技类、动漫类、小说类、其他类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍种类是什么？（只写一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的条形统计图．

请结合统计图回答下列问题：

（1）在本次抽样调查中，最喜欢哪类课外书籍的人数最多，有多少人？

（2）求出该校一共抽取了多少名同学进行问卷调查？

（3）若该校有800人，请你估计这800人中最喜欢动漫类课外书籍的约有多少人？

12、某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？（3）如果上述样本的平均数为157cm，方差为0.8；该校八年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么_________(填“七年级”或“八年级”)学生的身高比较整齐．============参考答案============一、解答题1、（1）a＝7，b＝7；（2）选乙更合适；（3）．【分析】（1）根据众数、得到a、b中至少有一个为7，再根据平均数进而确定a＝b＝7；（2）求出甲、乙、丙的平均数、众数，通过平均数、众数比较得出乙、丙较好，再根据方差，得出乙的成绩较好，较稳定．（3）用树状图表示所有可能的情况，从中得出第二轮又回到乙手中的概率．【详解】解：（1）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为7，又平均数是7，即（56+a+b）÷10＝7，因此，a＝7，b＝7，故答案为：7，7；（2）甲的平均数为：＝＝6.3分，众数是6分，乙的平均数为：＝＝7分，众数为7分，丙的平均数为：＝7分，众数为7分，从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，但S乙2＝0.4＜S丙2＝0.8，因此，综合考虑，选乙更合适．（3）树状图如图所示：∴第二轮结束时球又回到乙手中的概率P＝．【点睛】本题主要考查了数据的收集与整理及概率，涉及了平均数、众数、方差的计算方法及其意义以及树状图或列表法求概率，灵活的从条形统计图、折线统计图以及表格中获取相关数据是解题的关键.2、（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；

（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；

（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案．【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88，

将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90，即b=90，

故答案为：a=88，b=90；

（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2＜S甲2，

故答案为：乙；

（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高．【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．3、（1）a＝99，八年级抽取了20个同学的成绩进行分析；（2）甲的成绩在自己年级中更靠前；（3）七、八年级一共获得二等奖的学生总人数为300人．【分析】（1）根据众数的定义分别进行解答即可；（2）把甲、乙两人的成绩与各自年级的中位数比较即可得到结论；（3）七、八年级的总人数乘以90分至99分之间（含90分，99分）的学生数所占的百分比即可的结论．【详解】（1）a＝99，八年级抽取了20个同学的成绩进行分析；（2）∵七年级同学的成绩的中位数是88，八年级同学的成绩的中位数是92，∴甲的成绩在自己年级中更靠前；（3）1000×＝300人，答：七、八年级一共获得二等奖的学生总人数为300人【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键．4、（1）平均数为95分，中位数为95.5分；（2）；（3）甲【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到a的范围，利用概率公式即可求解；（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可．【详解】解：（1）甲成绩的平均数为：；甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100，∴甲成绩的中位数为：；（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数）则乙成绩的平均数为：，当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即，解得，∴a的值可以为这8个整数∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数)；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，，解得，此时乙的平均数也为95，∴甲的方差为：；乙的方差为：，∵，∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛．【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差，以及概率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题的关键．5、（1）6.6t；差异看法见解析；（2）（其中a为标准用水量，单位：t）【分析】（1）从中位数和平均数的定义和计算公式的角度分析它们的特点即可找出它们差异的原因；（2）从表中找到第75和第76户家庭的用水量，即可得到应制定的用水量标准数据．【详解】解：（1）由表格数据可知，位于最中间的两个数分别是6.4和6.8，∴中位数为：（t），而这组数据的平均数为9.2t，它们之间差异较大，主要是因为它们各自的特点决定的，主要原因如下：①因为平均数与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。②中位数将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数，它的求出不需或只需简单的计算，它不受极端值的影响；这100个数据中，最大的数据是28，最小的是1.3，因此平均数受到极端值的影响，造成与中位数差异较大;（2）因为第75户用数量为11t，第76户用数量为13t，因此标准应定为（其中a为标准用水量，单位：t）．【点睛】本题考查了学生对中位数和平均数的概念的理解以及如何利用数据作出决断等，解决本题的关键是能读懂题意，正确利用表格中的数据特点进行分析，本题较基础，答案较开放，因此考查了学生的语言组织与应用的能力．6、解：（1）调查的学生人数为：60÷20%=300；（2）如下表，如右图乒乓球足球篮球其他60991329

7、（1）；（2）【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：1，符合条件的情况数目；2全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率．（1）（一个球是白球）=；（2）树状图如下（列表略）：开始∴（两个球都是白球）．考点：此题考查概率的求法点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，互为对立事件的两个事件概率之和为1．8、【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.【详解】画树状图得：所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为.【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．9、（1）；（2）见解析，【分析】（1）共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有一种，即可求出概率；（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出一张是演讲社团C的结果数，进而求出概率．【详解】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有1种，∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：ABCDA——ABACADBBA——BCBDCCACB——CDDDACBDC——共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是＝．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关键．10、（1）；（2）【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）共有三个老师测体温，分别是王老师、张老师、李老师由王老师测体温的概率是；故答案为：；（2）设王老师、张老师、李老师分别用、、表示，画树状图如下：共有9种等情况数，其中都是王老师测体温的有1种情况，则都是王老师测体温的概率是．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11、解：（1）最喜欢小说类课外书籍的人数最多，有20人；（2）由图可知：（人）．一共抽取了50名同学．（3）由样本估计总体得：（人）．800人中最喜欢动漫类课外书籍的约有192人．12、解：⑴正确补全频数分布直方图；

⑵样本的中位数在155~160cm的范围内；⑶八年级．

初中数学全部公式·(√为根号）

1

过两点有且只有一条直线

2

两点之间线段最短

3

同角或等角的补角相等

4

同角或等角的余角相等

5

过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7

平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8

如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9

同位角相等，两直线平行

10

内错角相等，两直线平行

11

同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13

两直线平行，内错角相等

14

两直线平行，同旁内角互补

15

定理

三角形两边的和大于第三边

16

推论

三角形两边的差小于第三边

17

三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°

18

推论1

直角三角形的两个锐角互余

19

推论2

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20

推论3

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21

全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS)

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23

角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24

推论(AAS)

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25

边边边公理(SSS)

有三边对应相等的两个三角形全等

26

斜边、直角边公理(HL)

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27

定理1

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28

定理2

到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等

(即等边对等角）

31

推论1

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33

推论3

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35

推论1

三个角都相等的三角形是等边三角形

36

推论

2

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38

直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39

定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40

逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42

定理1

关于某条直线对称的两个图形是全等形

43

定理

2

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3

两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2

，那么这个三角形是直角三角形

48定理

四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理

n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论

任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1

平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2

平行四边形的对边相等

54推论

夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3

平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3

对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4

一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1

矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2

矩形的对角线相等

62矩形判定定理1

有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2

对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1

菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1

四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1

正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1

关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理

等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79

推论1

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80

推论2

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81

三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82

梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半

L=（a+b）÷2S=L×h

83(1)比例的基本性质

如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性质

如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85(3)等比性质

如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86

平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87

推论

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88

定理

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90

定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91

相似三角形判定定理1

两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93

判定定理2

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94

判定定理3

三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95

定理

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96

性质定理1

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都等于相似比

97

性质定理2

相似三角形周长的比等于相似比

98

性质定理3

相似三角形面积的比等于相似比的平方

99

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理

不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2

圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L和⊙O相交

d＜r

②直线L和⊙O相切

d=r

③直线L和⊙O相离

d＞r

122切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d＞R+r

②两圆外切

d=R+r

③两圆相交

R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切

d=R-r(R＞r)

⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)

136定理

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理

把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140定理

正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a／4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144弧长计算公式：L=n兀R／180

145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146内公切线长=d-(R-r)

外公切线长=d-(R+r)

（还有一些，大家帮补充吧）

实用工具:常用数学公式

公式分类

公式表达式

乘法与因式分

a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式

|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系

X1+X2=-b/aX1*X2=c/a

注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0

注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0

注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0

注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=