教程(附练习题和答案)六年级-30讲全册版

小学数学奥数基础教程（六年级）

本教程共30讲

比较分数的大小

同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数

的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产

生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相

同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：

分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；

分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方

法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下

面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比

较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的

方法简便。

例如，器与K，分母的最小公倍数是三位数，分子的最小公倍数是60,把

空化为包工化为把因为色〉空所以丝〉12。

1785'22化为88'口为85"88‘见"17"22

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称

为“通分子”。

2.化为小数。

有时把已知分数化为小数后再比较大小，比通分等方法更简便。例如

.2与蒋13，一看就知道2彳=0.66…，^13=0.65,所以213

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时

是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

例如，集与黑约分后两个分数都等于所以它们是相等的。

4.根据倒数比较大小。

对于分数城口n,如果工<1,那么m〉n。

mn

加丽19=20m*211.120g”20、19

例如‘而与五’因为而=1而<1通=役所以3〉而。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母(子)大的分数较大；

若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母(子)小的分数较大。也就

是说，

如果a>b,k>0,那么亨〉B；

a+ka

如果a<b,k>0,那么B〉号。

aa+k

例如，1与因为9-7=13-11,所以得〉］又如，耳与粤，因

y1513yJ2)4JJ4I

崂嚼，5-所嚼〉署

类似地,对于看与圣因为9-8=12-11,所以看〉善。

O11O11

6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：

(1)对于分数m和n,若m>k,k>n,贝ljm>n。

例如，.5与7因5为1所17以.5<£7。这里借助于1

111J1【乙乙111J乙

Din23-22H%23、2323、2223.11

又如，而与万因为而〉亓及〉五，所以而〉示

(2)对于分数m和n,若m-k>n-k,则m>n。

218191

例如,『费募两个分数都畤略大，于是可以借助

立=654321

吟

184184

m—=----------n—=-----------

3654321'3456789

前一个差比较小，所以m<n。

（3）对于分数m和n,若k-mVk-n,则m>n。

例如竺与3因为1-竺=_1所以竺〉竺。

W19171U19191717,191741917

这里借助于1。

注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两

个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。

（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加I,得到一个新分数。新

分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。

例啊与于新刀数不y,3>W>7°

利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已

知分数容易比较大小时.，就可以借助于这个新分数。

例如，工与《不容易比较，新分数岩，一看就知道它等于0.55,而

11y11+y

5c“u.11^5珀*cIK6mn6-11—5mi”6,5

§=0.555…,由疝<于推知一定有丽〉五,即五〈而<§，所以五《“

比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，

但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，

分母小的分数大”这一基本方法。

练习1

1.比较下列各组分数的大小:

Q）篇1715

'）66'75⑶

69,67

乙、6616661小、117207，八103217

（）99819998；（）448,808；（）

ne*240

2.将下列各组分数用“<”连接起来:

、7667

°）19,23*19,13；

r、史A\_<7_51

‘）布'TTT，129'139°

答案与提示练习1

,「八3、4小、32、36，八17.15

1（0n>i5;■）布〉行；C）西〉药;

小、661.6661小、117.207，八103.217

（）998<9998；（）448>808；）H6<240°

c/1、6,67.7

20）23<19<19<13；

小47-51/18/41

（2）---<---<—<—o

12913949111

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巧求分数

我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或

分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、

减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题

目变化很多，因此解法也不尽相同。

例1有一个分数，分子加3可约简为分子减3可约简为:，求这个分

63

数。

分析：2比原分数多3个分数单位，:比原分数少3个分数单位，所以

63

之与2的和正好是原分数的2倍，即原分数是与;的平均数。

6363

解：仁51）3五7

例2有一个分数，它的分母加1,可约简为分母减1,可约简为,。

这个分数是多少？

分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1

就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母

调换位置后的分数，再求倒数即可。

解：*$+2=:,（的倒数是:

例3有一个分数，分子加上2可约简为，，分子减去1可约简为《，求这

o2

个分数。

分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求

解。

g比原分数多2个分数单位，（比原分数少1个分数单位，说明:和（相差（2+

1）个分数单位，我们先求出这个分数的一个分数单位，

4-4（2+1）=卜3=焉

这个分数为-2段或9a宗

例4一个分数，它的分母加上3可约分为它的分母减去2可约分为|

,这个分数是多少？

分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为:

一个分数，它的分子加上3可约分为《它的分子减去2可约分为看

这个分数是多少?

于是与例3类似，可以求出

7351

（5-5）+0+2）遥+5建

7111—3111

----x3=—或一■>—x2=—

36----6266

原分数=1+日=4。

011

在例1〜例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分

母同时变化，那么会怎样呢？

例用分数关29的分子减去a,分母加上a,则分数约分后变为，3求自然

数a»

分析与解：分子减去a,分母加上a,（约分前）分子与分母之和不

变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和变为3+5=8,所以分子、分

母约掉

的因子是72+8=9,约分前的分数是季==。由此求出a是29-27=2或

5X945

45-43=2o

例6分数墨的分子和分母都减去同一个自然数，新的分数约分后是工，

求这个自然数。

分析与解：分数4r4的分子与分母的差是89-44=45,分子和分母都减去

同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45,新分数约分

后变

2

成分子与分母的差变成7-2=5,由45+5=9知，分子与分母约掉了9,

约分前为£=所以分子、分母同时减去的数是89-63=26或

44-18=26。

例7一个分数的分子与分母之和是23,分母增加19后得到一个新分

把这个分数化为最简分数是:，求原来的分数。

数，5

分析与解：新分数分子与分母的和是23+19=42,化为最简分数］后，

分子与分母的和是1+5=6,是由新分数的分子、分母同时除以42+6=7得

到

的，所以新分数是缪=（,原分数是获二=白。

5X73535-1916

例8将彦的分子加上10,要使分数的大小不变，分母应加多少？

O

分析与解：分子加10,等于分子增加了104-5=2（倍），为保持分数

的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加

8X2=16。

例9将样24的分母减去10,要使一分数的大小不一变，分子应一减去多少？

分析与解：分母减去10,等于分母减少了原来的10+25=5,为保持分

在例8中，分母应加的数是

8X(10+5)=10X(8+5)=10-|

O

在例9中，分子应加的数是

24X（10+25）=10X（24+25）=10X—o

由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：

分子应加（减）的数=分母所加（减）的数X原分数；

分母应加（减）的数=分子所加（减）的数十原分数。

例10有一个分数，它的分子加5,可以约简为:；它的分母减2,可以约

4

简为《求这个分数。

分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类

题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。

设这个分数的分子为X,由“分子加5,可以约简为:“，得到分母为（x+5）

31

+再由"分母减2,可以约简为之”，得到分母为2x+2。于是得到方程

3

2x+2=（x+5）——,

（2x+2）X3=（x+5）X4,

6x+6=4x+20,

2x=14,

x=7o

7

分母是2x+2=16,所求分数是n。

16

练习2

1.有一个分数，分子加1可约简为分子减1可约简为;，求这个分数。

2.有一个分数，分母加3可约简为g,分母减3可约简为（，求这个分数。

3.一个分数，分子加上2可约简为热分子减3去21可约简为5，这个分数

是多少？

4一个分数，分母加上1可约简为2：，分母减去2可约简为4?，这个分数

是多少？

5.将分数冬的分子减去a,分母加上a,新的分数约分后等于：，求自然

/y/

数a。

6.分数2的分子、分母都加上同一个自然数，新的分数约分后等于W，求

6/16

这个自然数。

7一个分数的分母比分子大13,分子减少1后可约简为巳求原来的分数。

8.将5的分子减去3,要使分数的大小保持不变，分母应减去多少？

9.将福的分母加上9,要使分数的大小保持不变，分子应加上几？

10.有一个分数，它的分子减去2可约简为g,它的分母加上1可约简为工，

求这个分数。

答案与提示练习2

玲。解：&+42=?。

252772

27°解：中工尸2=5,1千万

7

217

玷。解:„尸（2+1）一+———

51515

1225131171712

4正。解飞-彳）+"2）=适--=---,1+---=--

212121217

5.5o解：(53+79)+(4+7)=12,a=53-4X12=5O

6.13。解:(67-22)+(16-7)=5,7X5-22=13o

2X2+15

解:(13+1)+(9-2)=2,

lo9X218

6

8.8.5。解:3+石=&5。

9375。解：9XA=

—，，，，/，’，，，，，，，

】除

26

解：设分子为x,根据分母可列方程

(x-2)X2=I'-l。

解得x=15,分母为（x-2）X2=26。所求分数是

26

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分数运算的技巧

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握

一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

L凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算

法则和运算律(如交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、积、商

成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

12317

例1(3可+61+1]+%)X(2)

解：

13217

=[(3-+l-)+(6-+8-)]X(2-—)

=”5)X(2-各

7

=20X2-20X—

20

=40-7=33。

i4

例24-X25+32--4+0.25X125

14

解：原式=4x25+『25+32+4+亍+4+0.25x4x31

=100+5+8+(+31=1442。

77

2.约分法

制1x2x3+2x4x6+7x14x21

例31x3x5+2x6x10+7x21x35

般_1X2X3+23X(1X2X3)+73X(1X2X3)

胖：席凡-1X3X5+23X(1X3X5)+73X(1X3X5)

_(lX2X3)X(l+23+73)

"(IX3X5)X(l+23+73)

_1X2X3_2

=1X3X5=5

例499X(1-1)X(1-1)X(1-1)X-X(1-A)O

解：原式=99x万x,xIx…x1=1。

3.裂项法

若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵

消，则能大大简化运算。

根据占T一高（其中小提自然数）,在计算若干个分数之和时,

111111

例5-+++--+--

2612203042

百4_J_____1_J_____1_J_____1_

解:

尽八一屈+获5+而'+工石+西+菽7

__22_11_11_12.2

=1-2+2-3+3-4+4-5+5-6+6-7

1111

例6---+----+---++

1x33x55x797x99

^^=1x(—+—+—2

解;++------)

座八24x33x55x797x99,

11111111

=—xfl—+----+----++------)

2k3355797991

2、99，29999

例7在自然数1〜100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的

和等于1。

分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1,而分母不

同的

分数的和等于1,似乎无从下手。但是如果巧用“工-2=^^”来做,

就非常简单了。

因为…，所以可根据题中所求，添上

乙乙-rDI*1JJ

括号。此题要求的是10个数的倒数和为1,于是做成:

1x22x33x44x55x66x77x88x99x1010

1111111111

=—+—+—+—+—+—+—+——+—+—o

261220304256729010

所求的10个数是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10。

本题的解不是唯一的，例如由《+!=[+5推知，用9和45替换答案中

的10和30,仍是符合题意的解。

4.代数法

例加n+-+—+1+—++-+-+——+—+—)

"J'234，345，,2345，34，

分析与解：通分计算太麻烦，不可取。注意到每个括号中都有g+g+1

不妨设]+：+：=A,则

原式=(l+A)x(A+g)-a+A+3xA

1a21,211

=A+-+A+-A-A-A--A=-O

5.分组法

Kg/111、，2222、，333、

、23420，、34520，M520，

1818、19

,1920，20

分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母

为n的分数之和为

[2n—1]

-+------=-x[l+2+--+(n-1)]

nnnn

1[1+(n-1)]x(n-1)__n(n-1)_n-1

n22n2

原式中分母为2~20的分数之和依次为

223419

2,2,2,2''~2

…123419

原式=-I-----1-------1------F+—

22222

=-X(1+2+3+4+-+19)

=[X190=95。

2

练习3

10-(0xg+0x$]+175°

7337

2.125--(ll--4—+2,25--

8'42020

23451234

3(1T-+2-+3-+4-)-J-(3-+5-+7-+9-)o

34j0J4J0

696969x696696

969969x969696

5、2+3”+”

26122030

6.1-+2-+3—+4—+5—+6—o

2612203042

1111111111111、111

7.(-+-+—+—)x(-+-+—+—)-(-+-+-+—+—)x(-+-+­

’579IV91113，^5791113，9IV

8.在自然数1〜60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于k

9

9.观察下面的一列数，根据其中的规律指出总是这列数中的第几个?

1121231234

1,2*『3*2"彳'"3'2*I'

答案与提示练习3

1.30

2.13—o

4

1..2345

3—0提不：除数=2X(丘+2彳++4/。

Z34J0

4受1

1292

艇69x10101x696x1001_69x696_667

眸=969x1001x96x10101=969x96=1292

5弓

解：原式=54+[+/5+5)=5式11)=弓

6.24

解：原式=(1+2+3+4+5+6)+(:+1+±+±+之+3)

Nb1ZNU3U4/

=21+Q-g)=21yo

解:设那+5=A,

则原式=(1+A)X(A+()-(g+A+或)XA

11,11,11

=5A+65+A+i3A-5A-A-BA=650

8.2,6,8,12,20,30,42,56。

111111

：1=1-T+-+--i-

223388

111111

+(一—一")+一8

111111

=—+—+—+―+—+—+—+—。

2612203042568

9.5680o

解：从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个,

等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有（n-1）个。分

子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个），

言是分子与分母之和等于108的第9个分数，是这列数的第

5671+9=5680（个）。

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循环小数与分数

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数,

而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能

化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先

看下面的分数。

1331717

⑴2=°5,25（7）=°12,40（=2^）=°4255

1513••

（2）-=0,3,y=0.714285,—=0.39；

6767

⑶)=0.83,—(=——)=0.38285714,

1/JJZx/

101

=0.2805o

黑23x5x9)

(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5,

化

成的有限小数的位数与分母中含有,的2与5中个数较多的个数相同，如二17,

因为40=2>5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位。

(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和

5„

(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数

2或5,又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分

的位数与

分母中含有2与5中个数较多的个数相同，如三，因为175=52X7,含有2个

5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到结论：

一个最简分数化为小数有三种情况：

(1)如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限

小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个

数的个数；

(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能

化成纯循环小数；

(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,

那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母

中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小

数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环

部分有几位？

5431231003

交’21"250'78,H7,850

分析与解：上述分数都是最简分数，并且

32=25,21=3X7,250=2X5%78=2X3X13,

117=3*13,850=2X52X17,

根据上面的结论，得到：

段能化成五位有限小数，鲁能化成三位有限小数。

《，黑能化成纯循环小数。

乡能化成混循环小数，且不循环部分有一位；上能化成混循环小数，且

不循环部分有两位。

将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可

能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法

就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环

小数化成分数的方法。

1.将纯循环小数化成分数。

例2将0.5化成分数。例3将0.382化成分数。

解：0.5X10=5.5,解：0.382X1000=382,382,

0.5=0,5«0.382=0.382。

将上两式相减，得将上两式相减，得

0.5X(10-1)=5,0.382X(1000-1)=382,

05X9=5,0.382X999=382,

5••382

0.5=-0,382=--

9999

从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。

纯循环小数化成分数的方法：

分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9,9

的个数与循环节的位数相同。

例如：0.7=Z,0.57=*!!'0」44=端=*…

2.将混循环小数化成分数。

例40.18X100=18.8,

0.18X10=1.8。

将上两式相减，得

0.18X(100-10)=18-1,

0.18X90=17,

0.18=京

90

例50.257X1000=257.57,

0.257X10=2.57

将上两式相减，得

0.257X(1000-10)=255,

0.257X990=255,

…)25517

0.257=——=­o

99066

从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。

混循环小数化成分数的方法：

分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所

组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,

末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循

环部分的位数相同。

17-1168

例如：0.17=

909045'

136-11353

0.136=990=990=22'

1745-17172848

0.1745=

99009900275

掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的

运算了。

例6计算下列各式:

⑴0.291-0.192+0.375+0.526

⑵0.330XQ.186O

「、仁5291192-1375526-5

解:(D原式=旃一行联+演+

990

291+375521-191

---------+---------

999990

—_6_6_6_3_3_0—2+1

~999990~33

⑵原式二1^X186-1330X1855

990999X99081

练习4

1.下列各式中哪些不正确？为什么？

37

(1)—=0.578125；

64

13•

⑵—=0.590；

45

⑶296=°1520275

（4）而=0.9702。

2.划去小数0.27483619后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆

点，得到一个循环小数，例如0.274836。请找出这样的小数中最大的与

最小的。

3.将下列纯循环小数化成最简分数：

0.8,0.39,0,231,0.135。

4.将下列混循环小数化成最简分数：

0.28,0,315,0,225,0.517。

5.计算下列各式：

Q）0.253+0.513+0.413-0.180；

（2）3.3x0.075s

（3）0.9168+0.4630。

答案与提示练习4

1.（1）（3）（4）不正确。

2.最大是0.22，最小是。夕。

,8,■13,,,77,,5

3.0,8=-；0.39=—；0.231=—；0.135=—»

93333337

•13••52•203■233

4°28=科0.315=-；0.225=-；0.517=-

u八、，/C、25f200

5Q）1；（2）-；（3）—

/、石于228513372180

解:⑴原式=丽+荻+荻-荻

/、…37525

⑵^=3-x—=-

，一9168.4584200

（）原式=9999T9900

W1

小学数学奥数基础教程（六年级）

本教程共30讲

工程问题（一）

顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类

题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

工作量=工作效率义工作时间，

工作时间=工作量+工作效率，

工作效率=工作量+工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，

也可

以是部分工程量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分

之一表示为｝

工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作

量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、

乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？

分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作

效

率是需；同理，乙队的工作效率是高。两队合干的工作效率是(需+总)。

由“工作量=工作效率X工作时间”，50天的工作量是

+—5—)x50=—+—=—

100150，236

剩下的工作量是由“工作时间=工作量+工作效率”，剩下的工

作量由乙队干还需

(1令+高=25(天)°

例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如

果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了

18天才完成任务。问：甲队干了多少天？

分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作

甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

(1-^X18)+(1+A)

213

=(1-5)+旃=父20=12(天)。

答：甲队干了12天。

例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成

这一工程。问：甲队实际工作了几天？

分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的

工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了

[1-(B+^)x6]+i?=3(天)。

例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如

果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零

件共有多少个？

分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间,

再求出每小时张比王多做的零件数，60+12=5（个）。

最后求出这批零件的蟋，5+（£-疝=300（个）。

例5—水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空

池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水

管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

分析与解：以满池水为单位1。1时放水管可使水增加，排水管可使水

减少，同时开1时，可使水增加（g-｝。放水管打开1时后，池内已经有!

的水，与半池水还差所以要达到半池水，还需

岑一»《-»3+盘=5：（时）。

例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟,

乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽

误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？

分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以

不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上

耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将

题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15

分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的

解法来解答。

解：（1-915）+（表+崇）g5=15（分）。

答：甲再出发后15分钟两人相遇。

练习5

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天

才可完成工程的一半？

2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6

天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做

完。求乙队在中间单独工作的天数。

3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下

的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？

4.甲、乙二人植树，若单独完成则甲比乙所需的时间多;。若两人合干,

则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵？

5.修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队

同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？

6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需

24时注满。如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时

间？

7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时、比快

车从

乙地到甲地多用;的时间。如果两车同时开出，那么相遇时快车比慢车多行

40千米。求甲、乙两地的距离。

答案与提示练习5

1.3天。解।白舄+令=3（天）。

2.14天。

解：U-£x（6+10）］+'-10=14（天）。

4o允

3.120天。

解：乙队的工作效率为（1-^X12）+24=、

甲队单独挖需1+%.）=120（天）。

4.350棵。

解：乙的工作效率是甲的?所以乙完成工作量的;，甲完成5。这批树

共有50+（y-1）=350（棵）。

5.6000米。

r

M1li11】心、

解：750X2+■-而）*口+（可+而）,=6000（米）。

I乙*"Tv乙**tU

6.8时。

提示：甲管12时都开着，乙管开

（1-《X12）+1=8（时）。

loZ4

7.280千米。

解：快车从乙地到甲地用8+（1+；）=6（时）。两车相遇需

L（K）=T（时），

0o/

相遇时快车比慢车多行全程的（JW）X普=”，所以甲、乙两地相距

6877

40+；=280（千米）。

小学数学奥数基础教程（六年级）

本教程共30讲

工程问题（二）

上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的

工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用

基本的分析方法，问题也不难解决。

例1一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果

甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天

可以完成？

分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我

们先画出示意图：

甲5天乙20天

<■

乙摩天

甲15天

乙20天乙8天

从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即

甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换

题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用

20+4=24（天）

完成，即乙的工作效率为，。又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作

量相等，所以甲的工作效率是乙的g,

甲、乙合做这一工程，需用的时间为

1+弓+加=玲（天）

例2一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，

然后

甲队做4天，共完成这项工程的卷，如果把其余的工程交给乙队单独做，那

么还要几天才能完成？

分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合

作

的工作效率是!，但甲、乙两队一天也没有合作过。为了解决这个问题，我

0

们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再

做3天”，这样，就可以把合作的工作效率!用上了。

单独6