力学与结构课件幻灯片四

第5章

静定结构的位移计算

目录.ppt计算结构位移的目的计算结构位移的一般公式梁的刚度校核静定结构在非荷载因素作用下的位移计算线弹性体系的互等定理习题本章内容

教学要求：要求学生了解静定结构位移计算公式的建立，并且能用单位荷载法计算静定结构在各种因素影响下的位移，同时能熟练地利用图乘法计算梁及刚架结构在荷载作用下的位移。计算结构位移的目的结构在荷载作用下会发生变形，而这种变形会引起结构各截面位置的变化，称为结构的位移。例如图5.1所示静定结构，在图示荷载作用下会发生如虚线所示的变形和位移。结构的位移分为线位移和角位移。图5.1结构位移此外，结构在其他非荷载因素如温度改变、支座位移等的影响下，也会发生位移。结构位移计算的一项重要目的是为了校核结构的刚度。在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。验算刚度的目的是保证建筑物在使用过程中不至于发生影响正常使用的过大位移。计算结构位移的另一重要目的是为超静定结构的计算打下基础。在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。计算结构位移的一般公式一、虚功原理设变形体系在力系作用下处于平衡状态(力状态1)，又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形(位移状态2)，则力状态1的外力在位移状态2的位移上所作的虚功恒等于力状态1的内力在位移状态2的变形上所作的虚功，即等于虚应变能。可简写为：外力虚功W12=虚应变能U12对于杆件结构虚功原理可用下式表达(虚功方程)：或式中，1状态的物理量具有下标1，2状态的物理量具有下标2，各物理量含义见及图5.2。虚功原理包含两种应用形式：(1)虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。这是在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。(2)虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚力原理。(5-1)二、计算结构位移的一般公式下面将从虚力原理出发，利用虚功方程(5-1)导出计算杆件结构位移的一般公式。如图5.2所示为某一结构，由于荷载FP1和FP2、支座A的位移c1和c2等各种因素的作用而发生如图中虚线所示的变形，这一状态称为结构的实际状态。图5.2结构变形与位移计算结构位移的一般公式为了利用虚功方程求得D点的水平位移，应选取如图5.2(b)所示虚设的力状态，即在该结构的D点处沿水平方向加上一个单位荷载FP=1。这时，A处虚拟状态中的支座反力为、，B处的反力为，结构在单位力和相应的各支座反力的作用下维持平衡，其内力用、、来表示。虚设力系的外力(包括反力)对实际状态的位移所作的总虚功为计算结构位移的一般公式(5-2)以dφ、du、dv表示实际状态中微段dx相应于、、的变形，则总虚应变能为：由杆件结构的虚功方程式(5-1)可得式中，表示虚拟状态中单位力引起的广义支座反力，c表示实际状态中与相应的广义支座位移，表示单位力引起的各支座反力所作虚功之和。这就是计算结构位移的一般公式。即(5-4)(5-3)这种方法称单位荷载法。应用这个方法每次只能求得一个位移。在计算时，虚拟单位荷载的指向可以任意假定，若按上式计算出来的结果是正的，就表示实际位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同；为负则位移的方向与虚拟单位荷载的方向相反。式中各项的正负由功的正负确定。当要求某点沿某方向的线位移时，应在该点沿所求位移方向加一个单位集中力。如图5.3(a)即为求A点水平位移时的虚拟状态(虚设单位力状态)。当要求某截面的角位移时，则应在该截面处加一个单位力偶，如图5.3(b)所示。求两点沿其连线方向上的相对线位移，此时应在两点沿其连线方向上加一对指向相反的单位力，如图5.3(c)所示。同理，若要求两截面的相对角位移，就应在两截面处加一对相反的单位力偶，如图5.3(d)所示。计算结构位移的一般公式图5.3虚拟状态三、静定结构由于荷载所引起的位移如果结构只受到荷载作用的影响，以MP、FNP、FQP表示结构实际状态的内力，则在实际状态下微段的变形为：式中，EI、EA和GA分别是杆件的抗弯、抗拉和抗剪刚度；k为截面的剪应力分布不均匀系数，它只与截面的形状有关，当截面为矩形时，k=1.2。将式(a)代入式(5-4)并注意到无支座移动(即c=0)，得式中，、、代表虚拟状态中由于单位荷载所产生的内力。(a)(5-5)计算结构位移的一般公式在梁和刚架中，轴向变形和剪切变形的影响甚小，其位移的计算只考虑弯曲变形一项的影响已足够。式(5-5)可简化为：计算结构位移的一般公式仅有轴力的桁架位移的计算公式为：

【例5.1】如图5.4所示的简支梁，在均布荷载q作用下，EI为常数。试求：(1)B支座处的转角；(2)梁跨中C点的竖向线位移。解(1)求B截面的角位移。在B截面加一单位力偶，建立虚设状态如图5.4(b)所示。以A点为坐标原点，分别列出荷载作用和单位力偶作用下的弯矩方程为：(5-7)(5-6)图5.4例5.1图代入式(5-6)，并积分得结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反，即B截面逆时针转动。(2)求跨中C点的竖向线位移。在C点加一竖向单位力，建立虚设状态如图5.4(c)所示，分别列出荷载作用和单位力作用下弯矩方程。以A点为坐标原点，当0≤x≤l/2时，有：因为对称关系，由式得的结果为正值，表示C点竖向线位移与单位力方向相同，即C点位移向下。(↓)计算结构位移的一般公式四、用图乘法计算梁及刚架的位移计算梁及刚架由于荷载作用下的位移时，要用公式进行积分计算，比较麻烦。如果所考虑的问题满足下述条件时：①杆轴为直线；②EI=常数；③和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。则可用图乘法来代替积分运算，从而使计算得到简化。如图5.5所示，等直杆AB段有：(5-8)这里yc是图的形心C处所对应的图的竖标。可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积ω乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yc，再除以EI，这就称为图乘法。图5.5图乘法计算结构位移的一般公式如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为根据上面的推证过程，可知在应用图乘法时应注意下列各点：(1)必须符合上述3个前提条件。(2)竖标yc只能取自直线图形。(3)ω与yc若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。现将常用的几种简单图形的面积及形心列入图5.6中，在各抛物线图形中，“顶点”A是指其切线平行于底边的点，而顶点在中点或端点者称为“标准抛物线图形”。当图形的面积或形心位置不便确定时，我们可以将它分解为几个简单的图形，将它们分别与另一个图形相乘，然后把所得结果叠加。计算结构位移的一般公式图5.6常用简单图形的面积及形心计算结构位移的一般公式

【例5.2】试求如图5.7(a)所示刚架A点的竖向位移。解MP图和图分别如图5.7(b)、图5.7(c)所示。由于各杆的两个弯矩图都是直线，故可任取一个图形作为面积。现以图作面积ω而在MP图上取竖标yc，则有(↓)绘制刚架变形示意图，如图5.7(d)所示(弯矩图在受拉边)。图5.7例5.2图计算结构位移的一般公式梁的刚度校核结构设计时，在进行了强度计算后，有时还需进行刚度校核。也就是要求结构在荷载作用下产生的变形不能过大，否则会影响工程上的正常使用。例如，建筑中的楼板梁变形过大时，会使下面的抹灰层开裂和剥落；厂房中吊车梁变形过大会影响吊车的正常运行；桥梁的变形过大会影响行车安全并引起很大的振动。对于梁而言，其挠度容许值通常用许用的挠度与跨长的比值[]作为标准。对于转角，一般用许用转角[θ]作为标准。对于建筑工程中的梁，大多只校核挠度。因此，梁的刚度条件可写为：(5-9)式中，fmax为梁的最大挠度值，[]则根据不同的工程用途，在有关规范中，均有具体的规定值。静定结构在非荷载因素作用下的位移计算静定结构受到温度变化、支座位移、材料收缩和制造误差等非荷载因素的作用时，虽然不产生内力，但会产生位移。这种位移仍然可以利用单位荷载法及其相应的位移计算一般公式(5-4)计算。一、由支座位移引起的位移静定结构在支座位移作用下因杆件无变形，只发生刚体位移。这种位移通常可以直接由几何关系求得；当涉及的几何关系比较复杂时，也可以利用单位荷载法进行计算。现以△Kc表示结构因支座位移而引起K截面的位移，则式(5-4)可简化为(5-10)这就是求静定结构由于支座位移而引起位移的计算公式。式中代表虚拟状态中单位力引起的各支座反力，c为实际状态中与相应的支座位移。

【例5.3】如图5.8(a)所示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动，试求C铰左、右两截面的相对转角。图5.8例5.3图解求相对转角φ的虚拟单位力状态及其所引起的虚拟反力如图5.8(b)所示。利用式(5-10)即得负号表明，C铰左、右两截面相对转角的实际方向与所设虚单位广义力的方向相反。静定结构在非荷载因素作用下的位移计算二、由于温度变化、制造误差等引起的位移静定结构受温度变化作用时，各杆件均能自由变形而不会产生内力。只要能求得杆件各微段因材料热胀冷缩所引起变形的表达式，并将这种变形视作实际状态的微段位移，即可利用式(5-4)求得结构的位移。现从结构杆件上截取任一微段ds，设微段上侧表面温度升高t1,下侧表面温度升高t2。为简化计算，假定温度沿杆件截面高度h按直线规律变化。此时，截面在变形之后仍将保持为平面。可见，由温度变化引起的杆件变形可以分解为沿杆件轴线方向的伸缩和截面绕中性轴的转动两部分，不存在剪切变形。设截面中性轴至微段上、下侧表面的距离分别为h1、h2，中性轴处温度变化为t0，按几何关系可得：若杆件的截面对称于中性轴，即，则上式成为：(5-12)(5-11)静定结构在非荷载因素作用下的位移计算设材料的膨胀系数为α，则微段因温度变化引起的轴向应变和曲率可分别表达为：(5-13)(5-14)式中，△t=t2-t1为杆件上下侧温度变化之差。注意到平均剪应变γ0＝0和支座位移c=0，并以△kt代替△k表示有温度变化引起的位移：(5-15)式(5-15)等号右边的第一项表示轴线温度变化引起的位移；第二项表示杆件上下侧温度变化之差引起的位移。式(5-15)就是计算静定结构由于温度变化引起位移的计算公式。若杆件沿长度温度变化相同并且截面高度不变，则可改写为：式中，l为杆件的长度，、分别代表图及图的面积。(5-16)静定结构在非荷载因素作用下的位移计算在应用盐式(5法-15管)和式醉(5-凭16)炒时，等申号右边成各项的粉正负号蛇应按功崖的取值技原则确博定：当戚实际状雪态温度腥变化引袋起的变电形与虚洲拟状态京内力引迈起相应促变形方码向一致恰时，所女作虚功阿为正，滩应取正区号；方鬼向相反沸时，所巡寿作虚功虚为负，雕应取负夏号。值得注效意的是老，当求哭结构由母于温度慕变化而蹲引起位宰移时，供杆件轴希向变形扬和弯曲吉变形对促位移的蹈影响在哗数值上叔是相当释的，所疗以一般偿不能略困去轴向肺变形的费影响。【例雀5.崇4】试求如匙图5.剑9所示室的结构芝由于杆出件一边何的温度权升高1哨0℃时座，在C锹点所产富生的竖幅向位移葱。各杆棋的截面警相同且锈对称于案形心轴封。图5.础9联温度改输变时求搭结构位矩移解猪在绝C点什加一波竖向速单位蹲荷载喂，算秀出各移杆的放轴力钥并里绘出禽图，袄如图劳5.屈9(缝b)其、(啊c)追所示腾。静定结升构在非熔荷载因尼素作用阁下的位芒移计算图中虚转线所示桌的弧形腥表示杆榆件弯曲枯的方向株。可以歇看出各舱杆实际物的弯曲饺变形方偏向都与坦虚拟的夸相反，溜且两杆柏的尺寸透及温度仿变化都饼相同，见故两杆侧的坡可合抓并计算磁。以上各染值均为析绝对值诊，这是昆因为求克温度改侍变所引奥起的位松移时，缎其正负敏号将由浮真实与慌虚拟两琴种变形药方向一蒙致与否植来决定等。在目桃前情况悄下，温畜度改变尸将使竖松柱伸长蜂，而虚群拟状态跳则使其秤压缩，这故轴向容变形的靠影响一爆项需取堡负值；织对于弯鲁曲变形这项，温忧度改变扒和虚拟称状态分古别使刚芦架的变座形情况粱相反，山故也应涂取负值屋。因此谁，由式展(5-扬16)耳得C点粘的竖向楚位移为负号拐表示凭C点素的竖偷向位宾移与踪蝶Fp=1方向相产反。(↑)静定结衫构在非鸡荷载因彻素作用险下的位雨移计算线弹性凶体系的告互等定骑理本节介尼绍线弹料性体系洋的四个扇互等定元理，即培功的互租等定理栗、位移于互等定即理、反妇力互等东定理及摄反力与尊位移互虹等定理饱。其中固最基本透的是功低的互等及定理，殖其他三芳个定理摄都可由甜此定理诞推导出牲来。这祸些定理知在超静状定结构病的分析谨中要经始常引用林。一、功的互倘等定理功的互爬等定理评可直接虽由变形道体虚功爸原理推然导出来爷。考察成同一乱线弹蔑性结思构的姑两种阁受力弹状态会(图肾5-碌10竟)。柄分别肾称为牵状态虹l和捆状态导2。傅取力递的平愈衡状必态1慢上的雕力系检作为瞧做功腊的力假系，栗设微错段d木s上持内力脏分别堤为M1、N1、Q1；取变滋形协调蛮状态2蔑上的位帜移为做躺功的位依移，微涂段ds邮上与M1、N1、Q1相应做拣功的变雕形为d夏φ2、d苹u2、d裙v2。虚功绣方程为盒。图5.并10雀同一问结构的帐两种状肉态其中T12为状态砌1上的捉外力在夫状态2孝位移上药做的虚概功。真为状态告1上各芹个微段钳上的内隆力在状挖态2相内应变形逆上做的蹲虚功，较其表达姜式为再取状狠态2的段力系作堵为做功患的力系崖，取状掉态1上者的位移仁作为虚灰位移，冶虚功方市程为其中对比得从而T12=T21(5购-1准7)式(闭5-蚕17胃)称典为功宽的互厕等定逃理，坚可表特述为聪：状聚态l局上的壶外力南在状享态2投的相态应位揪移上三所做序的虚贯功，话等于怠状态唐2上颠的外疏力在罢状态淘1的鉴相应暴位移冈上所往做的粥虚功延。线弹性询体系的星互等定模理二、位移贤互等前定理应用上敢述功的坚互等定沾理来研掩究一种掉特殊情芳况。考债察图5圆-11信的两种灭状态，佛此两种巨状态中撑都只作使用一个活单位广蒸义力P1及P2(如蔑图5率.1研1(大a)串、图判5.突11厚(b筋))六。按功梢的互炎等定石理有采T12=T21T12为状态沸1上的波外力P1在状攀态2答的相弦应位培移δ12上所卷作的兰虚功浪，即剥T12＝P1δ12与此朽类似摄，蛋T21＝P2δ21这里P2是力偶呆，与之段相应的背广义位列移为转座角δ21。根据功士的互等光定理有煤P1δ12＝P2δ21由于夫P1=P2=1，柜则有δ12＝δ21这就荐是位技移互生等定吗理。启它表质明：伤第二肠个单夸位力尚所引劳起的朋与第一个单挥位力作舅用点及遭其方向觉相应的掀位移，行数值上吓等于第外一个单蛙位力所跌引起告的与叙第二丝式个单应位力疏作用忆点及钥其方势向相话应的币位移退。(5仰-1笑8)图5.疫11日位移驾互等定荒理、反夜力互等骂定理线弹性廊体系的欧互等定燥理由推导墨过程可成知，P1、P2可以是岩任何单晶位广义撕力。例邪如P1、P2可以绪都是系单位艇集中助力、失也可论以都捐是单命位力戏偶、碎也可踩以一酿个是显单位辞集中支力，倾另一讲个是炮单位农力偶蝴；与猎此相复应，案δ12、δ21可以居都是槽线位戚移、乞都是递角位尤移、哥或一矩个是亦线位从移，甩另一疤个是龄角位三移。位移饭互等南定理柔，将饱在用适力法杆计算抢超静目定结迈构中今得到消应用慎。三、反力拦互等欢定理反力幕互等择定理病也是虫功的泡互等坊定理驴的一贱个特负殊情乖况。感在一葱个超网静定刃结构雁的各费约束凉中任邀取两岭个约热束—轿—约父束l缝及约咱束2荣。在聚图5渣.1荐1(美c)命、(令d)旧)所星示结救构中泛约束标1是累固定著端约嚼束，艳约束匹2是动链杆杜约束知。考察两适种状态胜。令约北束l发笼生单位赠位移△1的状态候(图5道.11眼(c)借)为状培态1，铁此时在纯支座2械产生反齿力r21；令纵约束露2发孕生单雹位位火移△2的状认态(蜻图5挎.1皱1(井d)逆))椒为状罪态2赔，此欧时在毅支座稠1产效生反清力r12。这里挎r表示缓单位位柿移引起详的支座倦反力，笨第一个尚脚标表猪示产生释反力的朴位置，搂第二个匹脚标表遥示引起穷反力的稍原因。根据而功的芦互等压定理狡有T12=T21，其中蚁T12为状态劣1上的倚外力在按状态2帜上的相计应位移召上所做奶的虚功语。由于洲在状态欲2上只从有约束象2发生战位移，银所以只善有反力放r21做功算。于知是T12=r21×△2线弹弯性体充系的父互等好定理同理，咬状态2护上的外侧力在状扇态1位令移上只鱼有r12做功严，则T21＝r12×△1由T12=T21又△1=棍△2=1得r21=r12(5船-1泪9)式(载5-派19麦)称而为反塔力互争等定也理，肉可表呼述为谁：约砌束1全的单摘位位惠移所痛引起妻的约呀束2吨的反储力r21，数值扇上等于普约束2罪的单位除位移所陕引起的嗓约束1停的反力惜r12。反力裂互等各定理残将在走用位驼移法户计算己超静阶定结烈构中框得到根应用努。四、反力与捏位移互抹等定理本定场理同揪样是祖功的后互等评定理习的一抬个特执殊情什况。杰考察真同一染结构动的两影种状逢态(牧图5亚.1鉴2)升。状顷态1轮是体馆系中牺某一瞒个约上束(沃约束真1)茎发生辫单位束位移床的状迷态(讲图5写.1络2(港a)良)，膜引起遗与P2相应的叨位移为展δ21。状呢态2交是在慌某一筒点(挨点2脆)作赌用单刷位力事P2=1的状控态(偷图5月.1座2(酿b)候)，川引起臣与△1相应的春反力为界r12。图5.反12首反力第与位移鸣互等定食理线弹性算体系的捧互等定推理对于倍上述秃两种持状态守应用暑功的沃互等夸定理迈，又△1=P2=1稠,废则得0=r12×1垒+1姜×δ21即r12=－δ21式(皮5-希20唇)称叉为反嘉力与死位移砖互等协定理拨，可乎表述益为：耕作用会于2殃处的芦单位陡荷载栽所引闻起约流束1骂中的椅反力俗r12，数夸值上柳等于棚约束链1沿疫r12方向饥产生探单位予位移续时在讨单位仰荷载定