工程弹塑性力学教学课件第二章应力状态理论

第二章应力状态理论

2.1体力和面力

2.2应力和一点的应力状态

2.3与坐标倾斜的微分面上的应力

2.4平衡微分方程应力边界条件

2.5转轴时应力分量的变换

2.6主应力应力张量不变量＊2.7应力二次曲面

2.8最大切应力第二章应力状态理论弹性力学所研究的都是超静定问题。要解决超静定问题，必须考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，缺一不可。本章的任务是要从静力学观点出发，分析一点的应力状态，并建立连续介质力学普遍适用的平衡微分方程和应力边界条件。在本章的推导中，将忽略物体的变形，显然这对小变形物体来说是不会引起明显误差的。2.1体力和面力

作用在物体上的外力有两种类型，即体力和面力。

1、体力：分布在物体内所有质点上的力（重力、惯性力和电磁力等）

2、面力：作用在物体表面上的力（风力、液体压力、物体间接触压力等）体力分量投影于坐标轴M体力和体力矢量投影于坐标轴面力矢量面力和面力矢量面力分量内力内力和应力2.2应力和一点应力状态1、内力：物体受外界作用，在物体内部不同部分之间产生的相互作用力正应力切应力投影于法线和平面投影于坐标轴内力和应力凡提到应力，应同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面来说的。因为，通过物体内同一点可以作无数个方位不同的微分面。显然，各微分面上的应力一般说是不同的。物体内同点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。为了表示一点的应力状态，过物体内某一点M分别作3个彼此垂直的微分面，使之与坐标平面平行此3个微分面分别把物体在M点的微分邻域分割成前后、左右以及上下两部分（假定取x轴垂直纸面而指向读者，z轴垂直向上）我们只保留其表面外法线方向和坐标轴正方向一致的那一部分（下图）三个特殊面上的应力应力张量

为了表示一点的应力状态，过该点M作三个与坐标平面平行的三个特殊微分面。分别将物体分成前后、上下、左右两个部分，保留外法线方向与坐标轴正方向一致的部分，称为M点的三个特殊微分面上的9个应力分量，即应力张量。正负号的规定：当微分面外法线指向与坐标轴正方向一致时，应力分量沿正方向为正；当微分外法线指向与坐标轴负方向一致，则应力分量以沿坐标轴负方向为正。正应力的下标表示作用面的方位和它的方向切应力的下标第一个表示作用面的方位，第二个下标表示它的方向下标的含义：物体的受力内力外力集度应力体力面力正应力剪应力集度体力矢量集度面力矢量2.3与坐标倾斜的微分面上的应力abcMxyz由平衡条件，得同理2.4平衡微分方程应力边界条件如果一物体在外力（包括体力和面力）作用下处于平衡状态，则将其分割成若干个任意形状的单元体以后，每一个单元体仍然是平衡的；反之，分割后每一个单元体的平衡，也保证了整个物体的平衡。基于这样的理由，假想穿过物体作三组分别与3个坐标平面平行的截面，在物体内部，它们把物体分割成无数个微分平行六面体；在靠近物体的表面处，只要这三组平面取得足够密，则不失一般性地被切割成微分四面体（见下图）。如果我们分别考虑物体内部任意一个微分平行六面体和表面处任意一个微分四面体的平衡，可以导得平衡微分方程和应力边界条件。AABB物体三受外三力作三用处三于平三衡状三态也三保证三了单三元体三的平三衡分别三在物三体内三取任三意一三个平三行六三面体三和表三面处三一个三四面三体分三析其三平衡应满足平衡方程：考虑，有同理考虑，得平衡微分方程，又称纳维方程考虑切应三力互三等定三理应力三边界三条件：表三示物三体在三边界三上应三力与三面力三之间的三平衡三关系三。2.三5转轴三时应三力分三量的三变换当坐三标系三改变三时,同一三点的三各应三力分三量应三作如三何改三变易证三明,如坐三标系三作平三移变三换,同一三点的三各应三力分三量是三不会三改变三的,因此三只考三虑转三轴的三情形§2三-6主应三力三应三力张三量不三变量既然三物体三内任三一确三定点三的9个应三力分三量要三随着三坐标三系的三旋转三而分三别改三变，三于是三就产三生了三一个三问题三：对三于这三任一三确定三的点三，能三否找三到这三样一三个坐三标系三，在三这个三坐标三系下三，该三点只三有正三应力三分量三，而三切应三力分三量为三零；三也就三是说三，通三过该三点，三能否三找到三这样3个互三相垂三直的三微分三面，三其上三只有三正应三力而三无切三应力三。回答三是肯三定的三。我三们把三这样三的微三分面三称为三主平三面，三其法三线方三向称三为应三力主三方向三，而三其上三的应三力称三为主三应力三。根据三主应三力和三应力三主方三向的三定义三去建三立它三们所三满足三的方三程。设通三过M点（三设坐三标原三点O与其三重合三）的三与坐三标倾三斜的三微分三面ab三c为主三微分三平面其法三线方三向（三即主三方向三）v的三三个方三向余三弦为l，m，n，而三其上三的应三力矢三量f­v（即三主应三力）三的三三个分三量为fvx，fvy，fvz。2.三6主应三力三应三力张三量不三变量通过三一点M，可三以找三到3个互三相垂三直的三微分三面，三其上三只有三正应三力而三无切三应力三。这三样的三微分三面称三为主平三面，其三法线三方向三称为应力三主方三向，其三上应三力称三为主应