弹性力学课件二六

12.1IntroductionandAssumptions

12BendingofThinPlates12.2DifferentialEquationforBendingofThinPlate12.3StressResultantsandStressCouples12.4BoundaryConditions12.5ASimpleSolutionforEllipticalPlates12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeries12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeries边界条件下面以矩形板为例，说明各种边界条件：求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件下，由方程求出挠度w如图所示矩形板，OA边固定，OC边简支AB、BC边是自由边一、边界条件12.4BoundaryConditionsAOBCabxy边界条件：a、OA边b、OC边OC边的边界条件为：如果OC边作用有分布力矩M，则边界条件为：或写为：c、AB、BC边（自由边）AOBCabxyAB边：BC边：AOBCabxy边界条件中的扭矩可以变换为等效剪力，与原来的剪力合并

二、扭矩的等效剪力例如，上述AB边上，其扭矩如何转换为等效剪力？ABdxdxEFG将微段EF上的扭矩等效变换成两个力，一个在E点，方向向下，一个在F点，方向向上？将微段FG上的扭矩等效变换成两个力，一个在F点，方向向下，一个在G点，方向向上？ABEFG将每一点的等效剪力叠加，得：相应的分布剪力为：AB边上的总剪力为：A点：B点：AB边的边界条件：AOBCabxyAOBCabxyBC边的边界条件：将My、Mx、Qy、Qx、Mxy=Myx的表达式代入，得最后边界条件：AB边：BC边：如果边界上的力矩M和横向荷载V不为零，则边界条件中，等式右边不为零，如AB边：AOBCabxy在两条边的交点，如B点若B是自由点，则RB=0，即若B有支座，则B点的条件为：四边简支的矩形薄板的重三角级数解12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeriesOBCabxyA图示四边简支的矩形薄板，边界条件为：Letusconsiderasimplysupportedrectangularplatesubjectedtoanytransverseloading.Theboundaryconditionsare:OBCabxyA纳维叶(Navier)把挠度w的表达式取为如下的重三角级数：其中，m、n是正整数将w代入边界条件，全部都能满足将w代入方程：Theseconditionscanbesatisfiedbytaking将q=q（x，y）也展开为重三角级数：将q左右两边同乘（i为任意整数）并对x积分：由于：所以，上式变为：同理，将上式两边同乘（j为任意整数），并对y积分后得：将i、痰j替换为m、n殖，上式变割为：将m、n代入q式，得：将上式代入微分方程：最后求得Amn：代入w的表达遵式，即栋可求出w，然后用船公式可性以求应耽力和内痛力例如，甘当薄板达在任意越点上受鹿集中力P时，如贺何计算外？可以用微面积dxdy上的均布荷载来代替qAmn表达式绘中，除没了在（，钓）处等忙于q外，档其余烦各处絮均为损零积分后得：挠度的表达式：由此昨，根其据内堵力表鸽达式称可以兼求内腐力矩形拼薄板耕的单净三角柳级数绢解图示矩形薄板，两边简支，承受任意横向荷载q（x，y），可以用较简单的单三角级数求解（李维解法）Oab/2xyb/2a可假设：12.超7Lev帐y’s千So农lut夜ion腾by云Si撇ngl膊eT志rig乏ono驻met溜ric胡Se樱rie食sYm是y的任荡意函油数，m为正线整数边界条倍件：将w郑代入召边界捆条件宅，均答能满防足将w代入方程：并要求满足时的边界条件将q院/D地展开酒为傅舌立叶幻玉级数烦，得播：将此抄式代喘入上完述微范分方攀程，吵得：此常济微分殖方程散的解牧答为寺：其中，fm（y）是任意一个特解，由的结果而定Am、Bm、Cm、Dm是任意积分常数，由的边界条件来确定最后求抹得w的匪表达式匙：注意粥：应用煮本节饶所述壮的李鼻维(Lev怖y)解法鹅，可掀以得唤出四镰边简腐支的处矩形烧薄板借受各影种横推向荷艳载时埋的解依答，扣还可忽以得粮出薄世板在傅某一壁边界献上受斯分布锤力矩滴作用性或发端生沉政陷时颗的解毅答，盖利用动这些邀解答言，再陡根据阅结构统力学溉的方宗法，类可以纹得出殿任意杨薄板缓受任睬意横狠向荷蔬载作注用时慈的解塑答很多专精著给出圾了矩形唯薄板在幼各种边丸界条件洗下承受勉各种横从向荷载上作用时病的挠度习和弯矩壳，供工演程设计处使用很多专衬著给出狼了矩形车薄板在炕各种边扛界条件朋下承受氏各种横不向荷载笋作用时坊的挠度详和弯矩届，供工狡程设计航