原子物理学++课后答案

第一章原子的基本状况

1.1若卢瑟福散射用的a粒子是放射性物质镭C.放射的，其动能为7.68x106电子伏特。散射物质是原子序数Z=79的金箔。试问散射角6=150°所

对应的瞄准距离A多大？

解：根据卢瑟福散射公式:

Afv2—

ctg导=h=h

2N&2N&2

得到:

Ze-ctg^_79x(I.60xlQ'9)2crg-^

h==3.97x10^5米

12619

^s0Ka~(4^X8.85X10-)X(7.68X10XW)

式中Ka=4M/是。粒子的功能。

/1、2.Ze2八1、

1.2已知散射角为。的a粒子与散射核的最短距离为r-(-------)-------—(1+—~-),试问上题a粒子与散射的金原子核之间的

m47r/A/psin作

最短距离与多大？

/1、2Ze2八1、

解：将1」题中各量代入力的表达式，得：qin=(-----)77=(1+一~7)

MvSin-y

192

Cs94X79X(1.60X10)Z11、

_*X7.68xl06xl.60xl0-19X.sin75。

=3.02x1()74米

1.3若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的笊核(笊核带

一个+e电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核)代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180°。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得:

Ze?

—Mv2=KP=＞故有：々“in

24在oFn4兀〃

*器管米

=9xl09

由上式看出:%与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14X10T3米。

1.4针放射的一种a粒子的速度为1.597x1()7米/秒，正面垂直入射于厚度为10-7米、密度为1.932x1()4公斤米3的金箔。试求所有散射在。＞90。

的a粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197o

解：散射角在66+1。之间的a粒子数与入射到箔上的总粒子数n的比是:

dn

ISltdcr

其中单位体积中的金原子数：N=p/m=pN/

AuQAAII

而散射角大于90°的粒子数为：dn=\dn=nNttda

dn

=NtJ%ab

所以有:2

e

cos—

1、2,2天p80。

%O。

sin—

2

ej.e

cos—asin—

等式右边的积分：/=喘____2-dO=2f180<,_____2_=i

sin'—sin

22

故

0=普，忌产（寨）2

=8.5x10-6=8.5x104%

即速度为1.597x1（）7米秒的。粒子在金箔上散射，散射角大于90°以上的粒子数大约是&5x10"%。

1.5a粒子散射实验的数据在散射甭很小（伊415°时与理论值差得较远，时什么原因？

答：a粒子散射的理论值是在“一次散射”的假定下得出的。而a粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较

小的。角，那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，a粒子散射的实验数据在散射角

很小时与理论值差得较远。

1.6已知a粒子质量比电子质量大7300倍。试利用中性粒子碰撞来证明：a粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

证明：设碰撞前、后a粒子与电子的速度分别为：v,v',0,v；,根据动量守恒定律，得：Mva=Mva+mv'e

由此得：v-v'=±2-万’=——-——V1(1)

0Me7300e

21.2

又根据能量守恒定律，得：=-Mv4-------mv,

2a2a2°

o•2m.2

V=VH---------V

a°MC

将（1）式代入（2）式，得：

十3+7300（七一邑产

2

整理，得：v；（7300-1）+va（7300+1）-2x7300v„cos=0

7300>1

上式可写为：7300（心-H）2=0

几一工=0

即a粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细a粒子束射到单位面积上质量为1.05x10-2公斤/米？的银箔上，a粒子与银箔表面成60°角。在离L=0.12米处放一

窗口面积为6.0x10-5米2的计数器。测得散射进此窗口的a粒子是全部入射a粒子的百万分之29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数Z。

解：设靶厚度为/。非垂直入射时引起a粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度而是，=f'/sin60°,如图1-1所示。

因为散射到。与。+dd之间dQ立体门驾'

角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为:

——=Ntdcr（i）

n

而do■为:

2

,,1x2zze.2dQ

db=（-一）-（--T）-----万（2）

-4"

0MVsin—

2

把（2）式代入（1）式，得：

2

dn1x2/ze.,dQ

一/（力）—-万（3）

—n=g47T£nMv~■4，

0sin

2

式中立体角元dQ=ds/I?,t=t/sin60°=Z'电£=20°

N为原子密度。N/为单位面上的原子数，Nf=〃/机独=〃（AAX/N（））T,其中〃是单位面积式上的质量；机必是银原子的质量；是银原子的原子

量；N0是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

dn=2rjNs（1/（ze'尸4c

2

nV3AAgere。Mvsin4g

2

由此，得：Z=47

1.8设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为10T°米的球形原子内，如果有能量为106电子伏特的。粒子射

向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的a粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于90°的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，

这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。

解：设。粒子和铅原子对心碰撞，则a粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：

-Mv2=2Z>/4乃=3.78x10*焦耳忆2.36xU电子伏特

2

由此可见，具有106电子伏特能量的。粒子能够很容易的穿过铅原子球。a粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分

别为：F=2Ze2/4兀网上和F=2Z/r/4兀八/。可见，原子表面处a粒子所受的斥力最大，越靠近原子的中心a粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离

越小，使c粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设a粒子擦原子表面而过。此时受力为尸=2Ze2/4万£oR2。

可以认为a粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作用，即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直,

大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为1=口/%a粒子的动能为=长，因此，y=J2K/M,所以，t=D/v=D^M12K

2

根据动量定理：［尸力=p1-="匕—0

222

而［Fdf=2Ze/4而0正［dt=2Zet/4^£0R

所以有：2Ze）/4松0R2=Mv

由此可得：v±=2Ze-tlAK£0R-M

a粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0,入射方向上速度不变。据此，有:

22222

吆。=里=2Zet/47r£nKMv=IZeD/^e{}RMv

V

=2.4x10-3

这时傍艮小,因此次6=6=2.4x10-3弧度，大约是8.2.。

这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的a粒子被铅原子散射，不可能产生散射角。〉90°的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，

当a粒子无限靠近原子核时，会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生6>90°的散射，甚至会产生8“180°的散射，这与实验相符合。因此，原

子的汤姆逊模型是不成立的。

第二章原子的能级和辐射

2.1试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。

解：电子在第一玻尔轨道上即年n=l。根据量子化条件，

h

pe=mvr=n-----

27r

vnhh

1-：频率V~7)=%2=%2

2加i2勿27Q1271ma、

=6.58x1()15赫兹

6

速度：v=2如a=hlma}=2.188x10米/秒

加速度：w=v2/r=v2/=9.046xIO??米/秒2

2.2试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。

解：电离能为E,=Eg-Ei，把氢原子的能级公式=—R/7c/〃2代入，得：—-L）=R%=13.60电子伏特。

，8I〃「00

E

电离电势：匕=」=13.60伏特

e

1133

第一激发能：Ej=%/力。（了一5?）=]尺%=]*13.60=10.20电子伏特

E

第一激发电势：匕=」=10.20伏特

e

2.3用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？

解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：

hcR

E=hcRH（4--V）其中n=13.6电子伏特

g=136x（1—1）=10.2电子伏特

E2=13.6X(1-12.1电子伏特

E3=13.6x（l-不）=12.8电子伏特

其中片和4小于12.5电子伏特，心大于12.5电子伏特。可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到〃24的能级上去，所以只能

出现〃<3的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为：

；=Rfi（/_：）=5%/36

4=6565A

4,=1215A

1I8

=\J=R

%FZ9-

4=1025A

2.4试估算一次电离的氢离子〃；、二次电离的锂离子L：的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的

上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。

a）氢原子和类氢离子的轨道半径：

4啊〃“n2

r=.272=%亏，〃=123……

4万mZeZ

其中％=〃，一=0.529177x1()T°米,

4To是氢原子的玻尔第一轨道半径;

4bme~

Z是核电荷数，对于H,Z=1；对于H,Z=2；对于乙产，Z=3；

z1z1

〃

一

因此，玻尔第一轨道半径之比是生z-2-z一3-

〃

b)氢和类氢离子的能量公式：

2Tm/Z?7-

E==E]--,n=1,2,3

(4%£O)2〃%2n

其中/=-三等二13.6电子伏特，是氢原子的基态能量。

(4f)〃

电离能之比：

2

U0—UFHe+_乙ZHe_4

Of—z：—'

。一号尸z.

-----------=-------=y

O-E„riZlrl

c)第一激发能之比:

EZ-E:I2I2

£'F-£1F

3232

-—同目一一瓦产,

牖毋E±J

'221I2

d）氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式:

〜211["曰23……

v=ZR

（~一~T）,1〃2=（〃I+D，（〃I+2）

Y\1]〃2

,24

其中R=尸J是里德伯常数。

（4^0）-/r

氢原子赖曼系第一条谱线的波数为：

相应地，对类氢离子有:

产=22R(T

INZ|

i)++=32R(」——L)_L_

1422J=4&++

因此，

_14"+_1

记I，

2.5试问二次电离的锂离子L；+从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氢粒子H：的电子电离掉？

解：L：+由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为：

〃；的电离能量为：

Vfie=4/2C/?He---)=4瓦心

100

-h-v-Li-+-+-2-7-R-u-27.l+m/MHe

hV16

He+16KHe--+^/Mu

由于M%,<“力所以1+〃2/"近+Li,

+

从而有hvLi++>hvHe+,所以能将He的电子电离掉。

2.6氢与其同位素气（质量数为2）混在同•放电管中，摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（Ha）光谱线之间的波长差△见有多大？

已知氢的里德伯常数R”=1.0967758xIO7米-1,笳的里德伯常数豆，=1.0970742x107米t。

T-=-，0=36/5%

D23

5RHRD

=1.79A

2.7已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长

/I为多少A?

111133

解：_=R+_（二一一*=人-----一=-R

AeeI222\,加48

m

1米=2430N

3x10973731

2.8试证明氢原子中的电子从n+1轨道跃迁到n轨道，发射光子的频率乙。当n>>l时光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率。

证明：在氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为：V,=-L=~―!——二］

"A,«2(〃+产

2n+1

频率为:v„=-=Rc$——二］=,Rc

2n-(/z+1)­〃-(〃+1)一

当心＞时有(2〃+1)/〃2(〃+1)2a2〃/〃4=2/〃3,所以在n»i时，氢原子中电子从n+1轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为：V„=2Rc/n\

设电子在第n轨道上的转动频率为工，则

更vmvrP2Rc

"2m-2mnr227nnr2n3

因此，在n»l时，有匕，=/„

由上可见，当n»l时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明，在n很大时，玻尔理论过渡到经典理论,

这就是对应原理。

2.9。原子序数Z=3,其光谱的主线系可用下式表示：

RR

v=--------——--------——-O已知锂原子电离成ZT++离子需要203.44电子伏特的功。问如把Li+离子电离成Li++离子,需要多少电子伏特的功？

(1+0.5951)2(71-0.0401)2

解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线

-RheRheR,Jic-

系的系限能量，所以匕+离子电离成ZT+离子时，有4=八…6。—一Xiu八，=5.35电子伏特

(1+0.5951)oo(1+0.5951)"

1++是类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此-»〃+++时，电离能4为：E3鼠〃C=122.4电子伏特.

设心广严的电离能为而Li-U+++需要的总能量是E=203.44电子伏特，所以有石2=£一6一当=75.7电子伏特

2.10具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？

0R

答：设原子的磁矩为〃，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为〃Z，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为广="z,其

oZ

RRRR

中——是磁场沿Z方向的梯度。对均匀磁场，—=0,原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动，且对磁场的取向服从空间量子化规则。

6ZdZ

对于非均磁场，坦H0原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子射束的路径要发生偏转。

az

AR

2.11史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为丝=1()3特斯拉/米，磁极纵向范围4=0.04米(见图2-2),

5Z

从磁极到屏距离心=。10米，原子的速度v=5x1()2米/秒。在屏上两束分开的距离d=0.002米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影〃的大小(设磁场

边缘的影响可忽略不计)。

解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在心区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域4后向外射出时粒

子的速度为出射方向与入射方向间的夹角为6。。与速度间的关系为：次。=以

V

粒子经过磁场右出射时偏离入射方向的距离S为:

”和，…⑴

将上式中用已知量表示出来变可以求出〃z

=J区翌产LJv

1mtndZ'

//zdBLi

mdZv

〃zdBL,L

S'=L?tge2

mdZv2

d,dndBLL

---oc=-------7--------}-2

22mdZy-

把S代入（1）式中，得:

d〃z3BL|L2_〃zL,

2m5Zv22m5Zv2

整理‘得：鬻I*.*⑷4

由此得：〃z=0-93乂10-23焦耳/特

2.12观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况，可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度

1，=1。3米/秒，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光谱线强度减少到1/3.32。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命。

解：设沿粒子束上某点A和距这点的距离S=1.5毫米的B点，共振谱线强度分别为/0和并设粒子束在A点的时刻为零时刻，且此时处于激发态

的粒子数为N20,原子束经过t时间间隔从A到达B点，在B点处于激发态的粒子数为N?。

光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁儿率成正比则有—

设发射共振谱线的跃迁儿率为A2I,oc----

10^21^20

适当选取单位，使人=必=1/3.32,

【0^20

并注意到N?=N2oe-须，而f=s/v,

N

则有：-=*2=1/3.32

由此求得：

1v

=-(In3.32-In1)=-In3.32

~ts

1s1.5x10-3

t—__=______=_________

A21vln3.320xIn3.32

=1.25x10-6秒

第三章量子力学初步

3.1波长为17的X光光子的动量和能量各为多少？

解：根据德布罗意关系式，得：

动量为：p=g=6,63x『_=6.63、10口千克・米・秒-1

2IO的

能量为：E=hv=he/A

=6.63X10-34X3X108/10',°=1.986xlO'15焦耳。

3.2经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长2=?用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？

解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：

入=h“2meV对于电子：加=9.11xlO^i公斤，e=1.60xlO/库仑

把上述二量及h的值代入波长的表示式，可得：

12.25。、1225。。

-，,4=0.1225A

710000

对于质子，“2=1.67x10-27公斤，e=1.60x10-19库仑，代入波长的表示式，得:

2=一/6.626x1。3二2.862xM。卜

V2xl.67xl0-27xl.60xl0-|9xl0000

1225。

3.3电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修尼因而原来人而A的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为:

4=1225(1-0.489x10，)A°

Vv

其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。

证明：德布罗意波长：A=h/p

2222

对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K与其动量p之间有如下关系：K+2Kmac=pc

而被电压V加速的电子的动能为：K=eV

.・.p?=<R)_+2mQeV

c

2

p=yj2m0eV4-(eV)/c~

因此有:

h

A-h/p

42moeV

一般情况下，等式右边根式中eV/2Moe2一项的值都是很小的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得:

2=/卜(1一_卜(]_0489x1O'V)

4mo^m^eV

i------12250

由于上式中〃/j2，/eV其中V以伏特为单位，代回原式得:

12.25(1-0.489x10,么

X=

TV

由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。

3.4试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。

证明：轨道量子化条件是：pdq-nh

对氢原子圆轨道来说，P,.=0,P产mr-。=mvr

所以有：

jpd</)=2〃-mvr=nh

h

S=2"=n—=nA,n=1,2,3...

mv

所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是:

prdr—nrh

其中

pr-mr,p°=mrQ

+p扪*=皿,其中〃二附+nr

而寸(P/，'+“0d。)=rdr+mr?MG)

=(^(mr^-dt+mr2力)

=(^mv2dt=(j,mvds

=gbs=

"万cds="

因此，椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。

3.5带电粒子在威耳孙云室(一种径迹探测器)中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度约为1微米。当观察能量为1000电子伏特的电子径迹时其动量

与精典力学动量的相对偏差不小于多少？

解：由题知，电子动能K=1000电子伏特，Ar=1CF6米，动量相对偏差为Ap/p。

hh

根据测不准原理，有ApAcN—,由此得：ApN——

22Ar

经典力学的动量为:

p-J2mK

包>——j——=3.09x103

p2AxJ2〃2K

电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小，足见电子的径迹与•直线不会有明显区别。

3.6证明自由运动的粒子(势能V=0)的能量可以有连续的值。

证明：自由粒子的波函数为：

+—(p-r—Et)

h

〃=Ae(i)

h2,

自由粒子的哈密顿量是：H=——V2……(2)

2m

自由粒子的能量的本征方程为：Hw=Ew……(3)

h"7+\p'f-Et)

把(1)式和(2)式代入(3)式，得：一卜]=Ei//

2m

即:

h~一4,d：d：d一、+7(PxX+Pyy+p/-Er)「

----V-A(--+—-+—-)eh=Ei//

2mdx~dy~dv

p-r

2m

.•.尸£S----

2m

自由粒子的动量p可以取任意连续值，所以它的能量E也可以有任意的连续值

3.7粒子位于一维对称势场中，势场形式入图3-1,即

rQ<x<L,V=0

lx<O,x>L,V=Vo

(1)试推导粒子在E<匕情况下其总能量E满足的关系式。

(2)试利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量只能是一些不连续的值

解：为方便起见,将势场划分为I,n,山三个区域。

(1)定态振幅方程为勺3+卫(E—V⑴)%,)=0

dx~h~

式中以是粒子的质量。

I区：仪―其中标=当(匕一后)

波函数处处为有限的解是：/(x)=Ae*A是一任意常数。

n区：学+夕2犷=0其中夕2=当后

处处有限的解是：匕(x)=8sin(Pv+y),8,混任意常数。

IH区：嘤—22^=。其中。2=至”后)

dx2h2°

处处有限的解是：6是任意常数。

有上面可以得到：J-也=a,」-也=仅tg（j3x+y）二皿

收］dxi//2dxi//3dx

有连续性条件，得：

CC

—=ctgy

{£

一2=°吆（以+/）

解得：

1-丝*

因此得：(3L=n兀-2tg7(0/a)

这就是总能量所满足的关系式。

（2）有上式可得：

5By/〃1

Tg与……〃=偶数，包括零

ctg-...〃=奇数

aL=~(j3L)ctg与

亦即

ccL=(0L)tg勺

令/3L=n,aL=v,则上面两方程变为:

M八、

V=-lltg—....⑴

U/八、

v=utg~...（2）

另外，注意到W和U还必须满足关系：u2+v2=2取I?I仔……（3）

所以方程（1）和（2）要分别与方程（3）联立求解。

3.8有一粒子，其质量为“，在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为a、b、c在势箱外，势能V=oo；在势箱内，V=0。式计算出粒子

可能具有的能量。

解：势能分布情况，由题意知：

匕=0,0<x<«;

Vv=0,0<y<b;

Vz=0,0<Z<c;

Vv=oo,x<0和x>a

Vv-<x>,y<0和y>b

V.=oo,<0和z>c

在势箱内波函数w(x,y,z)满足方程：

SV32mrzn

+Y。初+Y初+yv[E-(匕+1+匕).=0

2x22y22z2h

解这类问题，通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。

令以x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)

代入(1)式，并将两边同除以X(x»(y)Z(z)，得：

.1d2X2m,,.Ad2Y2m.1d2Z2m,,、2m„

(-----；-----VJ+(----；----r匕)+(-----------V.)=-E

Xdx-h2xYdy2h2>Zdz2h2zh2

方程左边分解成三个相互独立的部分，它们之和等于一个常数。因此，每一部分都应等于一个常数。由此，得到三个方程如下:

1d2X2m2m_

----------------yIZ-------E

Xdx2h2xh2x

1d2Y2ms2m_

---------------y-------£

ydy2h2'h2y

1d2Z2m,,2m„

--------------1---------------V.=——-E.

Zdz2h2zh2'

其中E=纥+EV+纥,纥,Ev,牛皆为常数。

将上面三个方程中的第一个整数，得：

2

dX2m…“八

而+记(E—,)X=。(2)

边界条件：X(O)=X(/)=O

可见，方程（2）的形式及边界条件与一维箱完全相同，因此，其解为:

类似地，有

2f2

Ey■〃―〃'i2,3

,7rPT1re

E.=------n,2=1,2,3...

22k22

/、I8.n7ix.〃町'.njcz

-(x,y,z)=J---sin—x—sin—v—sin——

Vabcabc

9,?2-22

„7i'h~,nn.、

E=------(^x-++-nV)

2ma~b~c~

可见，三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。

对于方势箱，a=b=c，波函数和能量为：

1~8~.npx.〃3.n.Tiz

”(％,y,z)=—sin——sin—v—sin——

AVaaaa

E=Q^〃2,〃2=〃

2+,*,2+,〃，2

第四章碱金属原子

4.1已知Li原子光谱主线系最长波长4=67071,辅线系系限波长4c=3519、。求锂原子第一激发电势和电离电势。

解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为匕，电

离电势为匕，则有:

eV,

.•.匕=>=1.850伏特

Ae

cC

eV^=h—+h——

he1I

；.丫8=L（=+；）=5.375伏特。

e44

4.2Na原子的基态3S。已知其共振线波长为5893么，漫线系第一条的波长为8193A，基线系第一条的波长为18459A，主线系的系限波长为2413A。

试求3S、3P、3D、4F各谱项的项值。

解：将上述波长依次记为

4max，A/max'2fmax'^px，

即%max=5893A,2rfmax=8193A,2/max=18459A,2poo=2413A

容易看出：

T3s=淳=——=4.144x106米T

APg

T3P=-.....'―=2.447X1()6米T

4P8max

73力=1227x1()6米T

(Imax

米

T4„.=T3D------=0.685X1()6-I

A.'fmax

4.3K原子共振线波长7665A,主线系的系限波长为2858A。已知K原子的基态4S。试