连续型随机变量及其概率密演示文稿

连续型随机变量及其概率密度演示文稿目前一页\总数四十八页\编于十九点连续型随机变量及其概率密度目前二页\总数四十八页\编于十九点一连续型随机变量1定义目前三页\总数四十八页\编于十九点由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数2概率密度的性质1非负性2规范性这两个性质是判断一个函数是否为一个连续型r.v.X的概率密度的充要条件

f(x)xo分布曲线面积为1利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率目前四页\总数四十八页\编于十九点

若x是f(x)的连续点，则：=f(x)

故

X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.目前五页\总数四十八页\编于十九点(1)连续型r.v.取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为请注意:当时得到由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出目前六页\总数四十八页\编于十九点

对连续型r.v.X,有目前七页\总数四十八页\编于十九点说明:由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．(此公式非常重要)目前八页\总数四十八页\编于十九点要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo目前九页\总数四十八页\编于十九点若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.目前十页\总数四十八页\编于十九点例题选讲例题1设随机变量X具有随机密度函数试求(1)c(2)X的分布函数；目前十一页\总数四十八页\编于十九点目前十二页\总数四十八页\编于十九点目前十三页\总数四十八页\编于十九点目前十四页\总数四十八页\编于十九点目前十五页\总数四十八页\编于十九点目前十六页\总数四十八页\编于十九点1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X～U(a,b)三、三种重要的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作目前十七页\总数四十八页\编于十九点与c无关Xabll0Xx目前十八页\总数四十八页\编于十九点

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；目前十九页\总数四十八页\编于十九点

例2

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，

X～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位目前二十页\总数四十八页\编于十九点为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，目前二十一页\总数四十八页\编于十九点目前二十二页\总数四十八页\编于十九点返回目录目前二十三页\总数四十八页\编于十九点则称X

服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.若r.vX具有概率密度常简记为X~E().2指数分布目前二十四页\总数四十八页\编于十九点若X

服从参数为的指数分布,则其分布函数为事实上,当时,当时,目前二十五页\总数四十八页\编于十九点注意1）无记忆性；目前二十六页\总数四十八页\编于十九点

2）电子元件的使用寿命和各种随机系统的服务时间在一般情形认为其服从指数分布；3）指数分布在可靠性理论和排队论的应用比较广泛。目前二十七页\总数四十八页\编于十九点3.正态分布若连续型r.vX的概率密度为记作其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.目前二十八页\总数四十八页\编于十九点曲线关于轴对称；目前二十九页\总数四十八页\编于十九点函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；x=μ

σ为f(x)的两个拐点的横坐标；目前三十页\总数四十八页\编于十九点当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.目前三十一页\总数四十八页\编于十九点正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.称为位置参数目前三十二页\总数四十八页\编于十九点决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点目前三十三页\总数四十八页\编于十九点

设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数目前三十四页\总数四十八页\编于十九点4标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：目前三十五页\总数四十八页\编于十九点的性质:事实上,目前三十六页\总数四十八页\编于十九点目前三十七页\总数四十八页\编于十九点它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.定理1目前三十八页\总数四十八页\编于十九点证Z的分布函数为则有目前三十九页\总数四十八页\编于十九点于是目前四十页\总数四十八页\编于十九点书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.目前四十一页\总数四十八页\编于十九点若~N(0,1)

若X～N(0,1),目前四十二页\总数四十八页\编于十九点由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.997453准则目前四十三页\总数四十八页\编于十九点将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.