结构力学之结构的位移法及习题课讲义

第十一章位移法§11-1位移法的基本概念§11-2等截面杆件的刚度方程§11-3无侧移刚架的计算§11-4有侧移刚架的计算§11-5位移法的基本体系§11-6对称结构的计算§11-7支座位移和温度改变时的计算§11-0简介1位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方法，它比力法有更大的优越性。位移法也可用来解静定结构，也就是说位移法比力法具有更大的通用性。矩阵位移法——随计算机的发展而形成的；位移法渐近法——力矩分配法、无剪力分配法；分层计算法(多层多跨刚架受竖向荷载作用时)；近似法——反弯点法(多层多跨刚架受水平荷载作用时)；D值法(广义反弯点法)。2§11-1位移法的基本概念一、位移法的基本思路将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即：结构拆成杆件结构搭接成第一步第二步第一步：杆件分析找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。第二步：结构分析找出结构的结点力与结点位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。3位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转变为简单杆件的分析与综合的问题。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。二、基本未知量力法：力法的基本未知量是多余未知力；位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位移(角位移和线位移)。位移法与力法一样，求解的第一步就要是确定结构的基本未知量。4基本未知量的确定：基本未知量数目n=结点角位移数+独立的结点线位移数结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定)独立的结点线位移数的确定方法：将所有的刚结点变成铰后，若有线位移则体系几何可变，通过增加链杆的方法使体系变成无多余约束的几何不变体系(静定结构)时，需要增加的链杆数就是独立的线位移数。图11-1FEDCBAFEDCBAn=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=35图11-2EDCBA(a)(b)确定线位移图EDCBAn=3(C、D、E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5图11-3(a)FEDCBAG(b)确定线位移图FEDCBAGn=1(D)+2(C、F点的水平侧移C、F)=36习题11-1用位移法计算下列各结构时的基本未知量个数。(a)EIEA(1)当EI、EA为无穷大时，(3)(2)当EI、EA为有限值时，(6)习题11-1图(b)(1)当0时，(10)(2)当=0时，(10)(c)(1)当不考虑轴向变形时，(4)(2)当考虑轴向变形时，(9)(d)(1)当0时，(3)(2)当=0时，(2)7三、解题途径以图11-4a所示结构为例，介绍位移法的解题途径。图11-4(a)qABCPAA1、确定基本未知量(2个)

A、A=

2、设法求出A、

方法：把结构拆成杆件(b)qAMABAB(1)AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位移A、，并承受已知荷载q的作用。(c)PACMACA(2)AC杆的计算条件是：C端简支，A端有已知位移A，并承受已知荷载P的作用。AMACMAB(d)ABQABQABMABMBAqP(e)QBA8注意：此处所说的已知位移仅仅是指，根据结构与荷载知道结构的结点将产生此种位移，并非知道其大小。(3)杆件分析：就是杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算问题。得到的是杆件的刚度方程。3、整体分析(将杆件搭接成结构)杆件搭接时利用在A端各杆位移是相同的。作为变形协调条件。再利用结点A及结构上某杆的平衡条件，即可得到位移法的基本方程。基本方程是用结点位移表示的平衡方程。解平衡方程，即可获得结点位移A、

。4、位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。95、计算各杆的杆端弯矩将A和代入杆件的杆端弯矩表达式，即可求出各杆端弯矩。6、作弯矩图：根据杆端弯矩和杆件所受荷载作M图。再按第三章的方法作剪力图和轴力图。以上是位移法求解超静定结构的基本过程。从介绍的过程中，大家应该清楚：(1)位移法主要是计算出结构的结点位移，其余是杆件计算。(2)位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支梁；一端固定、一端滑动梁。最后提出：杆件的计算作为预备知识在下一小节介绍。10§11-2等截面杆件的刚度方程位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座移动和外荷载作用时的杆端力的计算。用到的数据是：形常数和载常数。(1)已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；(2)已知荷载作用时求固端弯矩——载常数。一、由杆端位移求杆端弯矩(获得刚度方程)(1)基本情况图11-5所示为一等接截面杆件AB，截面惯性矩I为常数。已知端点A和B的角位移分别为A和B，两端垂直杆轴的相对位移为，拟求杆端弯矩MAB和MBA。11(2)杆端位移与杆端弯矩的符号规定

AB杆：杆端位移A、B、弦转角(=/l)、杆端弯矩MAB和MBA一律以顺时针为正。特别注意：第一点，式=/l

中的是A、B两点的相对竖向位移。在结构中的杆件有两端都出现竖向位移的情况(多层多跨刚架中中间层柱的侧移，就是这种情况)，这时一定要注意取的是两端的相对侧移。第二点，此时的弯矩符号规定，只是针对杆端弯矩而言，而不是针对杆间的任一截面的弯矩。图11-5MABEIAQABBQBAMBAlBA12当取杆件为隔离体时，把杆端弯矩作为外力，一律以顺时针为正；当取结点为隔离体时，把杆端弯矩作为外力，一律以逆时针为正。但是，当作弯矩图时，杆端弯矩为杆件的内力，遵循通常的符号规则，弯矩图画在受拉侧。(3)刚度方程的推导①图11-6所示简支梁图11-6(a)MABAEIlABBMBA已知：两端力偶MAB、MBA，求杆端转角A、B。利用第八章计算位移的方法——单位荷载法求解。MPMABMBAM1P=1113APMM1图进行图乘可求得图与q-=-=-BAABBAABBAABAMiMiEIlMEIlMlMlMEI613163)31213221(1=q=lEIi称为线刚度。式中，+-BAABBBMiMi3161=，同理，可求qq(11-2)+--BAABBBAABAMiMiMiMi31616131==即：qq②考虑杆件两端的竖向相对位移时，求A、B。图11-6(b)AEIBlBAlBAD===jqq(11-3)14③综合考虑两种情况就可得到下式：(11-4)D++-D+-lMiMilMiMiBAABBBAABA31616131＝＝qq解(11-4)式，可得式(11-5)，即：转角位移方程(11-5)liiiMliiiMBABABAABD-+=D-+=642624qqqq④杆端剪力QAB、QBA+-==)(1MMlQQBAABBAAB由平衡条件可得杆端剪力：即：(11-6)D+--==21266lililiQQBABAABqq15⑤刚度方程两式是杆端力与杆端位移之间的关系，用矩阵形式表示，即称为弯曲杆件的刚度方程。(11-7)D----=BAABBAABlilililiiiliiiQMMqq21266642624----lilililiiiliii21266642624左边的矩阵称为弯曲杆件的刚度矩阵。其中的元素称为刚度系数。刚度系数只与杆件的截面尺寸和材料的性质有关，称为“形常数”。16(4)讨论杆件在一端具有不同支座时的刚度方程①B端为固定端(图11-7a)图11-7(a)EIBAlMBAMBAAA此时，B=0代入(11-5)式(11-8)可得：liiMliiMABAAABD-=D-=6264qq②B端为铰支座(图11-7b)(b)lAMBAAAEIB此时，MBA=0代入(11-4)式中的第一式，可得：(11-9)liiMAABD-=33q③B端为滑动支座(图11-7c)lMBAEIBMBABAA(c)17此时，B=0、QBA=QBA=0，代入(11-6)式Alq21=D可得：将此式代入(11-5)式，则有：(11-10)ABAAABiMiMqq-==由以上的分析过程可知：利用(11-5)~(11-10)式，可在杆端位移A、B、

已知的情况下求出杆端弯矩。当杆端位移A、B、分别为单位位移时，各杆端力即为杆件弯曲时的刚度系数。例如两端固定时有A=1MABMBAliQQBAAB6-==iMMBAAB24i==18二、由荷载求固端弯矩此时，仅考虑外荷载作用，可以用力法求出各种单跨超静定梁在不同荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，把它们称为“固端弯矩”和“固端剪力”。固端弯矩和固端剪力因只与荷载形式有关，称为载常数。用“mAB、mBA、QAB、QBA表示固端弯矩和固端剪力。为便于计算，将有关结果列于表11-1，供解题时使用。等截面两端固定梁同时有荷载和杆端位移时，可用“叠加原理”得出各杆端弯矩和剪力的表达式(11-12)和(11-13)。式(11-12)BABABAABBAABmliiiMmliiiM+D-+=+D-+=642624qqqq19BABABAABBAABQlililiQQlililiQ+D+--=+D+--=2212661266qqqq式(11-13)表11-1等截面杆件的固端弯矩和固端剪力321两端固支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号203022qlmqlmBAAB+=-=2222lbPamlPabmBAAB+=-=)21(22lblPaQBA+-=)21(22lalPbQAB++=2qlQBA-=2qlQAB+=122qlmBA+=122qlmAB-=207qlQBA-=203qlQAB+=qABlqABlPABba206一端固定另一端铰支5两端固支74固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号qlmAB82-=qlmAB152-=qlQBA101-=qlQAB52+=qlQBA83-=qlQAB85+=D-=BAhtEImaD=ABhtEIma0=BAQ0=ABQ2PQBA-=2PQAB+=8PlmBA+=8PlmAB-=续表11-1PABl/2l/2t1ABt2t=t1-t2qABlqABl21101198一端固定另一端铰支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号322)3(lalPaQBA--=3222)3(lblPbQAB-+=2222)(lblPbmAB--=PlmAB163-=hltEIQQBAAB23D-==ahtEImAB23D-=aqlmAB12072-=PQBA165-=PQAB1611+=qlQBA4011-=qlQAB409+=续表11-1qABlPABbaPABl/2l/2t1ABt2t=t1-t22215141312一端固定另一端滑动支承固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号0=右BQ+=左BPQ+=ABPQ2-==BAABPlmm0=BAQ0=ABQD-=BAhtEImaD=ABhtEIma22-=BAlPam)2(2--=ABallPam0=BAQ+=ABPQ62-=BAqlm32-=ABqlm0=BAQ+=ABqlQ续表11-1qABlPABbaABlP+t1AB+t2t=t1-t223§11-3无侧移通刚架的肌计算位移猫法求烫解超叹静定罗结构根时，甘根据删位移役法的震基本理原理舱，有易两种贺建立筋位移愁法基鼠本方欣程的羊方法肠。即忠：1、直接北杆端弯贩矩法；2、基绝本体弊系法(附加锈约束谎法)。无侧移蚁刚架：若榴刚架误的各低结点(不包括扇支座)只有蜘角位求移而筝没有酷线位特移，板这种快刚架擦称为伪无侧竭移刚愁架。连续梁巨的计算烈属于无存侧移刚椒架问题伙。一、字连续井梁的度位移台法计勒算24通过连幻玉续梁的努位移法码计算，插说明位肿移法的音解题过怕程。图11-8a所示步的两独跨连藏续梁谋，求萄作弯秘矩图(M图)。图11-8(a)ABC20kN2kN/m3m3m6m1、确周定基被本未桑知量在荷惑载作抗用下匹，只裹有一万个基汗本未泪知量代，即辛：B2、计算吐各杆妨的固侵端弯郊矩AB梁是宇两端什固定泊梁，宿在跨舍中有碑集中绿荷载迎作用劣，且粮在B端有竞转角B。BC梁是B端固定毫、C端简支臣的梁，如梁上有厅均布荷妥载作用声，且在B端有杜转角B。)4111(1586208序号－查表mkNPlmmBAAB-==-=-=-25)6111(9862822序号－查表mkNqlmBC-=-=-=3、写档出各及杆端愈弯矩愤的表耀达式(令各耕杆的捏线刚缴度均岸为i)1522-=+=BABBABimiMqq1544+=+=BBABBAimiMqq933-=+=BBCBBCimiMqq4、建垒立位竞移法器基本护方程(取结点B为隔写离体阳如图11-8b)MBAMBCB(b)图11-80=+BCBAMM0=BM067=+Biq即，位移法基本方程为：5、求乞基本初未知办量B(解基本当方程)iB76-=q266、计算婆各杆端淋弯矩(将B代入夺杆端赴弯矩醉的表避达式)mkNiiimiMBABBAB-=--=-=+=)(72.1615)76(21522qqmkNiiimiMBBABBA=+-=+=+=)(57.1115)76(41544qqm)kNiiimiMBBCBBC-=--=-=+=(57.119)76(3933qq7、作督弯矩紧图根据各修杆端弯疫矩的值灶，利用敢叠加原症理作M图如图11-8c。图11-8(c)11.5716.7215.853.21M图(kNm)309需注意岩：此时若璃杆端弯宾矩为负警值，表示幸弯矩步为逆眼时针挡方向碧。278、讨灾论若在B点作用夕有集中繁力偶，须位移法塑的基本地方程如装何建立止。(a)20kN20kN·m2kN/mABC3m3m6m图11-9此时饥，对雕作用屡在B点的集半中力偶纸，求固肯端弯矩肯时不考监虑。在湾建立位醋移法的娇基本方工程时考者虑。取B结点器为隔乌离体积如右尼图(b)所示。20kN·mB(b)MBAMBC基本直方程逃为：MAB+MBC-20分=0有：7iB-14堪=0B=2/i杆端弯谷矩表达勇式不变轻，弯矩侄图如右(c)图所胞示。30112339137.5(c)M图(kNm)28例11-1求作亿图11-9a所示刚吃架的弯层矩图。(a)q=20kN/mABCDEF3I04I04I05I03I06m4m4m5m4m图11-10解：(1感)基本未崭知量有起两个：B，C。(2)求杆端黄弯矩固端边弯矩柏可以贴查表mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度铜取相百对值港，设EI0=1，则有2921630==EIiCF43430==EIiBE1440==EIiCD1550==EIiBC1440==EIiBA由式(1怜1-5)，(1锐1-8)，(1婶1-9)，再叠哗加固端毫弯矩，顶可列出竿各杆杆傻端弯矩闪如下：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33BBBEBEiMqq==34，BBBEEBiMqq==5.12CCCFCFiMqq==24，BCCFFCiMqq==230(3顾)位移欢法方件程结点B平衡，MB=0呈(图11-10b)BMBAMBCMBE(b)图11-10MBA+MBC+MBE=0将上步磨结果代锡入得10B+2C-1.庙7=路0痒①结点C平衡筝，MC=0(图11-10c)CMCBMCDMCF(c)MCB+MCD+MCF=0将上央步结停果代特入得2B+9C+41.细7=畜0必②(4见)求基大本未毙知量解①、②两方温程，柿得B=1.字15，C=-4仔.8931(5)求杆反端弯拉矩将求得让的位移而代入第2步各式萄可得mkNMBA=5.43mkNMBC-=9.46mkNMCB=5.24mkNMCD-=7.14mkNMBE=4.3mkNMEB=73.1mkNMCF-=78.9mkNMCF-=89.4(6渣)作弯矩恰图如图11-10d所示醉。3.4ABCDEFM图(单位kN·m)1.734.899.814.724.546.943.54062.5(d)图11-10注意：在本题货中各杆悦用的是蛾相对刚摘度，求性出的位拐移并不屡是真值金。如果布要求位怎移的真幕值，刚坦度也必株须采用占真值。32如果换在本磨题中客，令i=EI0/4，则有：iBA=iBC=iCD=4i，iBE=3i，iCF=2i。此时鲜得到改的位支移为活：B=0.待28叛2/i，C=-1.2甲02/i。它们都是真值竹，当EI0值已知灯时，缴可直勾接求以出B、C。例11-2如图所派示的刚盾架，求寺作弯矩附图。EI=常数8mABCDEFP=20kNq=10kN/m6m8m1(a)图11-1133对于肠此题瓣，值司得注辛意的燥是：EF杆F端的各荷载视对E的作用万相当于辆一个结疤点力偶够矩。由结构点E平衡羡，即ME=0，有：MED+MEC-20=0基本未渠知量为E，令i=EI/8，基本方证程为：7iE+60=0计算河结果膀为：E=-60/贿(7i)=-8.蹦57迹/i。ABCDEF54.292034.2917.1480M图(单位kN·m)(b)图11-1134§1毫1-4有侧增移刚针架的申计算有侧移起刚架：刚割架除画有结世点转起角位不移外云，还堪有结销点线物位移(独立怎的结阔点线床位移)。注意：计算百中忽严略轴测力对精变形炸的影宪响。援这样挨可以搭减少狱结点击线位顶移的话个数铺，使坐计算赖得到端简化(见图11-12)。(a)CPDDDCCAB图11-12(b)PDABEFC(c)CAPBDPEF221135由于忽娃略了杆咬件的轴袋向变形命，图11-12中的帐每个跳图的环同层支横梁饲上结船点的巾水平傅侧移恢相等(即独丽立的栏结点乓线位托移只川有一舟个)，可队以用柄一个扭线位酬移符港号表示奏。下面辟用例膝题说葱明位医移法宏解有沈侧移垦刚架状的基熔本步岸骤与释过程替。例11-3图11-13a所示帆的刚猪架，堪柱的嘴线刚千度为i，梁的瓶线刚没度为2i，均布荷哲载集度q=3kN/m，试作结韵构的弯洲矩图。(a)i2iiBACD8m4mq图11-13解：1、基本可未知量刚结漠点B的转角B和柱顶嫂的水平汗位移(图11-13b)。(b)BACDB362、杆纸端弯域矩表吉达式利用钞前述膨的相辣应公痛式并辨叠加迷固端蚂弯矩奋，可骑得各谁杆端葬弯矩-D-=-D-=iiiiMBBAB45.12431214622qq+D-=+D-=iiiiMBBBA45q==iiMBBBC6)2(3qqD-=D-=iiMDC75.043(a)3、建梨立位拳移法踩基本炼方程首先纠，与织结点B角位移B对应，酷取结点B为隔离斩体(图11-13c)，列力训矩平锈衡方守程：(c)MBCMBAB图11-133700，=+=MMMBCBAB(b)①045.110=+D-iiBq利用(a)式可得：然后，柔与横梁商水平位霸移对应笑，取途横梁BC为隔蔑离体(图11-13d)，列出水翻平投影勾方程：(d)BCQBAQCD图11-13X0，CDBAQQ0=+=(c)这里散关键泡是求趣出两旱竖柱劲顶端伞的剪碎力QBA和QCD(图11-13e、f)。(e)q4mQABQBAMBAMABABAM0，BAABBAMMQ6)(41-+-==(f)4mMDCQDCQCDCDDM0，DCCDMQ41-==将以岁上两遥式代渐入(c)可得逆：38024=+++MMMDCBAAB(d)②02475.36=+D-iiBq再利用(a)式可得：4、求基损本未知它量B和联立像求解缩慧①、跪②两觉式，博即得B和。iB1737.0=qi158.7=D5、计覆算各料杆端肾弯矩将基本冲未知量B和代入各赌杆端弯摄矩的表奏达式，脂即有：mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(439mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.06、作M图(图11-13g)13.624.425.694.426M图(单位kN·m)BACD(g)图11-13一般旨说来速，位移法匆的基本歌方程是新静力平握衡方程。注意酱和力法川基本方惨程对比姜。基本辱未知观量中震每一逝个转摆角有窜一个启相应冰的结弊点力漆矩平究衡方蚊程，校每一强个独看立结勺点线自位移湾有一零个相妇应的卖截面咱平衡瞧方程疾。平尚衡方呆程的誓个数龄与基策本未尚知时拨的个刃数彼匹此相则等，柔正好选解出断全部腾基本鸭未知曾量。40例11-4求作图11-16粥(a)所示储刚架茅的弯便矩图棕，忽个略横叼梁的彻轴向珍变形足。(a)ABCDEFI1I2I3h1h2h3P图11-16解：(1净)基本涝未知略量柱AB、CD、EF是平行壳的，因拆而变形赔时横梁家只有移驰动，横膊梁在变累形后保绍持平行(图11-16b)，所以各久柱顶的造水平位国移是相悉等的，蹈只有一依个独立递线位移。(b)ABCDEFP(2)各柱住的杆念端弯昨矩和知剪力41各柱的线刚度为333hEIi=222hEIi=111hEIi=利用前拖述的相映应公式牌，可得渡各杆端羽弯矩333hiMFED-=223hiMDCD-=113hiMBAD-=由每搞柱平萍衡求解得杆饥端剪瓶力2333hiQEFD=2223hiQCDD=2113hiQABD=(3晕)位移法狠方程取柱滨顶以折上横革梁部纹分为粗隔离芳体(图11-16c)，由水平脊方向的化平衡条绝件X=0，得42(c)ABCDEFQABQCDQEFP图11-16=++-0)(QQQPEFCDAB=++D-2332222110)(3hihihiP=++=D22332222113)(3hiPhihihiP求得2hi2hi式中为各立柱之和。(4章)柱端弯慌矩和剪神力(将代入竿第2步各予式可拥得)-=233hihiPMFE-=222hihiPMDC-=211hihiPMBA43=2233hihiPQEF=2222hihiPQCD=2211hihiPQAB(5)根据杆牺端弯矩拉可画出M图如图11-16d所示。图11-16(d)ABCDEF233hihPi222hihPi211hihPiM图(6容)讨论计算结招果表明籍，各柱尸柱端剪拿力Q与i/h2成正缘瑞比。贫我们额可以推给上萄述结桑果以新的甘解释：荷辞载P作为获各柱总绕剪力反，按各柱蝴的i/h2比例分圣配给各笛柱，根炉据剪力惊，即可跪画出弯妨矩图。44例11-5如图11-14所示欧的刚巷架，经求作艳弯矩售图。图11-14(a)4mABCDP=28kN2m2m2mi2i2iq=28kN/m在本决题中踪蝶，基等本未毅知量嚼是刚写结点B的转角B和结点B(C)的侧向肥位移(B、C)。由结引点B列力福矩平盈衡方兔程：MB=008428)(32=-+Biq84284)2(6)2(4+D-Biiq即：化简可嗓得：11iB-3i-42=0①45由斜梁BC的水平枯分力列桃水平投荐影方程圾：X=0。即乎有06)2(32284)2(124)2(622=D+-D+-iiiBq化简真可得：-3iB+5i/3-14=0浮②联立底求解葡方程①羽、②可得般：B=12/i=30/i(b)ABCD562030285610M图(kN·m)图11-14本题拆应注意两点案：(1)因为结灾点B、C都只能盲发生水何平位移最，并且位移前弄后BC杆的榴长度曲不变只，所晚以应桑该有=B=C，即只有间一个界独立酷的线穿位移康；(2)斜杆BC的固端扣弯矩mBC与同每跨度(荷载勒分布孟长度)的水滴平杆拒的固通端弯禁矩相菜同。46例11-6作图11-15(a)所示结铅构的方弯矩泰图。lABCDP=3qlqii1iliiEllF(a)图11-15此题错中，雾基本山未知抖量个准数为2，即沸刚结素点B的转只角B和C(F)点的侧介移(C、F)。由结混点B列力翅矩平泄衡方树程：MB=0064832=D+++liiqliBBqq即：化简可端得：7iB+6i/l+ql2/8=0苗①由横尚梁CF的水平耳分力列喉水平投狗影方程(以向左龙为正)：03312126222=-D+D+D+qllilililiBqX=0，47可得：6iB+27i/l-3ql2=0得②联解犁两方率程可挥得：B=-19ql2/(至13备6i)=29ql3/(2滤04i)ABCDEF0.270.570.850.850.280.430.270.125M图(ql2)(b)图11-15本题应注意以下纵几点冒：(1溉)因CF杆的线保刚度为愤无穷大追，所以C点无转扬动，只琴有侧移献，基本窃未知量掌为2。(2)弯矩MCF的值馋由C点的泉力矩滴平衡嘴求出痒。(3)取CF杆为摇隔离呜体时贼，必店须切参断所阅有的片杆件害，并疏注意教列方症程时城不要浊忘记纱作用绝在C点的水宰平集中个荷载P。(4)查表计止算固端朝弯矩m时，注良意所求木结构的寻杆件与所查懂表中杆亏件的支郑承情况跪，注意武固端弯诸矩的正停负号。48例11-7求作图11-17(a)所示轧刚架纲的内屠力图块。(a)q=20kN/mABCEFD4I04I05I03I03I04m6m4m4m5m图11-17解：(1连)基本喷未知叛量本例帅与例11-1不同冲处是冠除转召角B和C外横幅梁还互有水什平位责移。(2)杆端港弯矩固端弯镰矩查表11-1求得mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度取挺相对值弹，设EI0=1，则有491440==EIiBA1550==EIiBC1440==EIiCD43430==EIiBE21630==EIiCF由式(11-5)，(11-8)，(1著1-9)，再画叠加败固端像弯矩屯，可妙列出静各杆铃杆端制弯矩湖如下溉：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33D-=D-=125.1364BBEBEBBEBEliiMqqD-=D-=125.15.162BBEBEBBEEBliiMqq50D-=D-=5.0264CCFCFCCFCFliiMqqD-=D-=5.062CCFCFCCFFCliiMqq(3叮)位移旺法方最程考虑缴结点B平衡(图11-17b)BMBAMBCMBE(b)图11-17MB=0，MBA+MBC+MBE=0得10B+2C-1.须12剪5D-1.丢7=堂0炮①考虑结疾点C平衡(图11-17c)CMCBMCDMCF(c)MC=0，MCB+MCD+MCF=0得2B+9C-0.5D+41.哄7=稿0各②51以截邮面切胁断柱虫顶，求考虑聚横梁ABC滋D的平断衡(图11-17d)图11-17(d)q=20kN/mABCDQBEQCFX=0相，QBE+QCF=0再考虑糖柱BE和CF的平进衡(图11-17e和f)(e)BEQBEQEBMEBMBE40，EBBEBEEMMQM+-==CFQCFQFCMFCMCF(f)60，FCCFCFFMMQM+-==故截面平场衡方程跟可写为064=+++FCCFEBBEMMMM037.4375.6=D-+CBqq得③(4)求基嚼本未拘知量52联立解①、弃②、③窗三个方程，界得B=0.弹94，C=-4.触94庸，=-1.9踢4(5宣)求杆端云弯矩将求倦得的郑位移氧代入董第2步各式涝，得MBA=3志0.9赏4+4厨0=4虾2.8嗽2kNmMBC=4哗0款.9佳4+迫2瓜(-4.犯94耍)-41灶.7斥=-47.劈燕82kNmMCB=2射0追.9刃4+坛4录(-4.待94扶)+闪41撇.7血=2辜3.松82kNmMCD=-34亦.94参=-14.肺8kNmMBE=3卸0.9轰4+1兵.12窜51肝.94爪=5.堂0kNmMEB=1.摆50希.94略+1.副125误1.播94=务3.5此9kNmMCF=2眼(-4.秘94刃)+姓0.渴5甜1.经94牙=-8.9优1kNmMFC=-4.诊94攀+0梯.5衡1装.9该4=-3.9猪7kNm53(6蛮)作内力弯图由杆端胸弯矩作机出M图(图11-17g)。图11-17(g)ABCEFD18.647.842.853.593.9726.723.814.88.91M图(kN·m)由每杆泉的隔离摸体图，隔用平衡持方程可沟求出杆昼端剪力副，然后翅作出Q图(图11-17h)。(h)ABCEFD45.229.350.73.72.1554.8Q图(kN)由结点皱的平衡真方程可塞求出杆致端轴力猜，然后烧作出N图(图11-17i)。(i)ABCEFD48.9105.52.15N图(kN)(7拣)校核在力量法中默曾经魔详细局讨论枣过超胡静定甩结构层计算济的校羡核问区题，冰其中掠许多鞠作法御这里午仍然纯适用顿。54但是阵要注个意一霞点：在位产移法傲中，后一般捏以校声核平霞衡条快件为于主；惜与此守相反吧，在稿力法我中，考一般御以校修核变成形连梳续条看件为词主。这是因孝为在选险取位移址法的基谨本未知晋量时已宝经考虑押了变形赶连续条稼件，而布且刚度谁系数的挖计算比增较简单赖，不易难出错，榨因而变恒形连续绝条件在茄位移法继中不作效为校核放的重点宋。图11-17中的誉内力吩图可纲进行怕平衡蜜条件绵校核盈如下择：C23.814.88.9(k)B42.847.85.0(j)图11-17首先由冤图11-17j、k看出，观结点B和C处的捡力矩梯平衡逃条件苹是满贤足的漫。其次，续在图11-17l中取神柱顶努以上所梁AB卵CD部分溪为隔掉离体镜，可颂校核翅水平逃和竖塞向平拣衡条范件：55图11-17(l)q=20kN/mABCD2.152.1529.3105.548.93.70015.215.20=-=X07.39209.485.1053.290=--++=Y56§11-5位移法朝的基本木体系前面提才出的是葛“直接隔杆端弯震矩法”眉求解超充静定结亭构。下听面介绍郑利用“傅位移法究的基本荒体系”驱求解超南静定结修构方法榨。力法中黄曾经提缸出“力捆法基本俊体系”乞的概念壶，我们耻知道力法繁基本挂体系纸必须穿是静架定结脊构。在此海通过提猛出“位桥移法的甚基本体有系”给字出位移像法的另粗一种形姥式。但象是，需顽要注意升此时的基本活体系染是一桨个比畏原结僵构超屯静定似次数牢更高每的超鸟静定检结构。位移法唤的基本千未知量蛙是位移炸：用广伤义符号梯“”表来示。一、基唇本体系图11-18a所示悉刚架醋，已卡知：q=3kN/m，l=8m，h=4m。有两旁个基山本未辞知量份，结稀点B的转角1和结点C的水打平位卸移2。57图11-18(a)CABDii2ilhq原结构(b)CABDq112基本体系采用基本体系如图11-18b所示。即：在B点附加“刚臂约，该附加刚臂只控制转动，不控制线位移。在结点C附加水平支杆控制结点C的水平位移。束”基本才体系问与原怠结构岭的区别：通过什增加人呆为约束号，把基幸本未知杨量由被芬动位移狮变成受报人工控扶制的主绢动位移钉。基本鱼体系惠的作形用：基本驱体系赵是用拢来计坡算原单结构茅的工圆具或吃桥梁丈。它葡包括评两个搏特点眼：581、基元本体呜系可挎以转酬化为林原结南构，低可以衡代表钱原结膝构；2、基涝本体慨系的止计算朗比较欧简单锋。附加约蜻束的目的就是将孔结构拆液成杆件护，使结馋构的整票体计算晃问题，思变成单姿个杆件唯的计算暑问题，答计算被肃简化。二、利搏用基本查体系建裳立位移联法的基跟本方程分析：拒在什么坡条件下臣，基本帝体系才撇能转化努为原结锁构。转化票条件位移稳法基亏本方倍程1、控批制附心加约大束，锁住筋结点古位移(1、2为零)。在荷基载作用后下，求奶得基本松体系在沉此状态偿下的内眯力；同葬时可知痒，在附塞加约束富上有约斥束力矩F1P(顺时针净为正)和水平夫约束力F2P(向右为津正)；而在号原结构脑上F1P和F2P是不存鄙在的。592、再茎控制惯附加浴约束缸，使瓣基本花体系流产生束结点联位移1和2。此时贿，附加胖约束中太的约束径力F1和F2将随屠之改位变；书若控微制1和2使与原惰结构的饮实际值到正好相右等，则污约束力F1和F2即完全灰消失，槐附加约倚束失去尤作用，护与原结错构完全兽相同。通过选以上寇两步叙的过醉程，拌可知董基本孙体系所转化蹄为原昆结构树的条璃件是霞：基凑本体端系在割给定宣荷载搅以及违结点蓝位移1和2共同作评用下，迎在附加无约束中检产生的马总约束植力F1和F2应等沿于零漆。即：剂转化等条件(位移泳法的侄基本酸方程)为：F1=0F2=0(11-14)3、F1和F2的计秘算利用扑“叠鉴加原华理”培，分此别考成虑外悔荷载剥和1、2单独作脚用时，备基本体励系中的牲附加约倾束力。60(1)荷载单刚独作用师：相应汽的约束讯力为F1P和F2P(图1浇1-19a)。图11-19(a)CABDqF1PF2P(2)单位位飞移1=1单独搞作用结：相碰应的菌约束弄力为k11和k21(图1脾1-19b)。(3叠)单位略位移2=1单独作召用：相明应的约棉束力为k12和k22(图1夕1-19c)。(c)k22k122=1(4悲)叠加结苏果，考云虑到式(1袄1-14)有：(11-15)22221212+D+D=PFkkF12121111+D+D=PFkkF(b)k21k111=1614、位移法悬基本方核程(11-16)02222121=+D+DPFkk01212111=+D+DPFkk式(11-16)的物理似意义是界明确的聋，由此聚式可求田出位移1和2。与前苦面的直璃接杆端驴弯矩法绑是相通才的。注意翅：kii——主系数堂，且kii>0；kij——副系丙数，兵且kij=kji；FiP——自由项；副系数立、自由况项可为皱任意值丘。关于位鉴移法和斥力法，扰利用基霉本体系亮方法，也基本未么知量数遵目一旦茎确定，亡即可写见出其典受型方程飞。三、基壮本体系冲法(附加候约束找法)的解题役过程1、荷辨载作炉用下F1P、F2P的计田算。62(1牺)作基本痰体系在松荷载单被独作用川下的MP图(图1订1-20a)。(a)CABD4F1PF2P4MP图图11-20(2候)取结失点B为隔离嘴体(图11-20b)，求得F1P=4kN·m。(b)BF1P40(3池)取柱轰顶以起上横粪梁BC为隔离效体(图11-20c)，已知立愉柱BA的固端翅剪力QBA=-qh/2语=-6kN，求得F2P=-6kN。(c)CBQCD=0F2PkNqhQBA62=-=-2、基雾本体厅系在拳单位鹿转角1=1单独谷作用牺下，损求k11、k21。图为图(图11-21a)。M1(1)在基本体系中，当结点B有单位转角1=1时，其弯矩63图11-21(a)k21k116i2i4iABCD1M图(2和)取结点B为隔离危体(图11-21b)，得k11=4i+3券(2i)=留10i。(b)Bk114i6i(3)取柱顶毫以上横群梁BC为隔离杆体(图11-21c)，已知务立柱BA的柱医顶剪自力QBA=-6i/4路=-1.粘5kN，求得k21=-1.撞5i。(c)CBQCD=0k216iQBA-1.5ih==-3、2=1作用果下求k12、k22其弯矩图为图(图11-22a)。M2(1)在基本体系中，当横梁BC有单位水平位移2=1时，(2)取结估点B为隔离便体(图11-22b)，得k12=-1.域5i。64(b)Bk121.5i0(a)k22k121.5iABCD1.5i0.75i2M图图11-22(c)CBk22QBAi12ih2==34QCDi3ih2==316(3)取柱顶吸以上横使梁BC为隔详离体(图11-22c)，已知洞立柱BA的柱护顶剪焰力QBA=12i/h2=3辆/4i，立柱CD的柱顶偶剪力QCD=麻3i/h2=3含/1争6i，求得k22=1注5i/16。注意：此四题中逐求k12比求k21要简单落，解题猾时注意披应用。4、位移苗法基棕本方脆程将求抢得的训各系辛数和城自由申项代奴入方富程式(11-16)，得基王本方程偏如下：65ii0616155.121=-D+D-ii045.11021=+D-D该基眠本方始程与她前面责在§11-4中得出的方程药完全相捆同。5、求虚出基课本未虫知量1和2i158.72=Di1737.01=D6、作弯矩拴图利用挽下列题叠加乳公式满作原颂题刚遭架的M图。PMMMM+D+D=2211(11-17)杆端弯争矩计算雅如下：66mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(4mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.0注意：杆蓝端弯补矩计瓦算过叔程中矮，以在顺时末针为兰正。根据些杆端受弯矩氧作出突刚架尖的M图如图11-23所示贞。CABD图11-23M图(kN·m)4.4213.625.69667四、煌多个背基本棋未知揉量的槽位移择法基蒜本方支程当结仪构有n个基宝本未爬知量窜时，跑其位负移法践的基还本方核程为否：00022112222212111212111=+D++D+D=+D++D+D=+D++D+DnPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkLLL(11-18)上式与辆力法的基茅本方程饲是对应诉的，在歇这里nnnnnnkkkkkkkkkLLLLLLLLLL212222111211结构的刚度矩阵其中系郑数称为馅结构的刚度系于数，且有kij=kji，因此结构销刚度矩阵是蚂对称阵哭。其主撕系数恒艰大于零妥；副系话数可为蝴正，可践为负，城也可为景零。68§1系1-6对称蜡结构鄙的计颠算由第志九章爷力法秘中讨和论过萌的情袖况可储知，蒸作用裕于对称结饰构上的任意匀荷载，可涌以分兽解为对称炼荷载和反对称领荷载两部炒分分颈别计雨算。由在对就称荷柔载作仆用下拒，弯亡矩图佛、轴馆力图王及变田形图距是正坟对称脚的，烂而剪幼力图端是反日对称减的。觉在反星对称三荷载哨作用旺下，眯剪力焰图是优正对忧称的深，而葡弯矩聪图、音轴力职图及厨变形聋图是春反对封称的佩。利用这袭些规则沸，计算晨对称连内续梁或接对称刚璃架时，桐我们只蹄需计算烫这些结艘构的半边结勾构就可以脑。这里锯对第九陈章讲的渗“半刚哨架”法呆做些相笛应的补剧充。一、半酒边结构园的取法1、奇数直跨69图11-24所示对目称结构唱，在对阴称荷载(图a)和反涂对称虾荷载(图c)作用阻下，油可取帝图b、d所示遗半边钩结构衰进行闪计算素。(a)qCABDE图11-24(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位居移法计培算时，鼠图b有一竟个基惊本未津知量，而图d有两个脏基本未幸知量。702、偶则数跨图11-25a所示震对称帜结构勺在对挽称荷撞载作孤用下膨，可拘取图b所示半政边结构诉进行计句算。(a)CDBAEFIq图11-25(b)CBAq图11-26a所示奇对称举结构箭在反个对称穗荷载田作用探下，浆在对瓶称轴名上，递柱CD没有轴点力和轴倦向位移劳，但是却有弯矩男和弯曲芬变形。(a)CDBAEFI2P2P图11-2671(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图11-26故图a可简化兽为图b所示的需结构，红中间两渴根分柱巡寿的抗弯诱刚度为觉原柱的贷一半。宣成为奇声数跨的康结构，按中间跨傻的跨度伴为零。(c)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此时俗的半咱边结碰构可攻如图c、d所示谨，有俘三个擦基本隆未知维量。呼中间拼柱CD的总失内力虫为两努根分隔柱内堡力之屡和，数即CD柱的总齐弯矩和兔总剪力佳为分柱朗弯矩和上剪力的袭两倍，刻总轴力崇为零。72二、举虹例确定图11-27中对浑称结挂构的肥基本隐未知艇量并川选取集半边王结构独。(a)CBPP图11-27(a)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(c)CBPP(c)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD73(d)PP图11-27(d