典型的代数系统

1典型的代数系统214.3几个典型的代数系统14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数3半群与独异点的定义与实例半群与独异点的幂运算半群与独异点的子代数和积代数半群与独异点的同态

半群与独异点4半群与独异点的定义定义设V=<S,∘>是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，那么称V为半群.设V=<S,∘>是半群，假设e∈S是关于运算的单位元，那么称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=<S,∘,e>.5实例例1(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是半群，+是普通加法,其中除<Z+,+>外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群和独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)<P(B),>，其中为集合的对称差运算.为半群，也是独异点.(4)<Zn,>,其中Zn={0,1,…,n1}，为模n加法.为半群，也是独异点.(5)<AA,∘>其中∘为函数的复合运算.为半群，也是独异点.(6)<R*,∘>其中R*为非零实数集合，∘运算定义如下：x,y∈R*,x∘y=y.为半群.6定义(1)在半群<S,∘>中，x∈S，规定：x1=x，xn+1=xn∘x,n∈Z+(2)在独异点<S,∘,e>中，x∈S，x0=e，xn+1=xn∘x，n∈N用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规那么：xn∘xm=xn+m，(xn)m=xnm，在半群中m,n∈Z+，在独异点中m,nN，半群与独异点的幂运算7半群与独异点的子代数定义半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点.判定方法：设V=<S,∘>是半群，TS，T非空，如果T对V中的运算∘封闭，那么<T,∘>是V的子半群.设V=<S,∘,e>是独异点，TS，T非空，如果T对V中的运算∘封闭，而且e∈T，那么<T,∘,e>构成V的子独异点.

8理由:是T的单位元，T本身可以构成独异点，但不是V2

的子独异点，因为V2的单位元是e.

实例例：设半群V1=<S,·>，独异点V2=<S,·,e>.其中·为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且

，那么TS，且T是V1=<S,·>的子半群，但不是子独异点。9半群与独异点的同态定义(1)设V1=<S1,∘>，V2=<S2,∗>是半群，f:S1→S2.假设对任意的x,y∈S1有f(x∘y)=f(x)∗f(y)那么称f为半群V1到V2的同态映射，简称同态.(2)设V1=<S1,∘,e1>，V2=<S2,∗,e2>是独异点，f:S1→S2.假设对任意的x,y∈S1有f(x∘y)=f(x)∗f(y)且f(e1)=e2,那么称f为独异点V1到V2的同态映射，简称同态.10实例那么f是半群V1=<S,·>的自同态，但不是独异点V2=<S,·,e>的自同态，因为f(e)e.

设半群V1=<S,·>，独异点V2=<S,·,e>.其中·为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且

令1114.3几个典型的代数系统14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数12群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群13群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群14群的定义与实例定义设<G,∘>是代数系统，∘为二元运算.如果∘运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x1∈G，那么称G为群.实例<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群；<Z+,+>和<N,+>不是群.<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群.<P(B),>是群，为对称差运算.<Zn,>，也是群.Zn={0,1,…,n1}，为模n加.15Klein四元群设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群

eabc

eabc

eabcaecbbceacbae运算表特征：对称性---运算可交换主对角线元素都是幺元

---每个元素是自己的逆元

a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.

16群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群17

群中的术语定义(1)假设群G是有穷集，那么称G是有限群，否那么为无限群.群G中的元素个数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|.(2)假设群G中的二元运算是可交换的，那么称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.

实例：(1)<Z,+>和<R,+>是无限群(2)<Zn,>是有限群，也是n阶群(3)Klein四元群是4阶群(4)n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法(1)(2)(3)都是交换群；(4)是非交换群.18【例】设<G,*>是群，那么<G,*>是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG,有(a*b)2=a2*b2。证明:(1)“〞设<G,*>是阿贝尔群，下证对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。对任意的a,bG，有a*b=b*a，因此，(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)也就是(a*b)2=a2*b2，得证。Abel群——实例19(2)“〞设对任意a,bG，有(a*b)2=a2*b2，下证<G,*>是阿贝尔群。a∗b=e*(a*b)*e=(a–1*a)*(a*b)*(b*b–1)=a–1∗(a∗(a*b)*b)*b–1=a–1*((a*a)*(b*b))*b–1=a–1∗((a*b)*(a*b))*b–1=(a–1∗a)*(b*a)*(b*b–1)=e*(b*a)*e=b*a即得a*b=b*a，因此群<G,*>是阿贝尔群。Abel群——实例20群中的术语(续)定义设G是群，x∈G，n∈Z，那么x的n次幂xn定义为实例在<Z3,>中有23=?(21)3=13=111=0

在<Z,+>中有

(2)3=?23=2+2+2=6

21定义14.17设G是群，x∈G，使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶〔或周期〕，记作|x|=k，称x为k阶元.假设不存在这样的正整数k，那么称x为无限阶元.

实例〔1〕在<Z6,>中，0,1,2,3,4,5分别是几阶元？2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元0是1阶元〔2〕在<Z,+>中，整数集合中元素分别是几阶元？0是1阶元，其它整数的阶都不存在，都是无限阶元.群中的术语(续)22【例】求证：群中不可能有零元。证明：(1)当群的阶为1时，唯一元素为幺元。(2)设|G|＞1且假设群<G,*>有零元θ。那么

xG，都有x∗θ=θ∗x=θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群相矛盾。【思考】写出群<N17−0,×17>中各元素的阶数。群——实例23群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群24群的性质---幂运算规那么定理14.3设G为群,那么G中的幂运算满足：(1)x∈G，(x1)1=x.(2)x,y∈G，(xy)1=y1x1.(3)x∈G，xnxm=xn+m，n,m∈Z.(4)x∈G，(xn)m=xnm，n,m∈Z.(5)假设G为交换群，那么(xy)n=xnyn.证：(1)(x1)1是x1的逆元，x也是x1的逆元.根据逆元的唯一性，等式得证.(2)(y1x1)(xy)=y1(x1x)y=y1y=e,同理(xy)(y1x1)=e，故y1x1是xy的逆元.根据逆元的唯一性等式得证.25

等式(5)只对交换群成立.如果G是非交换群，那么

群的性质---幂运算规那么(续)说明：

(3)(4)(5)的证明：用数学归纳法证明对于自然数n和m证等式为真，然后讨论n或m为负数的情况.(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况，即

26群的性质---群方程存在唯一解定理

G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解.

证：(1)存在性：a1b代入方程左边的x得

a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.(2)下面证明唯一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有

c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b同理可证ba1

是方程ya=b的唯一解.例设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差.群方程

{a}X=，Y{a,b}={b}的解X={a}1={a}={a}，

Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}27群的性质---消去律定理G为群，那么G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G有(1)假设ab=ac，那么b=c.(2)假设ba=ca，那么b=c.证(1)ab=aca1(ab)=a1(ac)(a1a)b=(a1a)cb=c(2)同理可证.例1设G={a1,a2,…,an}是n阶群，令aiG={aiaj|j=1,2,…,n}证明aiG=G.证:由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即|aiG|<n.必有aj,ak∈G使得aiaj=aiak〔j≠k〕由消去律得aj=ak,与|G|=n矛盾.28群中元素阶的性质定理14.6G为群，a∈G且|a|=r.设k是整数，那么

(1)ak=e当且仅当r|k

(2)|a1|=|a|证(1)充分性.由r|k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ar)m=em=e.必要性.〔反证法〕根据除法，存在整数m和i使得k=mr+i,0<i≤r1从而有e=ak=amr+i=(ar)mai=eai=ai因为|a|=r，必有i=0.这就证明了r|k.(2)由(a1)r=(ar)1=e1=e,可知a1的阶存在.令|a1|=t，根据上面的证明有t|r.a又是a1的逆元，所以r|t.从而证明了r=t，即|a1|=|a|.29群性质的应用例2证明单位元为群中唯一幂等元.证设G为群.首先证存在性：显然ee=e；再证唯一性：设a为G中幂等元.那么aa=a，从而得到aa=ae.根据消去律得a=e.例3设G为群，如果aG都有a2=e,证明G为Abel群.证a2=ea=a1任取x,yG，xy=(xy)1=y1x1=yx因此G为Abel群.30群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群31子群的定义定义14.18设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，那么称H是G的子群,记作H≤G.假设H是G的子群，且HG，那么称H是G的真子群，记作H<G.

实例nZ〔n是自然数〕是整数加群<Z,+>的子群.当n≠1时,nZ是Z的真子群.对任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.

32子群判定定理判定定理一定理设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab∈H，a∈H有a1∈H.

证：必要性显然，只证充分性.由于H非空，存在a属于H,因此有a1属于H.根据必有aa1属于H,即e属于H.H满足子群定义.实例：求证nZ是整数加群<Z,+>的子群.证明：显然nZ是Z的非空子集.因为n属于nZ.nk,nl∈nZ,有封闭性：nk+nl=n(k+l)，n(k+l)nZ，逆元存在：nknZ根据判定定理，nZ是整数加群的子群.33子群判定定理(续)判定定理二定理设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab1∈H.

证明：只证充分性.由于H非空，必有x∈H.由有xx1∈H，从而得到e∈H.任取H中元素a,由e,a∈H得ea1∈H，即a1∈H.任取a,b∈H,必有b1∈H，从而得到a(b1)1∈H，即ab∈H.根据判定定理一得证.34判定定理三定理设G,*>是群，A是G的非空子集，如果A是一个有限集，只要运算*在A上封闭，那么<A,*>是G,*>的子群。证明：G,*是群，那么G,*是半群，A,*是半群。以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆元。⑴证明A中有幺元e。子群判定定理(续)

bA，因为运算*在A上封闭，所以

b2=b*bAb3=b2*bA

…

35由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设i＜j，使得bi=bj

从而有bi=bi*bj–i和bi=bj–i*bi

根据群中的消去律得bj–i=e，即bj–i是群G,*的幺元。且这个幺元也在G的非空子集A中。⑵证明S中每一个元素都有逆元。如果j–i＞1，那么bj–i=b*bj–i–1和bj–i=bj–i–1*b，即bj–i–1是b的逆元，b–1=bj–i–1且bj–i–1A。如果j–i=1，b=bj–i，那么b是幺元。所以b–1=b。子群判定定理(续)36解:作N6=0,1,2,3,4,5上模6加法＋6的运算表，如表1所示。取N6的子集S1=0,2,4和S2=0,3，它们的运算表是表2和表3。从表中可以看出,模6加法＋6在S1和S2上封闭。所以<S1,＋6>和<S2,＋6>是群<N6,＋6>的子群。表1+6012345001234511234502234501334501244501235501234表2+603003330表3+6024002422404402【例】求群<N6,＋6>的所有非平凡子群。37重要子群的实例生成子群定义设G为群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，那么H是G的子群，称为由a生成的子群，记作<a>.证：首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，那么

am(al)1=amal=aml∈<a>根据判定定理可知<a>≤G.实例：(1)整数加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z(2)群<Z6,>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}(3)Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.38群G的中心C：设G为群,C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，那么C是G的子群，称为G的中心.证:e∈C.C是G的非空子集.

任取a,b∈C，只需证明ab1与G中所有的元素都可交换.x∈G，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1

=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理可知C≤G。得证。注明:(1)对于阿贝尔群G，G的中心就等于G.(2)对某些非交换群G，它的中心是{e}.重要子群的实例(续)39子群格定义设G为群，令S={H|HG}是G的所有子群的集合，定义S上的偏序≼，x,yS,x≼yxy，那么<S,≼>构成格，称为G的子群格.实例Klein四元群G和<Z6,>的子群格如以下图所示<3><2><1><0>40子群习题1、设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群。证明<H∩K,*>也是<G,*>的子群。2、设E是所有偶数组成的集合，证明<E,+>是<Z,+>的子群。3、设<G,*>是群，<A,*>和<B,*>是<G,*>的子群，令AB=a*b|aA,bB，BA=b*a|aA,bB那么<AB,*>是<G,*>的子群当且仅当AB=BA。41群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群42群同态的定义与分类定义设G1,G2是群，f:G1→G2，假设a,b∈G1都有f(ab)=f(a)f(b)那么称f是群G1到G2的同态映射，简称同态.如果同态f为单射函数，那么称为单同态;如果是满射函数，那么称为满同态，记作G1G2;如果是双射函数，那么称为同构，记作G1G2.43群同态的实例例4(1)G1=<Z,+>是整数加群，G2=<Zn,>是模n的整数加群.令f:Z→Zn，f(x)=xmodn，f是G1到G2的满同态.x,y∈Zf(x+y)=(x+y)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)(2)设G=<Zn,>是模n整数加群，可以证明恰有n个G的自同态，即fp:Zn→Zn,

fp(x)=(px)modn，p=0,1,…,n1(3)设G1,G2是群，e2是G2的单位元.f:G1→G2，f(a)=e2，a∈G1.那么f是G1到G2的同态，称为零同态.a,b∈G1有

f(ab)=e2=e2e2=f(a)f(b)(4)G为群，a∈G.令f:G→G,f(x)=axa1，x∈G那么f是G的自同构，称为G的内自同构.44群同态的性质【例】设f是群G1到G2的同态映射，那么(1)f(e1)=e2,e1和e2分别是G1和G2的单位元(2)xG1，f(x1)=f(x)1(3)设HG1,那么f(H)G2证明:(1)f(e1)f(e1)=f(e1e1)=f(e1)=f(e1)e2f(e1)=e2(2)f(x)f(x1)=f(xx1)=f(e1)=e2f(x-1)f(x)=f(x1x)=f(e1)=e2(3)e2f(H),f(H).a,bf(H),x,yH,使得f(x)=a,f(y)=bab1=f(x)f(y)1=f(xy1)xy1Hf(xy1)f(H)ab1f(H)45例题例5

给出Klein四元群上所有的自同态解G={e,a,b,c}，因为同态f

满足f(e)=e，因此只可能有以下6个双射函数可能是同态映射:

f1(a)=b,f1(b)=a,f1(c)=c;

f2(a)=c,f2(b)=b,f2(c)=a;

f3(a)=a,f3(b)=c,f3(c)=b;

f4(a)=b,f4(b)=c,f4(c)=a;f5(a)=c,f5(b)=a,f5(c)=b;

f6=IG，这六个函数都是双射，只需验证它们都是G上的同态映射.请自己验证。f(x)eabcf1ebacf2ecbaf3eacbf4ebcaf5ecabf6eabc4646例题例6

设G1=<Q*,>,G2=<Q,+>,证明不存在G1到G2的同态.证：假设存在G1到G2的同态f,那么f(1)=0.因此

f(1)+f(1)=f((1)(1))=f(1)=0

f(1)=0与f的双射性矛盾.

47群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群48循环群的定义定义设G是群，假设存在a∈G使得

G={ak|k∈Z}那么称G是循环群，记作G=<a>，称a为G的生成元.

实例整数加群G=<Z,+>=<1>=<1>模6加群G=<Z6,>=<1>=<5>49循环群的分类设循环群G=<a>，根据生成元a的阶可以分成两类：n阶循环群和无限循环群.设G=<a>是循环群，假设a是n阶元，那么

G={a0=e,a1,a2,…,an1}那么|G|=n，称G为n阶循环群.假设a是无限阶元，那么

G={a±0=e,a±1,a±2,…}这时称G为无限循环群.

50循环群的生成元定理14.9设G=<a>是循环群.

(1)假设G是无限循环群，那么G只有两个生成元，即a和a1.

(2)假设G是n阶循环群，那么G含有(n)个生成元.对于任何小于n且与n互质的自然数r,ar是G的生成元.(n)为欧拉函数,表示{0,1,…,n1}中与n互素的整数个数.实例(18)=6，与18互素的正整数为1,5,7,11,13,17.51例7(1)设G={e,a,…,a11}是12阶循环群，那么(12)=4.小于或等于12且与12互素的数是1,5,7,11,由定理可知a,a5,a7和a11是G的生成元.(2)设G=<Z9,>是模9的整数加群，那么(9)=6.小于9且与9互素的数是1,2,4,5,7,8.根据定理，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)设G=3Z={3z|z∈Z},G上的运算是普通加法.那么G只有两个生成元：3和3.循环群的生成元(续)52循环群的子群定理设G=<a>是循环群，那么

(1)G的子群仍是循环群.(2)假设G=<a>是无限循环群，那么G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3)假设G=<a>是n阶循环群，那么对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群.

53例8

(1)G=<Z,+>是无限循环群，对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z<m>={mz|z∈Z

}=mZ，m>0(2)G=Z12是12阶循环群.12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是：

1阶子群<12>=<0>={0}2阶子群<6>={0,6}3阶子群<4>={0,4,8}4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}12阶子群<1>=Z12

循环群的子群(续)54循环群的实例例9

任何循环群必定是阿贝尔群。证明：设G,*是循环群，它的生成元是a，

那么对于x,yG，必有r,sI，使得x=ar,y=as而

x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此G,*是阿贝尔群。

55循环群的实例例10设G,*是无限循环群，a是生成元，那么a也是无限阶元素。证明：设a为有限阶元，|a|=n，令S=a,a2,…,an，an=e，amG，m=nq＋s，q,s是整数且0≤s＜n，am=anqs=(an)q*as=(e)q*as=e*as=asS，GS，矛盾。所以a是无限阶的。

56循环群的实例例11设G,*是循环群，a是生成元．假设H,*是G,*的子群。那么H,*也是循环群。证明：(1)假设H,*是G,*的平凡子群，那么H=G或H=e，显然H,*是循环群。(2)假设H,*不是G,*的平凡子群。由于H不空，akH，k≠0(即ak≠e)，(ak)–1H。从而H含有a的某些正整数次幂，令A=k|akH∧k≥1∧kI，那么A不空，从而有最小者，设最小者为r。以下证明ar是子群H,*的生成元。amH，如果r不能整除m，那么m=rq＋s，q是整数，0＜s＜r，am=arqs=(ar)q*as，as=((ar)q)–1*amH，sA。但s＜r，这与r是A中最小者矛盾。此矛盾说明，amH，r能整除m，即am=arq=(ar)q，所以ar是子群H,*的生成元，H,*也是循环群。

57群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群58n元置换的定义定义14.21设S={1,2,…,n},S上的双射函数:S→S称为S上的n元置换.一般将n元置换记为

例如S={1,2,3,4,5},那么

都是5元置换.59n元置换的定义由于是双射，

(a1),(a2),…,(an)都是S的元素且互不相同。因此

(a1),(a2),…,(an)必为a1,a2,…,an的一个排列。而a1,a2,…,an的排列总数是n个，因此集合S上的n元置换有n个。设S=a1,a2…,an，集合S上的所有n元置换组成的集合记为Sn。600=

1=

2=

3=4=

5=S3=0,1,2,3,4,5

n元置换的实例例12设S=1,2,3，试求集合S上的所有3元置换和S3

解：S上的6个3元置换为：61k阶轮换与对换定义设σ是S={1,2,…,n}上的n元置换.假设

σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其他元素不变，那么称σ为S上的k阶轮换，记作(i1i2…ik).假设k=2，称σ为S上的对换.例如5元置换

分别是4阶和2阶轮换σ=(1234),τ=(13),其中τ也叫做对换62例13

设S={1,2,…,8},

从σ中分解出来的第一个轮换式(15236)；第二个轮换为(4)；第三个轮换为(78).σ的轮换表示式

σ=(15236)(4)(78)=(15236)(78)用同样的方法可以得到τ的分解式

τ=(18342)(567)注意：在轮换分解式中，1阶轮换可以省略.n元置换分解为轮换63分解成对换任何n元置换可以分解成对换的乘积,因为任何轮换都可以表示成对换乘积.一种可行的表示方法是：

(i1i2…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik)例如64奇置换与偶置换注意：轮换分解中的轮换是可以交换的，且分解式是唯一的对换分解中的对换不能交换，分解式也不是唯一的，是分解式含有对换个数的奇偶性不变.如果一个n元置换在它的对换表示式含有偶数个对换，称为偶置换，否那么称为奇置换.使用一一对应的思想可以知道奇置换和偶置换的个数都是n!/2.65n元置换的乘法与求逆两个n元置换的乘法就是函数的复合运算n

元置换的求逆就是求反函数.例14

设

使用轮换表示是：

=(154)(23)(1423)=(152)=(1423)(154)(23)=(354)

1=(154)1(23)1=(451)(23)=(14