2022年安徽省池州市石台中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年安徽省池州市石台中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.设，则二项式展开式中的项的系数为（

）

A.

B.

20

C.

D.

160参考答案：C3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则B=（）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对参考答案：C4.复数的实部与虚部的和为1，则实数a的值为（）

（A）1

（B）2

（C）l

（D）2参考答案：A5.集合，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由题意，，则，所以，解得．故选A．考点：椭圆的几何性质．7.等差数列的前n项和为，，则__________.A．

B．

C． D．参考答案：B8.已知命题p：?x∈R，cosx≥a，下列的取值能使“￢p”命题是真命题的是（）A．a∈RB．a=2C．a=1D．a=0参考答案：C考点：命题的否定．专题：概率与统计．分析：写出命题的否定形式，然后判断选项即可．解答：解：命题p：?x∈R，cosx≥a，则￢p，?x∈R，cosx＜a，能使“￢p”命题是真命题，由余弦函数的值域可知，cosx≤1，故选项C成立．故选：C．点评：本题考查特称命题的真假的判断与应用，三角函数的值域的应用，基本知识的考查．9.下列说法正确的是(

).

A.命题“使得”的否定是：“”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题p：“”，则p是真命题D.“”是“在上为增函数”的充要条件参考答案：D略10.若a>b>0，0<c<1，则（A）logac<logbc（B）logca<logcb（C）ac<bc（D）ca>cb参考答案：B试题分析：对于选项A：logac=，logbc=，因为0<c<1，所以lgc＜0，而a>b>0，所以lga＞lgb，而不能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定。对于选项B：logca=，logcb=，lga＞lgb，两边同乘以一个负数不等号方向改变，B正确。对于选项C：利用y=xc在第一象限内是增函数即可得ac＞bc，C错误。对于选项D：利用y=cx在R上为减函数易得ca＜cb，D错误。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是_________.参考答案：7312.已知函数，若关于的方程有两个不同零点，则的取值范围是_____________．参考答案：(0,1)作出的函数图象如图所示：方程有两个不同零点，即y=k和的图象有两个交点，由图可得k的取值范围是(0,1)，故答案为(0,1).

13.设定义在上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数的取值范围是

．参考答案：（1，2）14.已知函数，则 ;参考答案：，.15.设，且，则

；参考答案：略16.某程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出的结果是

．参考答案：127略17.若复数z满足，其中i为虚数单位，则_____．参考答案：【分析】先求出，则。【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．【解答】解：由＝﹣i，得，∴．故答案为：1﹣i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆过点，离心率，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直接把给出的点的坐标代入椭圆方程，结合离心率及隐含条件a2=b2+c2联立方程组求解a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设出A，B的坐标，根据新定义得到P，Q的坐标，当斜率存在时设出直线方程y=kx+m，联立直线和椭圆方程后利用根与系数关系求得x1+x2，x1x2，再由以PQ为直径的圆过原点得到A，B的坐标之间的关系3x1x2+4y1y2=0，转化为横坐标的关系后代入x1+x2，x1x2，即可把直线的斜率用截距表示，然后利用弦长公式求出AB的长度，用点到直线的距离公式求出O点到AB的距离，利用整体运算就能求得三角形OAB的面积，斜率不存在时直线方程可直接设为x=m，和椭圆方程联立求出y2，同样代入3x1x2+4y1y2=0后可直接求出m的值，则三角形面积可求．解答：解：（1）由已知得：，即，解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则1°当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m联立得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0．则有△=（8km）2﹣4（3+4k2）×4（m2﹣3）=48（3+4k2﹣m2）＞0①由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：，即3x1x2+4y1y2=0?把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入整理得：

②将①式代入②式得：3+4k2=2m2，∵3+4k2＞0，∴m2＞0，则△=48m2＞0．又点O到直线y=kx+m的距离．∴==

所以2°当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）联立椭圆方程得：代入3x1x2+4y1y2=0得到，即，y=．综上：△OAB的面积是定值．又，所以二者相等．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合，考查了弦长公式的用法，训练了直线和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法，体现了整体运算思想，训练了学生的计算能力，该题是有一定难度问题．19.已知曲线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．参考答案：（1），；（2）．（1）曲线（为参数），消去参数可得．曲线的极坐标方程为．化为，它的普通方程为．（2）设为曲线上的点，点的极坐标为，的直角坐标为，设，故，中点到曲线的距离为（其中），当，时，中点到曲线上的点的距离最小值为．20.设P、Q、R、S是椭圆C1：（a＞b＞0）的四个顶点，四边形PQRS是圆C0：x2+y2=的外切平行四边形，其面积为12．椭圆C1的内接△ABC的重心（三条中线的交点）为坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得关于a，b的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，直接求出|AB|=，C到直线AB的距离d=，可得△ABC的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0可得k与m的关系，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积，由O为△ABC的重心求得C的坐标把C点坐标代入椭圆方程，可得4m2=12k2+9．由弦长公式求得|AB|，再求出点C到直线AB的距离d，代入三角形面积公式整理得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形PQRS是圆C0外切平行四边形，∴，又四边形PQRS的面积S=，联立解得a2=12，b2=9，故所求椭圆C1的方程为；（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，∵O为△ABC的重心，∴C为椭圆的左、右顶点，不妨设C（，0），则直线AB的方程为x=，可得|AB|=，C到直线AB的距离d=，∴=．当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣36）=48（12k2+9﹣m2）＞0．即12k2+9＞m2，，，∴．∵O为△ABC的重心，∴，∵C点在椭圆C1上，故有，化简得4m2=12k2+9．∴=．又点C到直线AB的距离d=（d是原点到AB距离的3倍得到）．∴=．综上可得，△ABC的面积为定值．21.（2017?乐山二模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立

…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…（9分）设面DAE的法向量为，，即，∴，…（10分）设面ABE的法向量为，，即，∴，∴