2022-2023学年山西省朔州市臧寨中学高二数学理模拟试题含解析

2022-2023学年山西省朔州市臧寨中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆2x2+3y2=6的焦距是(

)A．2 B．2（﹣） C．2 D．2（+）参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．【解答】解：椭圆2x2+3y2=6可化为，∴c==1，∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题．2.设椭圆的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)

（

）A．必在圆x2＋y2＝2内

B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外

D．以上三种情形都有可能参考答案：A略3.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如图所示，则该函数的图像大致是（

）参考答案：B4.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（

）A.

B.C.

D.参考答案：D5.下面几种推理过程是演绎推理的是

()A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式参考答案：A略6.函数f（x）=（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）=logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）=logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．7.用秦九韶算法求n次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（

）A．

B．n,2n,n

C．0,2n,n

D．0,n,n参考答案：D8.如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（

）

A．11

B．9

C．12

D．10参考答案：C9.直线与圆相切，则实数的值为

（

）A.

B.或

C.或

D.参考答案：B10.“”是“”的

（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是．参考答案：（29，210）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）12.已知向量，向量，（其中，，，）．定义：．若，，则__________；若，则__________，__________（写出一组满足此条件的和即可）．参考答案： （）令，，，，∴，,．（）∵，∴，①又∵，，∴，∴，，，，∴，，，是方程组①的一组解，∴，．13.已知,则的最小值是

.参考答案：略14.一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2．则样本在区间（－∞，50）上的频率为_▲_．参考答案：0.715.已知样本7，5，x，3，4的平均数是5，则此样本的方差为

．参考答案：2【考点】极差、方差与标准差．【分析】运用平均数的公式：解出x的值，再代入方差的公式中计算得出方差．【解答】解：∵样本7，5，x，3，4的平均数是5，∴7+5+x+3+4=5×5=25；解得x=6，方差s2=[（7﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2]=（4+1+4+1）=．故答案为：2．16.抛物线与直线所围成平面图形的面积为__________.参考答案：略17.设命题p：c2＜c和命题q：对?x∈R，x2+4cx+1＞0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是

．参考答案：【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】通过解二次不等式求出p真的c的范围，通过解二次不等式恒成立求出q真时c的范围；再分类讨论求出c的范围．【解答】解：若p真则有0＜c＜1若q真则有△=16c2﹣4＜0得∵p和q有且仅有一个成立∴当p真q假时有∴当p假q真有∴故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）． （1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值． （2）由题意得：令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围． 【解答】解：（1）当时，，； 对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数， ∴，． （2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x） 令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立， 且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立， ∵ 1）若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，， 当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0， 此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意； 当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意； 2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0， 从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数； 要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足， 所以≤a≤． 又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数， h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤ 综合可知a的范围是[，]． 【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一． 19.设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n＞1时，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，所以an=．（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，当n＞1时，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得Tn=﹣．20.设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：x3－24y－20－4(Ⅰ)求曲线C1，C2的标准方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且·＝0，请问是否存在直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：略21.已知函数f（x）=x3+ax2﹣3x（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[﹣a，1]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导函数f′（x），通过f（x）在[1，+∞）上是增函数，得到f′（x）≥0．即可求出a的范围．（2）由f′（）=0，求出a，然后求出极值点，求出极值以及端点函数值，即可得到最大值．（3）两个函数图象恰有3个交点，转化为方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．利用判别式以及根的分布求解即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0．∴﹣≤1且f′（1）=2a≥0．∴a≥0．（2）由题意知f′（）=0，即+﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3+4x2﹣3x．令f′（x）=3x2+8x﹣3=0得x=或x=﹣3．∵f（﹣4）=12，f（﹣3）=18，f（）=﹣，f（1）=2，∴f（x）在[﹣a，1]上的最大值是f（﹣3）=18．（3）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．∵x=0是其中一个根，∴方程x2+4x﹣（3+b）=0有两个非零不等实根．∴，∴b＞﹣7且b≠﹣3．∴满足条件的b存在，其取值范围是（﹣7，﹣3）∪（﹣3，+∞）．22.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书

者年龄在[30,40)的人数X的分布列及数学期