2022-2023学年北京新街口中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年北京新街口中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如下程序框图输出的结果是，则判断框内应填入的条件是

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知全集，集合，集合，则集合的子集数为（

）A、2

B、4

C、8

D、16参考答案：C略3.设0＜α＜π，且sin（α+）=，则tan（α+）的值是（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意求得∈（，），再利用同角三角函数的基本关系，求得tan（）的值．【解答】解：∵0＜α＜π，且sin（）=∈（，），∴∈（，），∴cos（）=﹣=﹣，则tan（）==﹣，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．4.已知函数,,则的值为(

)A.1

B.0 C.-1

D.-2参考答案：B5.数列为各项为正数的等比数列，且已知函数，则A、﹣6

B、﹣21

C、﹣12

D、21参考答案：B略6.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为（）A．

-1B．

-2C．

2

D．

1参考答案：B7.复数z=i2(1+i)的虚部为（

）A．1

B．i

C．–1

D．–i参考答案：C略8.三个数，，的大小顺序是

A．

B．C．

D．参考答案：D9.设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（

）A.是偶函数

B.最小正周期为πC.图象关于点对称 D.在区间上是增函数参考答案：D略10.

如图1所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是A.

B.

C.

D.

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若在直线上存在点，到点与到点的距离之差为，则实数的取值范围为

.参考答案：略12.设命题，函数有零点，则

参考答案：13.（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标系方程为，直线的参数方程为（为参数），则与的交点A的直角坐标是

.参考答案：试题分析：由题意得，，，由参数方程得，联立，得，与的交点A的直角坐标是.考点：参数方程和极坐标方程的应用.14.已知函数f（x）＝lnx－ax的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数a的值为___________.参考答案：3试题分析：因为在处的导数值为在处切线的斜率，又因为，所以考点：利用导数求切线.15.在中，，则____________.参考答案：.16.已知平面向量，，，满足++=，且与的夹角为135°且与的夹角为120°，||=2，则||=

．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设=（m，0），由与的夹角为135°且与的夹角为120°，||=2，可取=，=r.=，利用++=，即可得出．解答： 解：设=（m，0），∵与的夹角为135°且与的夹角为120°，||=2，∴=，=r．=，∵++=，∴=0，解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的正交分解、向量的模的计算公式、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月

份1234用水量4.5432.5由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是__________________________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,多面体中,四边形是菱形,,,相交于,∥,点在平面上的射影恰好是线段的中点．(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值．参考答案：(Ⅰ)取AO的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABCD,因为BD在平面ABCD内,所以EH⊥BD.又菱形ABCD中,AC⊥BD且EH∩AC=H,EH,AC在平面EACF内所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,以H为原点,如图所示建立空间直角坐标系H-xyz因为EH⊥平面ABCD,所以∠EAH为AE与平面ABCD所成的角,即∠EAH＝45°；又菱形ABCD的边长为4,则===.各点坐标分别为,E(0,0,),易知为平面ABCD的一个法向量,记n=,=,

=,因为EF//AC,

所以,设平面DEF的一个法向量为

(注意：此处),即＝,令,则,所以所以==,平面DEF与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.本题考查线面垂直,空间向量的应用.(Ⅰ)作辅助线,证得EH⊥BD,AC⊥BD，所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.(Ⅱ)建立恰当的空间直角坐标系,∠EAH＝45°为AE与平面ABCD所成的角；求得平面ABCD的一个法向量n=,面DEF的一个法向量

所以==,面DEF与面ABCD所成角的余弦值为.19.（已知函数，且，

（1）求的值；

（2）若，，求.参考答案：20.已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集非空，求t的取值范围.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用零点分段法去绝对值，将化为分段函数的形式，由此求得不等的解集.（Ⅱ）将原不等式的解集非空，转化为，构造函数，利用（I）求得分段函数的表达式，根据二次函数的性质，求得，由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ），所以时，或，所以或.不等式的解集为；（Ⅱ）不等式的解集非空，原不等式等价于存在，使成立，即，设，由（Ⅰ）知，当时，其开口向下，对称轴，∴，当时，其开口向下，对称轴为，∴，当时，其开口向下，对称轴为，∴.综上，，，∴的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法求解含有绝对值的不等式，考查分离常数法求解参数的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.已知函数=|x+1|?|2x?1|。（1）求不等式≥0的解集；（2）若不等式<a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围。参考答案：(1);(2).试题分析：(1)由不等式变形得，两边平方去绝对值化为二次不等式解之即可；(2)用零点将实数分区间去掉绝对值把函数写成分段函数的形式，由函数的单调性可求函数的最大值为，由即可求的范围.试题解析：（1）

解得：，所以的解集为（2）因为，

易知在单调递增，在上单调递减，所以

所以考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值的函数的最值；3.函数与不等式.22.已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：x（﹣∞，0）0f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为…（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式在x∈[1，2]上有解，…设，∵对x∈[1，2]恒成立，∴在x∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4，∴2a≤4，即a≤2…（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为，①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点…②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点…③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．当0＜x≤x0时，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数，又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0