湖南省湘潭市长丰中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省湘潭市长丰中学2022年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列满足：，为求使不等式的最大正整数，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B2.设命题p：?x＜0，x2≥1，则?p为（）A．?x≥0，x2＜1 B．?x＜0，x2＜1 C．?x≥0，x2＜1 D．?x＜0，x2＜1参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，∴?p：?x∈R，都有x2＜1．故选：B．3.已知函数是自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由已知，得到方程即在[，e]上有解，构造函数，求出它的值域，即可得到a的范围．【详解】根据题意，若函数（，是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，即，即方程在区间上有解，设函数，其导数，又，在有唯一的极值点，分析可得：当时，，为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值，又由，，比较得，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为；若方程在区间上有解，必有，则有，即的取值范围是.故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题．4.复数等于（

）

A．l

B．-1

C．i

D．-i参考答案：C5.函数的大致图象为（

）A.B.C.D.

参考答案：C6.项数为n的数列a1，a2，a3，…，an的前k项和为Sk(k＝1,2,3，…，n)，定义为该项数列的“凯森和”，如果项数为99项的数列a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为()A．991

B．1001

C．1090

D．1100参考答案：C略7.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是（

） A、0

B、1 C、2

D、4参考答案：C略8.函数的值域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知数列是等比数列，且的值为

（

）

A．1

B．-1

C．

D．

参考答案：B略10.已知角的终边经过点，且，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正实数，满足，则的最小值是

．参考答案：．因为，，所以，即，求得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．又，即，所以．故填．【解题探究】本题考查二元均值不等式的应用．首先由条件得到，再对展开求出其最小值．12.在等比数列{an}中，an＞0(n∈N﹡),且,,则{an}的前6项和是 .参考答案：63在等比数列中，，所以，又，所以，，所以.13.则关于x的不等式：的解集是_______________.

参考答案：略14.设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为

．参考答案：[0°，90°]∪[120°，180°）略15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集为

．参考答案：（﹣5，0）∪（5，+∞）

【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2+4x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x），则f（x）=﹣x2﹣4x，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）＞x等价为x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0，得x＞5或x＜0，此时x＞5，当x＜0时，不等式f（x）＞x等价为﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0，得﹣5＜x＜0，当x=0时，不等式f（x）＞x等价为0＞0不成立，综上，不等式的解为x＞5或﹣5＜x＜0，故不等式的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．16.已知满足，且目标函数的最小值是5，则的最大值是____.参考答案：10略17.已知函数的图像如图所示，则它的解析式为_____

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足，，其中Sn为{an}的前n项和，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）（2）【分析】(1)运用数列的递推式，令n=1，求出第二项；再将n换为n-1，两式相减，化简即可得到所求通项公式；（2）由题意可得，代入即得，是一个等比数列与一个等差数列的和，分组求和即可.【详解】（1）.由，，当时，可得.当时，，两式相减得：，即，且.故是以1为首项，3为公比等比数列。所以（2）.由题意，所以.所以.【点睛】本题考查数列通项公式,数列的前n项和的求法，基础题.19.在等比数列{an}中,若，,（1）求{an}的通项公式an；（2）若{an}满足，设数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.参考答案：解(1)设公比为q，则

………………3分当时,;当时,综上，

………………6分(2),

.…………………8分是首项为,公差为1的等差数列，由，得，

………………10分当时,

.………………12分20.：方程在[－1，1]上有解；：只有一个实数满足不等式；求使得“p或q”是假命题的实数a的取值范围。参考答案：略21.（本小题满分16分）设，，函数，（1）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；（2）若对任意，都有成立，试求时，的值域；（3）设

，求的最小值．参考答案：（本题满分16分）解：（1），因为，二次函数图像开口向上，且恒成立，故图像始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标，当且仅当：，

…4分解得：

…5分

（2）对任意都有，所以图像关于直线对称，所以，得．

………………7分所以为上减函数．

；．故时，值域为．

……………9分

（3）令，则（i）当时，，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．若，则函数在上的最小值为，且．

………………12分（ii）当时，函数若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．…15分综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为．

………………16分略22.设函数f（x）=alnx+bx2，其中实数a，b为常数．（Ⅰ）已知曲线y=f（x）在x=1处取得极值．①求a，b的值；②证明：f（x）＞；（Ⅱ）当b=时，若方程f（x）=（a+1）x恰有两个不同的解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）①求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；②求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出f（x）的最小值，令g（x）=，求出g（x）的最大值，证明结论即可；（Ⅱ）根据方程x2﹣（a+1）x+alnx=0在（0，+∞）上恰有2个解，令g（x）=x2﹣（a+1）x+alnx，其中x∈（0，+∞），求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）①f′（x）=+2bx，由题意得，解得；②f（x）=﹣lnx+x2，f′（x）=﹣+x=，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的最小值是f（1）=，令g（x）=，g′（x）=，x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）的最大值是g（1）=，∵f（x）min＞g（x）max，故f（x）＞g（x），即f（x）＞成立；（Ⅱ）方程f（x）=（a+1）x恰有两个不同的解，即方程x2﹣（a+1）x+alnx=0在（0，+∞）上恰有2个解，令g（x）=x2﹣（a+1）x+alnx，其中x∈（0，+∞），g′（x）=x﹣（a+1）+=，（1）a＜0时，g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∵有2个零点，故g（1）＜0，即﹣＜a＜0，（2）a=0时，g（x