chap02-图像正交变换

数字图像处理第三章图像的正交变换第3章图像的正交变换3.1图像变换基本概念目的、要求和应用；3.2傅立叶变换；3.3图像的傅里叶变换3.4通用公式3.5DCT3.6沃尔什哈达玛变换3.7小波变换；3.8K-L变换图像正交变换3.1图像变换的基本概念为何引入变换：能量保持，重新分配，能量集中；低频分量：图像的概貌；（大部分能量）高频分量：边缘轮廓部分；（少部分能量）便于分析处理；图像压缩编码、滤波增强、复原、特征提取及纹理分析等；图像正交变换为何引入变换？3.1图像变换的基本概念图像信号的频域模型图像正交变换图像处理中引入变换的处理方法及要求；时域信号变换到频域，处理，后再回到时域；正交变换是可逆的；变换算法不可过于复杂，有快速算法；如：傅立叶变换、离散余弦变换DCT等；3.1

图像变换的基本概念图像正交变换3.2傅立叶变换傅里叶变换；一维、二维连续傅里叶变换；一维、二维离散傅里叶变换；图像正交变换令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换用F(u)表示；已知F(u)，由傅立叶反变换求f(x)；3.2傅立叶变换3.2.1一维连续傅里叶变换图像正交变换傅立叶变换F(u)通常是复函数；3.2

傅立叶变换3.2.1一维连续傅里叶变换图像正交变换如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的；

二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为

3.2傅立叶变换3.2.2二维连续傅里叶变换

|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2

φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)]

E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)图像正交变换离散函数的傅立叶变换对连续函数进行抽样得到一个序列；3.2傅立叶变换3.2.3一维离散傅里叶变换图像正交变换一维离散函数的傅立叶变换式中：x，u=0，1，2，…,N－1。3.2傅立叶变换3.2.3一维离散傅里叶变换图像正交变换二维DFT式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。N为2的幂次。3.2傅立叶变换3.2.4二维离散傅里叶变换图像正交变换在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即N×N，则其傅立叶变换及其逆变换为：3.2傅立叶变换3.2.4二维离散傅里叶变换图像正交变换3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换1、共轭表示：对上式两边求共轭，得：因此，逆变换可以通过正变换求出：3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换2、可分离性：3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换其意义：一个二维傅立叶变换或反变换都可以分解为二步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换或反变换f(x,y)(0,0)N-1N-1xyF(x,v)(0,0)N-1N-1xvF(u,v)(0,0)N-1N-1vu行变换列变换二维傅立叶变换分离成两个一维变换行变换列变换2、可分离性——FFT算法WN0WN0WN0WN2-1-1-1-1WN0WN0WN0WN2-1-1-1-1WN0WN1WN3WN2-1-1-1-1X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(7)X(3)X(5)y(0)y(7)y(6)y(5)y(4)y(3)y(2)y(1)利用蝶形图构成的8点DFT的流程图3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换3旋转性平面直角坐标改写成极坐标形式：变量代换：旋转角度3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换旋转不变性；3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换4空间、频率平移性；在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频谱F(u,v)要乘上一个负的指数项在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的f(x,y)要乘上一个正的指数项3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换由于右式成立：即：当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变；反之，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y)在空域中也只发生相移，而幅值不变；3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质4平移性质图像正交变换在图像处理中，利用频率平移性质，常将F(u,v)的原点移到N×N频域方阵的中心；3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质4平移性质图像正交变换5线性性质：即：在空间比例尺度的展宽，相应于频域中比例尺度的压缩，其幅值也减少为原来的3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换6平均值性质：定义二维函数的平均值：u=0,v=0时：即：若求二维离散信号f(x,y)的平均值，只需算出相应的傅立叶变换F(u,v)在原点的值F(0,0)3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换7周期性：8共轭对称性：3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换9卷积定理；卷积前要进行周期延拓；3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换10相关定理；注意周期延拓；3.2

傅立叶变换3.2.5二维DFT的若干性质图像正交变换某个图像子块16×16的原始灰度数据；3.3

图像的傅立叶变换3.3.1一个实例图像正交变换子块傅立叶变换的系数分布；3.3

图像的傅立叶变换3.3.1一个实例图像正交变换图像傅立叶变换的特性统计特性；均值：直流分量F（0，0），,

即图像所有像素的平均亮度；方差与协方差：图像对均值偏差的程度；频谱特性；中心位置较亮，代表平均亮度；大部分分布在低频区，可据此进行压缩；细节、边界等反映在高频分量；3.3

图像的傅立叶变换3.3.1一个实例图像正交变换图像的傅立叶变换频谱图频谱的图象显示谱图象加深对图象的视觉理解，如一幅遥感图象受正弦网纹的干扰，从谱图象中可看出干扰的空间频率并有效去除。3.3

图像的傅立叶变换3.3.1一个实例图像正交变换频谱的频域移中；傅里叶变换以零点为中心，导致谱图像最亮点在图像的四周边角，为符合正常习惯，将F(u，v）的零点移到显示屏中央位置；3.3

图像的傅立叶变换3.3.1一个实例图像的傅立叶变换频谱图图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例624×424pixels图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例90×64pixels图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例图像正交变换搬移前搬移后3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.2图像的频谱图示例图像正交变换3.3

图像的傅立叶变换3.3.3应用示例图像正交变换傅立叶变换的低通滤波3.3

图像的傅立叶变换3.3.3应用示例图像正交变换傅立叶变换的高通滤波3.3

图像的傅立叶变换3.3.3应用示例图像正交变换基于Fourier变换的压缩示例3.3

图像的傅立叶变换3.3.3应用示例图像正交变换傅里叶变换

用于图像增强用傅里叶变换去除正弦波噪声示例

a)有栅格影响的原始图像b)傅里叶变换频谱图像3.3

图像的傅立叶变换3.3.3应用示例图像正交变换

c)增强纵轴上某一谱段的强度d)傅里叶反变换的结果

a)lena图b)lena图的频谱3.3

图像的傅立叶变换3.3.3应用示例傅里叶变换

用于图像增强图像正交变换3.4图像变换的通用公式通用公式：用统一的表达式来表征各种变换；两种方法表示：解析式形式；矩阵形式；图像正交变换解析式通用公式；正变换核A；逆变换核B；变换核为正交可分离的；分解成行和列两个变换核的乘；矩阵表示；其中B和A满足；3.4图像变换的通用公式图像正交变换傅立叶变换

通用公式表示变换核；二维变换可分离成两次的一维变换；3.4图像变换的通用公式图像正交变换3.5离散余弦变换DCT变换核为余弦函数；偶函数的傅立叶变换的虚部为0；DCT变换实为傅立叶变换的一个特例；图像正交变换一维离散余弦变换;3.5离散余弦变换DCT3.5.1一维DCT图像正交变换一维DCT归一化表示；3.5离散余弦变换DCT3.5.1一维DCT图像正交变换二维离散余弦变换；3.5离散余弦变换DCT3.5.2二维DCT图像正交变换二维DCT归一化表示（定义）；令f(x,y)为M×N的数字序列；3.5离散余弦变换DCT3.5.2二维DCT图像正交变换二维DCT可通过两次的一维DCT实现（可分离性）；DCT的快速算法；将N点的序列延拓成2N点序列；用FFT求2N点序列的离散傅里叶变换；由此得N点的DCT；3.5离散余弦变换DCT3.5.3DCT的计算图像正交变换N点f(x)的DCT；Re表示取实部；2N点fe(x)的DCT;即是2N点的DFT;计算余弦变换的步骤为：

1、把f(x)延拓成，长度为2N2、求的2N点FFT3、对u各项乘上对应的因子

4、取实部，并乘上因子

5、取F(u)的前N项，即维f(x)的余弦变换3.5离散余弦变换DCT3.5.3DCT的计算图像正交变换构成偶函数的图像矩阵；原图进行翻折；再进行傅立叶变换；即得DCT变换；3.5离散余弦变换DCT3.5.3图像的DCT图像正交变换图像正交变换图像的DCT频谱分布；主要的低频能量集中在左上角；越往右下方为高频成分；

原始图像其DCT的频谱图3.5离散余弦变换DCT3.5.3图像的DCT图像正交变换性质；余弦变换是实数、正交；离散余弦变换可由傅里叶变换的实部求得；对高度相关数据，DCT有非常好的能量紧凑性；对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT是K-L变换的最好近似；应用；在图像的变换编码中有着非常成功的应用；（JPEG/MPEG）离散余弦变换是傅里叶变换的实数部分，比傅里叶变换有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，离散余弦变换能将大多数的信息放到较少的系数上去，提高编码的效率；3.5离散余弦变换DCT3.5.3图像的DCT图像正交变换3.6沃尔什哈达玛变换沃尔什变换：变换核为沃尔什函数；沃尔什函数；完备正交函数，其值为+1和-1；多种排列方式；按照沃尔什排列（列率）；按照佩利排列（自然）；按照哈达玛排列（2n阶哈达玛矩阵）；3.6.1沃尔什变换图像正交变换一维离散沃尔什变换正变换；逆变换；正/反变换核；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.1沃尔什变换图像正交变换一维离散沃尔什变换N=2,4,8时的b值N值N=2p=1N=4p=2N=8p=3x值01012301234567x二进制0100011011000001010011100101110111b0(x)01010101010101b1(x)001100110011b2(x)000011113.6沃尔什哈达玛变换3.6.1沃尔什变换图像正交变换一维离散沃尔什变换N=2,4,8时的沃尔什变换核NN=2p=1N=4p=2N=8p=3xu010123012345670++++++++++++++1+-++--++++----2+-+-++--++--3+--+++----++4+-+-+-+-5+-+--+-+6+--++--+7+--+-++-3.6沃尔什哈达玛变换3.6.1沃尔什变换图像正交变换u=0u=3u=6u=5u=1u=2u=7u=43.6沃尔什哈达玛变换3.6.1沃尔什变换一维离散沃尔什变换图像正交变换例：求N=4时沃尔什变换。3.6沃尔什哈达玛变换3.6.1沃尔什变换图像正交变换二维沃尔什变换正/反变换核；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.1沃尔什变换图像正交变换一维哈达玛变换；正/反变换核；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.2哈达玛变换图像正交变换哈达玛变换核阵列当N＝8时，哈达玛核形成的阵列如图（全部省略了“1”）；哈达玛变换矩阵也是一个方阵，只包含＋1和－1两种矩阵元素，各行和各列之间彼此是正交的；哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，不同之处仅仅是行和列的次序不同；哈达玛变换的最大优点在于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以由低阶矩阵的克罗内克积求得；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.2哈达玛变换图像正交变换正/反变换核；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.2哈达玛变换二维图像正交变换哈达玛矩阵2n阶哈达玛矩阵；高阶的哈达玛矩阵可以由低阶的递推得到；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.2哈达玛变换图像正交变换沃尔什哈达玛变换；变换核采用哈达玛矩阵排列的沃尔什函数；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.3沃尔什哈达玛变换图像正交变换用矩阵表示；正变换；逆变换；图像为N*N方阵时，3.6沃尔什哈达玛变换3.6.3沃尔什哈达玛变换图像正交变换例子13.6沃尔什哈达玛变换3.6.3沃尔什哈达玛变换图像正交变换例子23.6沃尔什哈达玛变换3.6.3沃尔什哈达玛变换图像正交变换一幅数字图像的二维WHT3.6沃尔什哈达玛变换3.6.3沃尔什哈达玛变换图像正交变换沃尔什哈达玛变换；具有存储空间少，运算速度高，便于实时运算的特点；二维WHT具有能量集中的特性；原始数据越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角；3.6沃尔什哈达玛变换3.6.3沃尔什哈达玛变换图像正交变换傅立叶变换缺点：恒分辨率分析，不灵活；目的：提供可变时－频窗，灵活分析信号细节；频率高：窄时间窗，提高时间分辨率以分辨信号的高频细节；频率低：宽时间窗，来充分分析信号的低频特性；短时傅立叶变换STFT和小波变换CWT的时－频分析图3.7小波变换图像正交变换小波变换的定义；h(x)为基本小波函数，a和b分别为伸缩和平移因子；离散小波变换的定义；3.7小波变换图像正交变换小波变换对图像的分解小波变换对图像的分析；一个低通滤波器提取图像的低频成分；三个高通滤波器提取图像的三个方向的高频成分；3.7小波变换图像正交变换一级小波分解二级小波分解原始图像小波分解能量示意图3.7小波变换图像正交变换1）小波域直接去高频压缩算法：最简单的方法原理：先对图像进行小波分解，分解后的图像只保存其最低频子图，解码时其高频部分直接用0代替，以达到压缩的目的。

丢弃一级高频压缩比＝4丢弃二级高频压缩比＝16丢弃三级高频压缩比＝64小波变换用于图像压缩3.7小波变换图像正交变换小波域量化编码；算法原理：小波编码后的动态范围扩大了。对小波编码后的图像采用量化编码，即对变换后的系数分别除以26和25，使其动态范围缩小，达到对图像数据的压