D第3章-平面一般力系1

第三章平面一般力系平面一般力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，作用线既不汇交也不全平行。ACBMACB若物体的结构与所受力具有相同的对称平面，则可 简化为平面一般力系问题来处理。§3-1平面一般力系向一点简化可以把作用在刚体上点A的力F平行移动到任意一点B,但必须同时附加一个力偶。这个附加力偶的矩等于原来的力F对于新作用点B的矩。F2FnF1A1A2Ano一、力线平移定理AoF刚体上的力，可沿作用线移动FABFABABFF’F”ABrBA力的平移定理F’MB为什么钳工攻丝时，两手要均匀用力？ACBACB牛腿柱的压、弯组合变形为什么有时滑轮不给尺寸A2oAnF2FnF1A1o二、平面一般力系向一点的简化1、向简化中心平移—得到平面汇交力系和平面力偶系主矢主矩结论：平面一般力系向一点简化，最终得一个力

FR

和一个力偶矩MO，即主矢和主矩2、再简化—得到主矢和主矩（2）主矩与简化中心有关，称为原力系对简化中心的主矩o（1）主矢与简化中心无关，称为原力系的主矢三、固定端约束AAA§3-2简化结果的讨论一、简化结果的几种情况1）原力系与一个力等效——合力FROF2FnF1OF2F1OF2FRF1O汇交力系平行力系2）原力系与一个力偶等效——合力偶F2OF1FnOMR力偶系等效于合力偶这种情况下，简化结果与简化中心的位置无关—— 符合力偶系的等效定理O3）原力系可转化为情况1）——合力F2FnF1OOFROdd4）原力系平衡二、平面一般力系的合力矩定理 平面任意力系的合力对平面内任意一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和lqABxdxdQQxCC

水平梁AB受按三角形分布的载荷作用。载荷的最大值为q，梁长为

l。试求合力作用线的位置。解：取微段dx

，其上作用力大小dQ=q(x)·dx，其中

q(x)=(x/l)·q。则分布载荷的合力大小为设合力作用线距A端的距离为xC

，根据合力矩定理将Q和q(x)的数值代入可得§3-3平面一般力系的平衡方程欲使平面一般力系平衡，须有：即：三个方程能解三个未知数例3-1图示结构，在AB梁上作用有集中力Q和P,其位置如图。Q=1kN,P=8kN,杆重忽略不计。求：BC杆内力及A处的约束反力。解：取AB梁为分离体画受力图ACB2m1m1mAB解得：列方程ABAB例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，

求：梁A端的约束力。解：研究AB梁，画受力图。ABl/2Q其中Q=ql43P2m2.5mMABPMAB图示刚架，已知载荷P=5kN，力偶矩M=2.5kN·m。求：支座A、B反力。解：研究刚架AB，画受力图。PMAB代入数据解得：FAx=3

kNFAy=5

kNFB=－1

kN3lll600FMPADCBA3lll600FMPDCBMlQ例3-5 自重为P=100kN的T字型刚架ABD，置于铅垂面内，尺寸及载荷如图。其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束反力。解：研究刚架AB，画受力图。A3lll600FMPDCBMlQ解方程，求得列方程例：结构如，已知W，a，求杆A、B处的约束力ABDaaaCWWABCD§3-4平面一般力系平衡方程的三种形式方法一(1)+(2)+(3)方法二(1)+(2)+(4)方法三(1)+(2)+(5)方法四(1)+(3)+(4)方法五(2)+(3)+(5)(1)WABCD(2)(3)(4)(5)方法六(1)+(4)+(5)方法七(2)+(4)+(5)方法八(3)+(4)+(5)(1)(2)(5)(4)方法六(1)+(4)+(5)方法七(2)+(4)+(5)

包含三个未知量的方程组，只有三个方程是独立的；第四个方程与另三个独立方程线性相关，是这三个方程的线性组合。由（4）、（5）可得结合方程（1）便可得出——(2)A、B连线与ox轴不垂直A、B、C三点不共线一矩式二矩式三矩式平面一般力系平衡方程的三种形式平面任意力系平衡方程二矩式、三矩式的讨论平面任意力系简化ABxoADCBabb/2O300300ACBabb/2O例3-5用三根杆将物体支撑于斜面，不计各杆自重，求各杆对物体的约束反力。解：研究物体，画受力图ACBabb/2O§3-4平面平行力系的平衡方程（A、B两点连线不与各力平行）一矩式或二矩式ABqMPaaa例3-6

水平外伸梁的载荷及尺寸如图所示。已知力偶矩M=1.6kN·m、P=2kN、q=2kN/m、a=0.8m。求支座A、B处的约束反力。ABqMPaaaABqMPaaa解得另一个力矩方程：6m12mP3P1P2AB例3-7 塔式起重机，机架重P1=700kN，作用线通过塔架中心。最大其重量P2=200kN，最大悬臂长12m，轨道A、B间的距离为4m。平衡荷重P3，到机身中心线的距离为

6m。（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重P3应为多少？（2）当平衡荷重

P3=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力6m12mP3P1P2AB4分析：要使起重机不翻倒，应按临界状态的平衡条件求解。当满载时，为使起重机不绕B点翻倒，P3不可过小，所以即将绕B点翻倒的临界状态便对应着P3

的最小值；当空载时，为使起重机不绕A点翻倒，P3不可过大，所以即将绕A点翻倒的临界状态便对应着P3的最大值。解：（1）满载时，考虑起重机即将绕B点翻倒的临界状态，此时FA=0，这对应着P3的最小值。解出：解出：空载时，考虑起重机即将绕A点翻倒的临界状态，此时FB=0，这对应着P3的最大值。结论：(2)当平衡荷重

P3=180kN时,对起重机列平衡方程解得§3-6静定与静不定的概念静不定问题：系统中所求的未知量的数目多于独立方程的数目，仅用静力学平衡方程不能解出全部未知量—不可定出静定问题：系统中所包含的未知量的数目等于独立方程的数目，所有未知量都可用静力学平衡方程解出—定出平面汇交力系的静定与静不定平面平行力系中的静定与静不定举例平面一般力系中的静定与静不定举例ABMAABMAABAB静定梁的基本形式①简支梁AB②外伸梁AB悬臂梁③多跨静定梁（复合梁）AADCBADCB主梁副梁下面的内容——物体系的平衡问题ACBO空调器的合理安装膨胀螺栓§3-7物体系的平衡物体系：两个或多个物体通过一定的约束方式连接起来而组成的物体系统，简称为物体系。例4-6连续梁（多跨梁）由AC和BC在C点铰接而成。已知P1=5kN，P2=5kN，q=2.5kN/m，M=5kN/m。求A、B、D三支座的约束反力及AC、BC间的相互作用力。物体系的平衡问题是平面力系问题中的重点和难点，一般既要求系统的外力又要求系统的内力。系统是平衡的，则其整体和每一部分都是平衡的，都可以用来建立平衡方程进行求解。ADCBP1P2M1m1m2m2m2mBP2CM解：首先研究BC部分，画受力图。列方程分别解出：ADCBP1P2M1m1m2m2m2mDCP1A再研究AC部分，画受力图。列方程将前面所解出的、代入，可分别解得ADCBP1P2M1m1m2m2m2mADCBP1P2M方法二若不需求解中间铰链C处的约束反力，则在研究完BC部分后，还可以研究整体，同样可解出其余未知量。研究整体，画受力图。列方程将前面所解出的代入，可分别解得刚化原理变形体在某一力系的作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。主梁副梁ACP1P2M副梁的约束较少，未知量少。所以，连续梁的平衡问题总是先对副梁求解，再对主梁或整体求解。例：已知F=10kN，M

=20kN·m，a=4m，F

作用在B点。求A、C的约束力ABCaa方法一、先以BC为研究对象，画其受力图CaB或ABa再以AB为研究对象，画其受力图解得解：方法二1、研究BC杆，画受力图CaBABCaa2、研究整体（刚化），画受力图解得ABCaa讨论：如何处理作用在中间铰链上的集中力？集中力在铰链两侧的分配方式的对两端的约束反力有无影响？例3-8三铰拱由两半拱和三个铰链构成。已知每半拱重P=300kN，l=32m，h=10m。求支座A和B的约束反力。ACBl/2l/2l/8l/8hACBCACBl/2l/2l/8l/8h首先研究整体*Al/2l/8Chl/8CBl/2h再研究AC部分再研究BC部分或再由方程*解出再由方程*解出ACD例3-9图示人字型折梯放在光滑水平地面上，若载荷、尺寸均已知，试求无重绳索的受力。ACBDElsBEC能否先研究某一部分？ACBDEls先研究整体可解出FA、FB。ACDBEC再研究任一部分，便可利用力矩方程解出绳子的拉力。方法一方法二ADCFBE例3-10图示结构，若只考虑重物的重量P、且计算中所需的尺寸均已知，试求支座A的约束反力及杆BC的受力。ADCFBECBADBADCFBECED300300800mmMADCBEO例3-16颚式破碎机机构，已知工作阻力为FR=30kN、OE=10cm，BC=CD=AG=40cm，AB=60cm，在图示位置时，BC、CD与水平面夹角为300、

OE水平、AB与BC垂直。求在此位置时能克服工作阻力所需的力偶矩。300300MADCBEOFRGC300300800mmMADBEOFRGMEOABFRGCO1O2ABCM1M2O2CM2O1M1AFAxFAyFx1Fy1BO2CAFAx’FAy’FBFCFC’Fx1Fy1FAxFC物系平衡的基本解法基本经验：连续梁问题必然先对副梁求解，其它问题一般 可采用‘先试整体，后拆开’的原则1）如整体的外约束反力不超过三个，或虽超过三个， 但不拆开也能求解部分未知量时，可先研究整体。2）如必须拆开时，可选受力简单，且有已知力和未 知力共同作用的构件或部分。3）一个研究对象上的未知量数目最好不超过相应的平 衡方程数目，这样可以避免解两个或多个分离体的 联立方程。可利用的条件：刚体系平衡（整体平衡）+系统中每个部分平衡4）解题思路要明确，杜绝乱选研究对象、罗列方程的不良做法。熟练的受力分析是解题思路的源泉。例3-12结构受力、尺寸如图，A，B两端皆为固定铰支座，杆重忽略不计。求：A，B两支座的约束反力及销钉C对AC杆的反力ABCDE

画受力图列方程解:1)首先研究整体ABCDE①②③由（3）、（2）可解出2)取AC杆为分离体,画受力图列方程④⑥⑤由此三方程可解出C（孔）AE总结：最后，将FAx之值代入方程（1），可得思考：能否通过研究杆BC求出销钉C对杆AC的约束反力？BC（有销钉）D例3-15结构由AB、BC和CD三部分组成，所受载荷及尺寸如图，各部分自重不计，求A、D、C和E处的约束反力。ADCBEaaa/2aa清例3-8ADCBEaaa/2aaDaCABEa/2a解题步骤①

取研究对象②

画受力图③

列解方程①

取研究对象②

画受力图③

列解方程①

取研究对象②

画受力图③

列解方程①

取研究对象②

画受力图③

列解方程①

取研究对象②

画受力图③

列解方程清例3-10例3—15图示组合结构，由横梁AC、BC及五根支杆组成，所受载荷及尺寸如图。试求1、2、3杆的内力。ADCBEaaaaa123考虑整体的平衡，画受力图。列方程解出ADCBEaaaaa123IICBEaaaF3II拆除C铰并做截面，考虑右半部分的平衡，画受力图。列方程解出F1F3F2D最后研究铰接点（节点）D，可得哈题106ADCFBEO2m2m2m2m3m213M例3-17

组合梁ABC的支撑及载荷情况如图所示。已知P=1000N，M=500N·m。求固定端A的约束反力。CFB2m2mMEO3ADCFBEO2m2m2m2m3m213MF1FO物体系平衡问题的分析技巧DOrACOBP1m1mrD例：已知P=2kN。求杆AB在点A、B处所受到的约束反力。FAxFAyFBFDACBFAxFAyFBFC’PCFCFD（1）结构是怎么平衡的？谁起主要作用？（2）那一个构件是次要的？谁可以拆掉？解法一：先研究轮O，解出轮在C、D处的约束反力FC、FD再研究整体，利用前面解出的FD，同样可求出A、B处的约束反力解法二：先研究轮O，解出轮在C、D处的约束反力（同解法一）再研究杆AB，利用前面解出的FC，可求出A、B处的约束反力可拆掉，而不影响其它构件平衡的构件或部分，必可先进行求解。CDPBDACPBACD2m3m1.5mFD’FBxFByFC’FCFDFAxFAyMAFBxFByFAxFAyMA已知P=2KN。求A处约束反力。解法一：先研究杆BD，解出它在D处受到的力FD再研究杆AC，利用FC=FD，便可求出A处的约束反力解法二：先研究BD，解出它在D处的约束反力FD（同解法一）再研究整体，利用前面解出的FAx、FAy

，同样可求出A处的约束反力首先明确杆CD是二力杆（方法二不如方法一简捷）ABCABCDP1m1m1m1mPT=PFBxFByFABDFDxFDyMAFBx’Fby’例：已知P=2KN。求D处约束反力。分解：ABCDE10m6m4m4m4mFqqBCDAFED（1）结构是怎么平衡的？谁起主要作用？（2）那一个构件是次要的？谁可以拆掉？BCDqADFqEFEFBxFBxFAxFAxFDxFDxFDx’FDx’CqAFAxFAxFCxFCxEABDCADAFADFAFCABDEFGACBACBABCCABDE结构的演化例3-18

组合梁ABC的支撑及载荷情况如图所示。已知P=1000N，M=500N·m。求固定端A的约束反力。DCBE2m2m2m213MACBADCBE213ACBADCBAD结构的演化ADCBE2m2m2m213MDCB2m2m21MDE3ADCBEADCBE如果拆掉任一构件，整个结构便不能保持平衡，可先由整体求解。ACEDBECAD600ADCB600ADCB600CBABCDEEABCCDEBDFBDFDBFDBFAxFAyFCyFCxFB对整体与对部分的分析，不分先后。物体系平衡问题的解题训练ACBDEa3aACBDEACDBCE例3-13一构架由杆AB和BC组成，载荷P=20kN。已知AD=DB=1m，AC=2m；滑轮半径均为r=0.3m。如不计滑轮和杆的重量，求支座A和C的反力。ADCBEADCBE哈题123ADBCBE｛｛ADCBECBADCEADCBEBADCFBEADCBEADCCBEADCBEDEBADCEBCEADC例3-11结构如图，A端为固定铰支座，悬挂着物块的绳绕过定滑轮后系在F处,其中各杆尺寸为:AB=BC=4a,CD=2a,O为BC中点,F为CD中点。求：A支座的约束反力。ABCFDEABCFD有固定端约束的物体系，可看作由连续梁结构演化而成。解：1)取构件BCD为分离体画受力图列方程①②③BCFDABCFDE可解出：2)取AB杆为分离体画受力图列方程④⑤⑥解得:ABEBCAaaa已知：结构尺寸如图，A，B两端皆为固定铰支座，悬挂着物块的绳绕过定滑轮后系在F处,r=0.5a,物块重为W。杆重忽略不计,滑轮大小和重量忽略不计求：A，B两支座的约束反力1)取构件BC为分离体画受力图，建系解：BC（孔）Fyx0F例：已知F，求AG杆上的约束力ABCDEFGHaaaa2aGDA解：1、研究AG杆，画受力图GDA2、研究图示构件，画受力图CBDEFHaaa2a求出3、再研究AG杆，求出ADCBEADCBEACEDBEADCB600ADCB600CAD600CB例3-13一构架由杆AB和BC组成，载荷P=20kN。已知AD=DB=1m，AC=2m；滑轮半径均为r=0.3m。如不计滑轮和杆的重量，求支座A和C的反力。ADCBEADCBE哈题123ADBCBE｛｛例3-13图示结构，已知

q1、q2、M、P之值。试求：固定端A与支座B处的约束反力；销钉C所受的力，(力

P作用在销钉C上)。2m2m2m4mq1q2q1ADCB2m2m2m4mq1q2q1ADCBB2mq2q1C（孔）C（孔）2m2m4mq1q2AD2mq1BC(孔)销钉的受力与集中力的处理方式有关2mq1BC(销钉)清例3-9例3-16结构由AC、BC和DE及滑轮组成，只考虑重物的重量P，摩擦不计，尺寸如图，CE=2BE，求A、B处的约束反力和DE杆内力。ADCBE600ADCBECBE例3-15结构由AB、BC和CD三部分组成，所受载荷及尺寸如图，各部分自重不计，求A、D、C和E处的约束反力。ADCBEaaa/2aa清例3-8ADCBEaaa/2aaDaCABEa/2a哈题1190.4m1.2m1.2m1.2mADCFBE132q=10kN/m哈题106ADCFBEO2m2m2m2m3m213M例3-17

组合梁ABC的支撑及载荷情况如图所示。已知P=1000N，M=500N·m。求固定端A的约束反力。CFB2m2mMEO3ADCFBEO2m2m2m2m3m213MF1FOADCBEFFADCEBCEFB所需条件已知，求杆CF的受力。F§3-6平面简单珩架的内力计算 珩架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状不变。珩架结构的优点是：杆件主要承受拉力或压力，可以充分地 发挥材料的性能，节约材料，减轻结构的重量。珩架结构在工程中得到了重要的应用。实体梁向珩架的演化 ——为什么珩架会节省材料？平面珩架：组成珩架的所有杆件都在同一平面内。节点：珩架中各杆件的接头。为简化珩架的计算，工程实际中采用以下的假设：（1）珩架的杆件都是直的；（2）杆件用光滑的铰链连接；（3）珩架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且在珩 架的平面内；隼接焊接铆接铰接（4）珩架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。——理想珩架将工程中的珩架进行理想化的合理性：MAMB使两根梁的一端发生同样大小的位移，在细长梁上所施加的力偶矩和横向力比在短粗梁上要小得多。珩架结构的变形一般较小，其组成杆件一般为细长杆，故在各杆件在节点处所受到的约束反力以轴向的拉力或压力为主。横向力或力偶矩均较小，而可以略去。细长杆件中间受力便容易变形，载荷会向刚性较好的两端节点处分配。珩架的杆件均看成为只是两端受力作用的二力杆，只受拉力或压力。静定珩架：从珩架中任意除去一根杆件，则珩架就会活动变形，这种珩架称为无余杆珩架。无余杆珩架是静定珩架。从珩架中任意除去某几根杆件，仍不会使珩架活动变形，这种珩架称为有余杆珩架。基本三角形平面简单珩架：以三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。珩架空间珩架平面珩架理想珩架有余杆珩架无余杆珩架平面简单珩架计算珩架杆件内力的方法：节点法和截面法节点法：珩架的每一个节点都受汇交力系的作用。为了求得每个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部的未知力（杆件的内力），这就是节点法。4m4m4m4mADCB例4-18一珩架，载荷及尺寸如图所示，P=100kN，求各杆的内力。FB解：研究整体平衡，求出约束反力。以下按