2022年上海市商业学校高三数学理期末试题含解析VIP

2022年上海市商业学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项.若b2=5，

则bn=A．5·

B．5·

C．3·

D．3·参考答案：D

2.的值为

A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B3.在正方体中，分别为中点，则异面直线与所成角的余弦值为A. B.

C. D.参考答案：A略4.已知,且,成等比数列,则xy(

)A.有最大值e

B.有最大值

C.有最小值e

D.有最小值参考答案：C5.若A、B是椭圆上的两个动点,右焦点是F2(其中A、B、F2不共线),则△ABF2的周长的最大值是(

)A．4

B．8

C．12

D．20参考答案：B6.已条变量满足则的最小值是(

)A．4

B.3

C.2

D.1参考答案：【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为代入验证知在点时,最小值是故选C.7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（

）（A）17

（B）14

（C）5

（D）3参考答案：A8.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是 （

）A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样参考答案：D9.已知集合,下列结论成立的是（

）A． B． C． D．参考答案：D略10.已知集合,则等于（）A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则

；此双曲线的离心率为

．参考答案：2,.12.已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，则直线这10条直线的斜率乘积为

．参考答案：13.已知实数x，y满足，其中，则的最大值为_________.参考答案：【分析】由定积分得=2，即实数满足，画出可行域，化简目标函数，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最大解，把最大解的坐标代入目标函数即可．【详解】由定积分计算得，所以实数满足，画出可行域，如图所示：化简目标函数，令，得，在可行域内平移，当移动到A时，取最大值.，把A代入，得，此时故答案为：【点睛】本题考查了定积分和指数的计算，简单的线性规划，目标函数的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.14.设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是．参考答案：（1，4]【考点】余弦定理．【分析】先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简为1+，由角C越大，越小，求得的取值范围．【解答】解：三角形ABC中，∵，若△ABC不是钝角三角形，由A+C=，可得＜C≤．利用正弦定理可得====1+，显然，角C越大，越小．当C=时，cosC=0，则=1；当＜C＜时，=1+∈（1，4）．综上可得，∈（1，4]，故答案为：（1，4]．15.已知a2+2b2=1，求a·b的最小值

参考答案：16.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为．参考答案：8【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】设出BD=x，利用余弦定理建立方程，整理后求得x，进而利用正弦定理求得BC．【解答】解：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠BDA，即142=x2+102﹣2?10x?cos60°，整理得x2﹣10x﹣96=0，解之得x1=16，x2=﹣6（舍去）．在△BCD中，由正弦定理：=，∴BC=?sin30°=8．故答案为：8【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用．17.已知P为△ABC内一点，且，若，则点P到△ABC三边的距离的最大值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据三角形的有关计算可得OA=2，OB=4，OC=3，如图以OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设P（x，y），根据向量的坐标运算即可求出P的坐标，结合图象可得最值得问值，根据点到直线的距离公式计算即可【解答】解：在△ABC中过点C作OD⊥AB交AB于点O，则AC2﹣OA2=BC2﹣OB2，即OB2﹣OA2=（OB﹣OA）（OB+OA）=12，又OA+OB=6，解得OA=2，OB=4，所以OC=3，如图以OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，所以A=（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），设P（x，y），∵，∴3（﹣）=﹣+2（﹣），∴=（3++2）=（﹣2，6）=（﹣，1），即P点的坐标为（﹣，1），易知P到△ABC中BC边的距离最大，又直线BC的方程为3x+4y﹣12=0，∴点P到△ABC三边的距离的最大值为=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题15分）已知是实数，函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值．（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得．

参考答案：本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，所以．综上所述，

（ii）令．若，无解．若，解得．若，解得．故的取值范围为．19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求正整数的最小值.参考答案：（1）函数的定义域为，由于在上是减函数，所以当时，；当时，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由在上恒成立，整理得：在上恒成立即可，令，当时，，以及在上，得在上恒成立，由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为.所以有，即恒成立，所以正整数的最小值为1.20.已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点在椭圆C上.（1）设点P到直线的距离为d，证明：为定值；（2）若是椭圆C上的两个动点（都不与P重合），直线PA，PB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率（结果用n表示）参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）点在椭圆上，得，化简，即可证明；（2）当时，则，直线的斜率一定存在.设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，由韦达定理得同理得，，即可求得的值【详解】（1）由已知，得，所以，即因为点在椭圆上，所以，即又所以为定值.（2）当时，则，直线的斜率一定存在.设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，整理得由韦达定理，得，于是根据直线的斜率为，将上式中的用代替，得于是注意到得，于是因此，直线的斜率为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，设而求的思想，准确计算是得解，是中档题21.(本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ)若，求数列的通项公式；(Ⅱ)记,，且成等比数列,证明:().参考答案：(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴或即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴

∴

…………7分

∵成等比数列，∴∴…………8分

∴

∴

∵

∴

∴…10分

∴

∴左边=

右边=

∴左边=右边∴()成立.……………12分22.（本题满分14分）在锐角中，角所对边分别为，已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若