甘肃省武威二中2022-2023学年高三第一次教学质量监测（4月）数学试题

甘肃省武威二中2022-2023学年高三第一次教学质量监测（4月）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（）A． B． C． D．2．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（）.A． B． C． D．3．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}4．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B． C． D．15．将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（）A． B． C． D．6．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．设，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C． D．8．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（）A． B． C． D．11．“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件12．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_________种.(用数字作答)14．某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是__________元.15．已知，为正实数，且，则的最小值为________________.16．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.18．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.19．（12分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间．21．（12分）如图：在中，，，.（1）求角；（2）设为的中点，求中线的长.22．（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.【详解】，则，，，所以，函数的图象关于直线对称.若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.所以，，即，解得或.①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2、D【解析】

如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.【详解】中，易知，翻折后,，，设外接圆的半径为，，，如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为，，四面体的外接球的表面积为.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.3、C【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.【详解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，故＝{1，4，5，6}，所以＝{1，2，3，4，5，6}.故选：C.【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.4、B【解析】

，选B.5、D【解析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.【详解】解：把函数图象向右平移个单位长度后，可得的图象；再根据得到函数的图象关于直线对称，，，，函数.在上，，，故，即的值域是，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．6、B【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论．【详解】不等式组作出可行域如图：，，，的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：，则的取值范围是：，，．故选：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．7、D【解析】

作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.由得：，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.8、A【解析】

计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.9、A【解析】

根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.【详解】如下图所示，平面，从而平面，易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴，∴结合四个选项可知，只有正确.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.10、A【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.11、B【解析】

先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．12、A【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1．【解析】试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1．考点：排列、组合及简单计数问题．点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详．14、1元【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元

则根据题意可得目标函数，作出可行域，如图所示作直线然后把直线向可行域平移，

由图象知当直线经过时，目标函数的截距最大，此时最大，

由可得，即此时最大，

即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1．【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．15、【解析】

由，为正实数，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：，为正实数，且，可知，，.当且仅当时取等号.的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.16、【解析】因为sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知,在上恒成立,再分别设的解为、.再根据不等式的性质证明即可.【详解】（Ⅰ）由题,故.且.故在点处的切线方程为.（Ⅱ）设恒成立,故.设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.又,即且,故只能在处取得最小值,当时，此时,且在上,单调递减.在上,单调递增.故,满足题意；当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上单调递减且,又在上单调递增,故最多一根.又因为,,故设的解为,因为,故.所以在递减,在递增.因为方程有两个实数根,故.结合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.设的解为,则；设的解为,则.故,.故,得证.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.【详解】（1）依题意得，解得即椭圆：；（2）设点，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，满足由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.19、（1）增区间为，减区间为；（2）.【解析】

（1）将代入函数的解析式，利用导数可得出函数的单调区间；（2）求函数的导数，分类讨论的范围，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值可判断是否恒成立，可得实数的取值范围．【详解】（1）当时，，则，当时，，则，此时，函数为减函数；当时，，则，此时，函数为增函数.所以，函数的增区间为，减区间为；（2），则，.①当时，即当时，，由，得，此时，函数为增函数；由，得，此时，函数为减函数.则，不合乎题意；②当时，即时，.不妨设，其中，令，则或.（i）当时，，当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数；当时，，此时，函数为增函数.此时，而，构造函数，，则，所以，函数在区间上单调递增，则，即当时，，所以，.，符合题意；②当时，，函数在上为增函数，，符合题意；③当时，同理可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.20、（1）；（2）见解析【解析】

（1）对函数进行求导，可以求出曲线在点处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程；（2）对函数进行求导，对实数进行分类讨论，可以