2020-2021学年上海中学高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）角度大小为7弧度的角是第象限角．2．（4分）用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合．3．（4分）函数y＝的定义域为．4．（4分）若角α的始边落在x轴正半轴，终边落在直线y＝2x上，则sinα＝．5．（4分）已知角x∈[0，π），且满足，则角x为．6．（4分）已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是．7．（5分）在△ABC中，∠A＝30°，，BC＝8，则△ABC的面积为．8．（5分）函数的单调递减区间为．9．（5分）已知正六边形ABCDEF，若，，则用，表示为．10．（5分）已知，则sin2θ＝．11．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R满足，且时，，则当x∈[﹣3π，﹣2π]时，f（x）的最小值为．12．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）命题p：“角A小于”是命题q：“角A是第一象限角”的（）条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要14．（5分）若，的化简结果是（）A． B． C． D．15．（5分）现给出以下4个命题：（1）对于任意的向量，都有；（2）已知向量，，，若且，则；（3）已知三个非零向量，，，则与不垂直；（4）已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．016．（5分）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O，A，两动点B，Q，且，绕点O逆时针旋转到所形成的角记为θ．设函数f（θ）＝4•sign（θ）﹣sin5θ，（﹣π≤θ≤π），其中，，随着θ的变化，就得到了Q的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点Q的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影．18．（14分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sinx+a．（1）f（x）＝0有解时，求实数a的取值范围；（2）当x∈R时，总有，求实数a的取值范围．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且2cos2A+4cos（B+C）+3＝0．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．20．（16分）数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段．某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图①所示（各邻边垂直）．一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内．（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变）（1）如图②，MN＝0.28（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边CD，DE紧贴M，N，设直线AB和直线MN的夹角为θ，家具的初始位置对应，N与D重合时可视为移动成功，延长NM交MN于点K，设AK＝S（米），请写出S关于θ的函数．（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由．21．（18分）对于函数y＝f（x），x∈R，如果存在一组正常数t1，t2，…，tk，（其中k为正整数），满足）0＜t1＜t2＜⋯＜tk使得当x取任意实数时，有f（x）+f（x+t1）+f（x+t2）+⋯+f（x+tk）＝0，则称函数y＝f（x）具有“性质Pk”．（1）判断以下函数是否具有“性质P1”，并说明理由：①函数h（x）＝cosx；②函数u（x）＝1﹣|x|（﹣2＜x≤2），u（x+4）＝u（x）对任意实数均成立；（2）证明：h（x）＝cosx具有性质P2；（3）设函数g（x）＝a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在m∈R，使得g（m）＝4a，证明：存在n∈R，使得g（n）＜0．

2020-2021学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）角度大小为7弧度的角是第一象限角．【分析】直接由实数的大小比较判断角的终边所在的象限．【解答】解：因为2π＜7＜2π+，所以角度大小为7弧度的角是第一象限角．故答案为：一．【点评】本题考查了象限角、轴线角的概念，是基础题．2．（4分）用弧度制表示所有终边位于第四象限角平分线的角构成的集合．【分析】直接利用弧度制表示角的集合即可．【解答】解：由已知得，第四象限角平分线的角构成的集合为．故答案为：．【点评】本题考查角的表示方法，是基础题．3．（4分）函数y＝的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【分析】根据函数y＝，可得cosx≥0，再结合余弦函数的图象，求得x的范围．【解答】解：根据函数y＝，可得cosx≥0，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z），故函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．4．（4分）若角α的始边落在x轴正半轴，终边落在直线y＝2x上，则sinα＝．【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求cosα＝sinα，进而利用同角三角函数基本关系式即可求值得解．【解答】解：由已知得，终边落在直线y＝2x上，所以tanα＝＝2，即cosα＝sinα，再由sin2α+cos2α＝1可得．故答案为：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．（4分）已知角x∈[0，π），且满足，则角x为，．【分析】由题意可求，可得，解得，k∈Z，结合范围x∈[0，π），即可得解．【解答】解：由已知得，，可得，可得，解得，k∈Z，又因为x∈[0，π），所以，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．6．（4分）已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是．【分析】设正三角形边长为a，外接圆的半径为R，由题意利用弧长公式可得α＝，又由题意得R＝a，进而即可求解这段弧所对圆心角α的值．【解答】解：设正三角形边长为a，外接圆的半径为R，则l＝3a＝αR，可得α＝，又由题意得＝a，所以这段弧所对圆心角α＝＝3．故答案为：．【点评】本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计算方法是解决问题的关键，属于中档题．7．（5分）在△ABC中，∠A＝30°，，BC＝8，则△ABC的面积为或．【分析】先利用余弦定理求出AC的长，再由S＝AB•AC•sinA，得解．【解答】解：由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，∴64＝192+AC2﹣2•8•AC•cos30°，即AC2﹣24AC+128＝0，解得AC＝8或16，∴当AC＝8时，△ABC的面积S＝AB•AC•sinA＝×8×8×＝16，当AC＝16时，△ABC的面积S＝AB•AC•sinA＝×8×16×＝32，综上，△ABC的面积为或．故答案为：或．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握三角形的面积公式，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）函数的单调递减区间为{x|＜x≤，k∈Z}．【分析】由对数式的真数大于0求出函数的定义域，再求出函数y＝cosx﹣sinx的增区间，与函数定义域取交集得答案．【解答】解：由cosx﹣sinx＞0，得cosx＞sinx，∴，k∈Z；函数的单调递减区间，即为y＝cosx﹣sinx＝在定义域内的增区间，由，得，k∈Z．取交集可得，函数的单调递减区间为{x|＜x≤，k∈Z}．故答案为：{x|＜x≤，k∈Z}．【点评】本题考查复合函数单调性的求法，考查运算求解能力，注意函数定义域是关键，是中档题．9．（5分）已知正六边形ABCDEF，若，，则用，表示为．【分析】利用平面向量几何意义的加减运算运算即可．【解答】解：如图所示：．故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力，属于基础题．10．（5分）已知，则sin2θ＝1．【分析】由题意将已知等式切化弦后，进而积化和差即可求解．【解答】解：由，切化弦得，，∴，再由积化和差可得，∴sin2θ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，关键是熟练记忆有关公式，是中档题．11．（5分）已知函数y＝f（x），x∈R满足，且时，，则当x∈[﹣3π，﹣2π]时，f（x）的最小值为．【分析】利用迭代递推可得，从而得到f（x）的表达式，然后分，两种情况，分别求解f（x）的最小值，即可得到答案．【解答】解：由，由迭代递推可得，所以f（x）＝πk⋅f（x+kπ），①当时，则，所以，故f（x）的最小值；②当时，则，所以，，故f（x）的最小值为．综上所述，当x∈[﹣3π，2π]时，f（x）的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数性质的综合应用，三角函数最值的求解，三角函数诱导公式的运用，考查了分类讨论思想的运用，逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值是16．【分析】结合两角和的正弦公式、同角三角函数的商数关系，推出tanB+tanC＝2tanBtanC，再由诱导公式与两角和的正切公式，得tanA＝﹣，采用换元法，令m＝tanBtanC，将所求问题转化为关于m的函数的最小值，然后结合分离常数法与基本不等式，得解．【解答】解：由已知得，sinA＝sin（B+C）＝2sinBsinC，∴sinBcosC+sinCcosB＝2sinBsinC，两边同除cosBcosC，得tanB+tanC＝2tanBtanC，∴tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣＝﹣，设m＝tanBtanC，则tanA＝，∵△ABC为锐角三角形，∴m＞0，∴tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC＝+2m+•m＝＝＝4（m﹣1）+8+≥8+2＝16，当且仅当4（m﹣1）＝，即m＝2时，等号成立，此时tanA＝4，∴tanA+2tanBtanC+tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】本题考查三角恒等变换与基本不等式的综合，熟练掌握两角和差的正弦、正切公式，分离常数法，以及基本不等式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）命题p：“角A小于”是命题q：“角A是第一象限角”的（）条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要【分析】利用举反例，再结合充要条件的定义判断即可．【解答】解：取属于第四象限角，则满足命题p，不满足命题q，取属于第一象限角，则满足命题q，不满足命题p，∴命题p是命题q的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查了充要条件的判定，利用举反例是关键，属于基础题．14．（5分）若，的化简结果是（）A． B． C． D．【分析】由已知可求范围，可得，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可得解．【解答】解：由，可得，可得，可得．故选：C．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了函数思想和转化思想，属于基础题．15．（5分）现给出以下4个命题：（1）对于任意的向量，都有；（2）已知向量，，，若且，则；（3）已知三个非零向量，，，则与不垂直；（4）已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】由零向量的性质可判断（1）；由向量不满足消去率可判断（2）；由向量垂直的条件：数量积为0，可判断（3）；由向量的模的性质可判断（4）．【解答】解：对于（1），对于任意的向量，都有•＝0，所以（1）错误；对于（2），已知向量，，，若•＝•且，即有•（﹣）＝0，不一定有，故（2）错误；对于（3），[（•）﹣（•）]•＝（•）（•）﹣（•）（•）＝0，则与垂直，故（3）错误；对于（4），||+||＝|||﹣|||⇔，中至少有一个是，故（4）正确．故选：C．【点评】本题考查向量数量积的运算和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．16．（5分）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O，A，两动点B，Q，且，绕点O逆时针旋转到所形成的角记为θ．设函数f（θ）＝4•sign（θ）﹣sin5θ，（﹣π≤θ≤π），其中，，随着θ的变化，就得到了Q的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点Q的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（）A． B． C． D．【分析】直接利用信息题中实际问题的处理和赋值法的应用求出结果．【解答】解：本题比较抽象，考虑特殊情况．先考虑与共线的蝴蝶身方向，令θ＝0，±π，要满足，故排除A，C；再考虑与垂直的方向，令，要满足，故排除D，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：信息题，实际问题的处理，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影．【分析】直接利用向量的数量积，向量的夹角，向量的投影的应用求出结果．【解答】解：由题意得，所以；则在方向上的投影：，在方向上的数量投影：【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的夹角，向量的投影，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sinx+a．（1）f（x）＝0有解时，求实数a的取值范围；（2）当x∈R时，总有，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换的应用和二次函数的性质的应用求出结果；（2）利用函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围．【解答】解：（1）由已知得，f（x）＝cos2x﹣sinx+a＝0所以a＝sinx﹣cos2x＝sin2x+sinx﹣1＝（sinx+）2﹣∈[﹣，1]；（2）由已知得恒成立，则，另a≤sinx﹣cos2x+＝sin2x+sinx+＝[（sinx+）2+3]min＝3，所以实数a的取值范围为[2，3]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且2cos2A+4cos（B+C）+3＝0．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换，三角函数的值的应用求出结果．（2）直接利用余弦定理的应用求出结果．【解答】解：（1）2cos2A+4cos（B+C）+3＝2（2cos2A﹣1）﹣4cosA+3＝4cos2A﹣4cosA+1＝（2cosA﹣1）2＝0，所以，所以：．（2）由已知得，a＝1，，l＝a+b+c＞2a＝1，，∴b2+c2﹣1＝bc，∴（b+c）2≤4，∴b+c≤2，∴2＜l≤3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20．（16分）数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，也是应用数学解决实际问题的基本手段．某中学程老师根据实际情境提出如下问题：有一家具，其水平截面如图①所示（各邻边垂直）．一房间的门框宽（即房门两边墙之间距离）为0.9米，门框厚为0.28米，思考能否将家具水平移入房内．（注：门框高度及房内外空间不受限制，且移动时均不发生形变）（1）如图②，MN＝0.28（米），在移动家具时，为顺利过门，家具的两个边CD，DE紧贴M，N，设直线AB和直线MN的夹角为θ，家具的初始位置对应，N与D重合时可视为移动成功，延长NM交MN于点K，设AK＝S（米），请写出S关于θ的函数．（2）基于（1），请问家具能否移动成功？并说明理由．【分析】（1）直接利用题意的应用求出函数的关系式；（2）利用三角函数的关系式的变换的应用求出函数的值，进一步利用数据的关系求出结果．【解答】解：（1）S＝0.28cosθ+0.48cotθ+0.48，（2）由已知得，添加辅助线，要使家具能白移入房间内，则要求外抛角点A到一边门框厚度MN的距离AH≤0.9（m），设点