湖南省湘潭市湘乡新湘路学区新湘中学高三数学理测试题含解析

湖南省湘潭市湘乡新湘路学区新湘中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是(

)A.8

B.9

C.10

D.11参考答案：C2.设全集，则集合C∪（A∪B）＝（）A．{0，4，5}

B．{2，4，5}

C．{0，2，4，5}

D．{4，5}参考答案：D略3.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“*”中应填的执行语句是（

）A． B． C． D．参考答案：A4.已知，，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B.考点：三角恒等变形.5.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.，s2＋1002

B.＋100，s2＋1002

C.，s2

D.＋100，s2参考答案：D略6.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）参考答案：A考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项解答：解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选A．点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．7.已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．参考答案：B略8.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．（0，） B．（1，） C．（，1） D．（，+∞）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：渐近线y=±x准线x=±，求得A（）．B（），左焦点为在以AB为直径的圆内，得出，，b＜a，c2＜2a2∴，故选B．【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查圆内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．9.已知，且，则(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)参考答案：C显然，，，，因此最大，最小，故选A.10.设函数的取值范围是（

）

（A）（－1，1）

（B）

（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）

（D）（－∞，－1）∪（1，+∞）参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）设S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案为：12.已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sinα=+cosα，即sinα﹣cosα=，∴===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．13.（5分）函数y=log2（2x﹣3）的定义域是

．参考答案：（）考点： 对数函数的定义域．专题： 函数的性质及应用．分析： 直接由对数式的真数大于0求得x的取值集合得答案．解答： 由2x﹣3＞0，得x．∴函数y=log2（2x﹣3）的定义域是（）．故答案为：（）．点评： 本题考查了对数型函数的定义域，是基础题．14.设函数，若，则的取值范围是

参考答案：略15.已知直线过圆的圆心，则的最小值为

。参考答案：：4解：圆心为，则代入直线得：，即，则有，（当且仅当时取等号）故答案填：4【考点】：不等式16.已知不共线向量，，||=||=|﹣|，则+与的夹角是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的三角形法则，结合向量的几何意义，画图即可得到答案．【解答】解：如图，∵不共线向量，，满足||=||=|﹣|，∴以，为邻边的平行四边形为菱形，且∠BAC=，则与的夹角为∠BAD=．故答案为：．17.设，则________A．

B．

C．

D．参考答案：D略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点、．（I）若，求线段的中点的直角坐标；（II）若直线的斜率为，且过已知点，求的值．参考答案：解：（I）由曲线（为参数），可得的普通方程是．

…………2分当时，直线的参数方程为（为参数），代入曲线的普通方程，得，

……………3分得，则线段的中点对应的，故线段的中点的直角坐标为．

……………5分（II）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简得，

…………………7分则，…9分由已知得，故．

……………10分19.（本题满分14分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，，（1）求曲线和的方程；（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则，得

……………2分设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去）所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分另解：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，作轴于，则由抛物线的定义得，所以，得，所以c＝1，所以椭圆方程为，抛物线方程为。

……………6分

…………8分…………10分…………12分

…………14分

20.（12分）如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）设点在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面.参考答案：解析：（Ⅰ）证明：由平面及得平面，则

而平面，则，又，则平面，

又平面，故。（Ⅱ）在中，过点作于点，则平面.由已知及（Ⅰ）得.故(Ⅲ)在中过点作交于点，在中过点作交于点，连接，则由得

由平面平面，则平面再由得平面，又平面，则平面.

故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面.21.已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为，C2的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到曲线C2距离的取值范围．参考答案：（1），；（2）．（1）的直角坐标方程，的普通方程．（2）由（1）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．22.（本小题满分13分）在△中，内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求△的面积．参考答案：（Ⅰ）解：由已知得，

……2分

即．解得，或．

………………4分因为，故舍去．

………………5分所以．