广义变分原理及其应用讲义

1.广义变分原理及其应用1.1虚力原理与余能原理1.2泛函的变换格式1.3含可选参数的广义变分原理1.4基于Reissner原理的混合元1.5放松约束的变分原理及杂交元2000.31哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1.1虚力原理与余能原理1.1.1虚位移原理和势能原理（复习）1）虚位移原理的虚功方程——矩阵表达δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV体积力虚功表面力虚功虚变形功δWe=∫VFbiδuidV+∫SσFsiδuidS=δWi=∫VσijδεijdV虚功方程——张量表达2000.32哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2）势能原理的数学表达Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min总势能应变能外力势能1.1.2虚力原理1）虚力原理的表述给定位移状态协调的充分必要条件为：对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立（矩阵）∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS虚反力功表面给定位移虚余变形功2000.33哈尔滨建筑大学王焕定教授制作虚功方程——张量表达∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS2)必要性证明εij=1/2(ui,j+uj,i)=D-1ijklσklV：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知条件：[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ]V：δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ]=[0]需证明的是：∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS或张量表达形式已知条件：2000.34哈尔滨建筑大学王焕定教授制作∫V(

[A][u])Tδ[σ]dV=∫S([L]δ[σ])T[u]

dS-∫V([A]δ[σ])T[u]

dV1/2∫V(ui,j+uj,i)δσijdV=∫SδσijnjuidS-∫Vδσij,juidV[证明]：利用格林公式或张量形式格林公式考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS必要性证毕。2000.35哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2)充分性证明V：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知条件：[ε]=[D]-1[σ]需证明的是：应变εij是协调的。或张量表达形式εij=D-1ijklσkl∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dSV：[A]δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ]=[0][证明]：因为V：[A]δ[σ]=[0]，所以对任意[λ]∫V([A]δ[σ])T

[λ]dV=[0]利用格林公式和已知条件可得2000.36哈尔滨建筑大学王焕定教授制作设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意，因此可设∫V(

[D]-1[σ]-[A]T[λ])Tδ[σ]dV+∫Su([L]δ[σ])T(

[λ]-[u]0)dS=0(a)在此条件下，式(a)由于虚应力的任意、独立性可得V:[D]-1[σ]-[A]T[λ]=[0]Su：

[λ]-[u]0=[0]充分性证毕。2000.37哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1.1.3余能原理和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力原理∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS可得δ(1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS)=0记VC如下所示，并称为变形体的总余能VC=1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS则由δVC=0可得在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。余能原理2000.38哈尔滨建筑大学王焕定教授制作余能原理等价于协调，表达为VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS=min利用格林公式，立即可证明Ve+VC=01.2泛函的变换格式（龙驭球提出）简单来说，势能原理等价平衡，表达为Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min1.2.1一些预备知识1)变量的分类2000.39哈尔滨建筑大学王焕定教授制作除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函的增广变量。在余能泛函VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS中σij是泛函变量，其他是增广变量。泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变量。在势能泛函Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS中ui是泛函变量，其他是增广变量。2000.310哈尔滨建筑大学王焕定教授制作泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为泛函的强制条件。在余能泛函中σij所需满足的平衡条件（内部和边界）即为强制条件。VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS2)泛函所满足的条件在势能泛函中ui所满足的协调条件即为强制条件。Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS2000.311哈尔滨建筑大学王焕定教授制作在余能泛函中σij所对应的应变应满足的协调条件为自然条件。由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛函的自然条件。在势能泛函中ui所满足的平衡条件即为自然条件。在泛函中，泛函变量与增广变量间，或增广变量之间所应满足的条件称为增广条件。在势能泛函中几何方程和物理方程即为增广条件。3)泛函间关系的分类2000.312哈尔滨建筑大学王焕定教授制作如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对应相同，称此两泛函为等价的。两泛函所包含的全部变量、全部条件均相同，但是变量的区分不同，或变量的条件不同等，称此两泛函为广义等价。如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则称这两泛函互等。1.2.2泛函的三种变换格式1)泛函的放松格式——拉氏乘子法（传统）基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。2000.313哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2)增广格式——高阶拉氏乘子法（钱伟长）教材上介绍了从余能原理得到海林格-赖斯纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的泛函是三变量的无条件泛函。3)等价格式——龙驭球格式基本思路是，用自然条件构造正定二次型，按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。2000.314哈尔滨建筑大学王焕定教授制作请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的另一泛函也是三变量的无条件泛函。并证明当参数等于1时，将“退化”成两变量的海林格-赖斯纳泛函（差一符号）。学习的关键在真真掌握原理、方法等的基本思路，从而以便能灵活运用它。上述各种格式的思路就是如此简单，但不亲自做一做，经验证明真真掌握它是不可能的。4)换元乘子法（龙驭球）将增广变量通过增广条件引入泛函，从而增广条件成为强制条件，再用拉氏乘子法放松强制条件，将增广变量引入无条件泛函的方法。2000.315哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1.3含可选参数的广义变分原理1.3.1含可选参数的广义变分原理1）变分泛函的建立从三变量无条件胡海昌-鹫津久一郎广义泛函出发，用等价格式龙驭球建立了教材上前12个正定二次型，我补充了后两个二次型，乘14个参数构成和胡-鹫广义泛函等价的新泛函。龙驭球认为参数是可以任意选取的，因此称为含任意参数的广义变分原理。我提出并得到龙先生认同，参数不能完全任意选取，必须满足教材图示的通路关系。2)参数选取问题2000.316哈尔滨建筑大学王焕定教授制作从而建立了含可选参数的广义变分原理。最基本的是结构力学中介绍的虚功原理，它是一个必要性命题，要求力状态平衡，要求位移状态协调，满足此条件恒有虚功方程成立。虚功原理中力状态是给定的一个，虚位移是任意的，条件的改变导致结论的改变，由此得到虚位移原理。在无限分割情况下，等价于平衡条件。它是一个充分必要性命题。1.3.2变分原理间的相互关系2000.317哈尔滨建筑大学王焕定教授制作虚力原理也是虚功原理条件改变的结果，位移给定虚应力任意，无限分割时等价于协调条件。它也是充要条件。由虚位移原理可导得势能原理，由虚力原理可导得余能原理（当然它们也可由定义来推导）。它们是一对对偶的原理。从势能原理出发，用放松格式可得到无条件的势能原理，用换元乘子法可得到二变量广义余能原理、三变量的广义势能原理。从余能原理出发，用放松格式可得无条件的广义余能原理，用换元乘子法可得到三变量的广义势能原理。2000.318哈尔滨建筑大学王焕定教授制作从二变量的广义余能原理和三变量的广义势能原理出发，用格林公式可分别得到二变量的广义势能原理和三变量广义余能原理。从二变量的广义余能原理或二变量的广义势能原理出发，用等价格式可得到二变量含可选参数的广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化为无条件的势能原理。参数为零时恢复成二变量广义变分原理。2000.319哈尔滨建筑大学王焕定教授制作从三泰量的些广义申余能没原理腥或三雀变量爽的广阁义势片能原飘理出既发，耽用等价味格式可得狸到三轧变量坝含可膛选参塞数的最广义兆变分团原理房诚，当白满足苏特定赚退化草条件估时，只将退弟化为良二变累量的贡含可扣选参棒数广召义变光分原辛理。叔参数轿为零妻时恢掠复成瓦三变互量广顾义变我分原犁理。上述呼原理骆间的付关系煌，可需用教滴材上降P.学1废96锁图抽6-步2来会表示捷。如果贝真的梦掌握佳了《艺有限去元Ⅰ移》所挨学习刘的内鹿容，爪象从寄势能增原理榜出发文通过生构造霞位移那场那风样，勿合适府地建洒立变秋分原常理对您应的叔场变亦量，篇即可面用变章分原约理得砌到对略应的熄有限卵元列孕式。饥下面松简单绪介绍领基于较赖斯逗纳原径理的谅混合争元分殃析。20居00台.320哈尔浆滨建堆筑大购学遣王僵焕定欧教授钞制作1.摆4拳基于牢Re桨is赌sn展er原理谣的混蓝合元1.社4.撕1么原理锦的使勉用选极择前面狸介绍药了从买余能填原理释获得刑了二够变量沉广义暴余能座原理监如下浊：用于其单元案时，选考虑锐结点车力作掠用后发改为20洽00垦.321哈尔骨滨建抬筑大转学善王毒焕定耗教授捏制作由此窃原理停出发猪，如贷《有口限元鸭Ⅰ》厕所述洽，进哨行有瓦限元模分析刊时要竹求构伙造的睡应力单场跨大单元脸协调似、在划单元瓶应力脆边界冤上要越求平放衡，洪构造累这样皱的变位量场且是困勺难的融。为秒此，颗用格赌林公讯式作野变换去，得班到二触变量菊广义柱势能讽泛函仿如下片：用于匆单元颂时，仰考虑浴结点裁力作乞用可誓同样洲修改远。当泻用此捉泛函虹作有神限元豆分析塑时，述要求尽位移称场跨银单元诉(C0级)锅协调季，由眨《有供限元始Ⅰ》瓶可知营，这丛是不江难做打到的心。因撒此，砍一般熔用它趣分析起。20锣00搬.322哈尔再滨建赖筑大称学乌王早焕定界教授搏制作1.浑4.岁2貌单元链列式己及说坊明用上忧述原层理作璃单元咐列式斤时，唐要建联立两概类变宰量场骆：位传移场葛(u)和吵应力缓场(σ)，房诚位移醉场只她要满速足跨伐单元令协调灵，并不抗要像位术移元扶组装岔后需芦作约饥束条臭件处串理，使满捉足位脱移边惭界条庄件。设酬(u)=启(N)(δ)e(σ)=目(β)(P)e代入巴赖斯寺纳原蝴理并肉经数西学推仅导后叫，可秤得教布材上(已6.麦4-销7)秆所示针混合洞元性疾质方孕程。20罚00滤.323哈尔筹滨建幕筑大磨学伍王堡焕定俩教授移制作式(惨6.握4-熄7)堆中的托一些守矩阵质分别携为有了挠(6罗.4絮-7隔)混蛋合元舰性质稍方程券，作北整体芬组装采即可罪获得税整体轿性质那方程哨。但旋必须桨注意炉，整茂体性值质矩耻阵是薪奇异贞的，钳求解初时必筝须作给必要庙的处醒理。只和物(σ)有横关和(σ)、槽(u)有锐关只和乱(u)有糊关只和蜓(σ)有质关混合观元分恩析可剖直接尾求得腿应力犹，因串此一桥般来插说应宋力的岗精度屿比位伟移元巩要高辞。20返00愚.324哈尔输滨建惜筑大叔学核王蚕焕定躬教授喜制作混合扣元依罚据的吊是驻宴值原冤理，配因此效结果倒没有区一致荡的趋忽向性下。赖斯继纳原克理包立含两建类场稿变量闪，这烂就存杰在必赤须解秧决它蜘们之曾间合派理地转配合拖的问汗题。当应争力参甜数矩公阵(P)相栏邻单翅元无途关时况，可赠对单保元性蠢质方苹程进薪行缩惨聚处饺理，待最终看可得丈到单鸣元“抗刚度怪方程诸”，羽只要姐修改性“刚斜度矩斩阵”穿和“披等效慌结点劫荷载环矩阵球”，膛就可倒用位怕移元努的计予算程假序来既解算社。对平识面和饲空间循问题千来说导，位匙移元穗建立劲位移找场并雾无多石大困沫难，车混合扑元对慢板壳监计算亦更有量用。20考00排.325哈尔发滨建唯筑大抬学沃王兄焕定辉教授左制作1.妇4.粪3摩薄板形弯曲排的混伴合元薄板伍弯曲帝理论垂中的申广义广势能嘉泛函平为式中肢有关因符号辽的说特明见盟教材脸P.述20僻0。圾从κ的表畅达式蚁可见沫，用宴它进版行混净合元糕分析敲需要w具有C1级连那续。提这将氏与位眉移元衔一样轻产生老困难惊。为此瓜，需涉对上希述泛贼函进待行改瓣造。20显00峡.326哈尔练滨建掘筑大排学瓶王遍焕定碎教授近制作He废rr竹ma衫nn提出忆用分忘部积谨分和肝奥-中高公蔽式对上骗述泛呈函进努行改套造，连获得臂如下沙的H选er降rm宾an边n泛咽函（咽教材烘上有灭这种赶纯数值学的边具体之推导加）有了里广义京变分洞泛函袄，和己平面窑问题搭一样施，设仪出挠堤度场w和弯冬矩场M后，腰代入颂泛函配即可肉建立断薄板荡弯曲给的混枯合元怨性质膏方程池。教材盏上结成合常跟弯矩晕三角誓形、简线性责弯矩技三角最形混煎合元桥介绍况了一向些具然体列悲式，却可供储大家播应用室时参时考。20吹00镇.327哈尔煤滨建烘筑大夹学俗王它焕定饲教授袜制作1.主5盾放松缴约束哭的变柔分原畏理及漏杂交迹元1.币5.惠1置修正描余能牛原理前面勿已得酒到余腰能原开理，般作有控限元对分析详时VC=Σ弹[1/冬2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS]e=mi属n该泛搅函的哥强制销条件灾为Ve:σij,j+Fbi=0Sσe上:FSi-σijnj=0SBL上:怕(σijnj)+-(σijnj)-=0相邻荡界面前面君已经锐提到坛，要钞事先题满足段上述绵条件洪是困众难的吓。为参此，陈可利阶用放瞒松格云式来洁得到撇放松麻了边名界处榜约束猴条件剧的修经正余江能原盐理（表具体蛙推导雪见教剧材）予。20躺00东.328哈尔驶滨建持筑大眨学钢王疾焕定垄教授当制作V*C=Σ耻[1/土2∫VσijεijdV+∫SσFsiuidS-∫SσijnjuidS]e=mi叮n该泛们函的蝇强制野条件勇改为赖了Ve:σij,j+Fbi=0Sue上:ui-ui0=0有兴凳趣的填同学新，可联自学曾教材图上修射正势货能原西理的与推证稼.但亭教材瓣中已重经指份出，扒基于燥修正盗势能姨原理形的杂灿交位散移元沉应用糕较少绢。必须贸注意舱的是呜，修耻正余充能原程理是算多变占量泛救函，我但是令和赖馒斯纳呀原理拼不同意，它佣在域意内是洪单变毅量的局，在法边界退上才敞是多织变量示的。20款00再.329哈尔值滨建黑筑大肝学侦王毒焕定慎教授贿制作修正狗余能始原理危在域毕内是扑有强贱制条钩件的猎，放束松的