三重积分的变量代换

三重积分的变量代换演示文稿目前一页\总数三十二页\编于二十点（优选）三重积分的变量代换目前二页\总数三十二页\编于二十点一、三重积分的换元法目前三页\总数三十二页\编于二十点例1.求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:其中解:令则目前四页\总数三十二页\编于二十点1.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面目前五页\总数三十二页\编于二十点因此适用范围:1)积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分)

;2)被积函数中含有x2+y2(相应地,y2+z2,x2+z2)形式.目前六页\总数三十二页\编于二十点其中为由例2.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.目前七页\总数三十二页\编于二十点例3.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=目前八页\总数三十二页\编于二十点2.利用球坐标计算三重积分

就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面目前九页\总数三十二页\编于二十点因此有适用范围:1)积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面;2)被积函数含x2+y2+z2一类式子..目前十页\总数三十二页\编于二十点例4.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面目前十一页\总数三十二页\编于二十点3.广义球坐标变换

直角坐标与广义球坐标的关系例13.3.9.椭球的体积目前十二页\总数三十二页\编于二十点内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;目前十三页\总数三十二页\编于二十点二、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１.积分区域关于坐标面的对称性；２.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．目前十四页\总数三十二页\编于二十点解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,目前十五页\总数三十二页\编于二十点解目前十六页\总数三十二页\编于二十点目前十七页\总数三十二页\编于二十点目前十八页\总数三十二页\编于二十点例7.求曲面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xoz

目前十九页\总数三十二页\编于二十点轮换对称性：若积分区域Ω的表达式中将x,y,z依次轮换,表达式不变,则称Ω关于x,y,z轮换对称.此时有例8.设是由平面x+y+z=1和三个坐标面所围成的

区域,求解:由轮换对称性,目前二十页\总数三十二页\编于二十点说明：二重积分也有轮换对称性.若积分区域D的表达式中将x,y依次轮换,表达式不变,则称D关于x,y轮换对称.此时有例9.

设证:由轮换对称性,目前二十一页\总数三十二页\编于二十点1.将用三次积分表示,其中由所提示:综合例子六个平面围成,目前二十二页\总数三十二页\编于二十点2.

设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标目前二十三页\总数三十二页\编于二十点3.计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“先一后二”较好.目前二十四页\总数三十二页\编于二十点所围,故可表为解:目前二十五页\总数三十二页\编于二十点4.计算其中解:利用对称性目前二十六页\总数三十二页\编于二十点思考题目前二十七页\总数三十二页\编于二十点练习题目前二十八