【人教版】九年级下册数学课件《展开图》投影与视图2

第16章展开图XXXXX-将立体表面，按实际形状和大小，摊平在一个平面上，称为立体的表面展开。展开后所得的图形，称为表面展开图。一、平面立体的表面展开四棱锥的展开四棱柱的展开圆柱面的展开画展开图的实质就是求制件表面的实形。立体表面分为两类：

可按实形准确展开的表面，如平面立体表面，曲面立体中相邻两素线相互平行或相交的曲面。

不可准确展开的表面，如球面、环面等，一般采用近似展开的方法展开。可展表面不可展表面方法与步骤：（1）取底边真长（2）取棱高真长（3）顺次连接各点1.棱柱体的表面展开A展开图ABCDEFGHEc（g）b（f）两面投影图d（h）a（e）a′(d′)b′(c′)e′(h′)f′(g′)两面投影图b（f）b′(c′)d（h）a（e）a′(d′)e′(h′)f′(g′)（1）取底边真长展开图EFGHE

按水平投影将各底边的真长展成一条水平线，标出E、F、G、H、E各点。c（g）（2）取棱高真长A展开图ABCDEFGHEc（g）b（f）两面投影图d（h）a（e）a′(d′)b′(c′)e′(h′)f′(g′)

由标出点作铅垂线，在其上量取各棱线的真长，得各端点A、B、C、D、A。

A展开图ABCDEFGHEc（g）b（f）两面投影图d（h）a（e）a′(d′)b′(c′)e′(h′)f′(g′)（3）顺次连接各点

顺次连接A、B、C、D、A各点，即得棱柱体的表面展开图。2.棱锥体的表面展开

图示为四棱台吸尘罩，若将其四根棱线延长交于一点S，则形成一个四棱锥面，即由四个全等的等腰三角形组成。要求其展开图，只需求出一个三角形的实形，再作处理即可。方法及步骤（1）求取棱线真长（2）作等腰三角形（3）截取棱线实长（4）顺次连接各点（1）求取棱线真长sefb′（a′）abcdghs′g′（h′）f′（e′）c′（d′）o′e1′a1′a1两面投影

采用旋转法：以s为圆心，sa为半径画圆与水平对称轴交于a1，过a1作铅垂线交过a′作的水平线于a1′，连接s′a1′即得三角形腰SA的实长。再过e′作水平线与s′a1′交得e1′即可求得棱线AE的实长。（2）作等腰三角形b′（a′）aa1′bcdefghss′g′（h′）f′（e′）c′（d′）o′e1′a1两面投影展开图A。B。C。D。A。S。

作腰S。A。=S。B。=s′a1′，底A。B。=ab的等腰三角形S。A。B。；同理，作出另外三个。（3）截取棱线实长b′（a′）aa1′bcdefghss′g′（h′）f′（e′）c′（d′）o′e1′a1两面投影A。B。C。D。A。E。H。G。F。E。展开图S。

在各腰上分别截取四棱台棱线的实长，使A。E。=a1′e1′、……得E。、F。、……等。b′（a′）abcdefghss′g′（h′）f′（e′）c′（d′）o′e1′a1′a1两面投影A。（4）顺次连接各点B。C。展开图D。A。E。H。G。F。E。S。

顺次连接E。、F。、G。、H。、E。，得展开图。

二、可展曲面的展开1.圆柱表面的展开

圆柱表面的展开图为一矩形，矩形的一组对边为圆柱上、下低圆的周长，另一组对边为圆柱素线的实长。两面投影展开图HHL=πDΦD作图方法两面投影展开图

按俯视图中的水平圆周展开成一直线，并在两端点作垂线与圆柱等高，封闭图形即得展开图。2.圆锥表面的展开

圆锥的表面展开为一扇形，如图所示为圆锥的两面投影图及其展开图。L两面投影DO′O展开图O。θ

L

画圆锥的展开图时，可先计算出圆锥展开后的扇形角，然后根据扇形角和圆锥素线的长度，画出圆锥的展开图。展开图LθO。

在展开图中,扇形的圆心为圆锥的中心，扇形半径等于圆锥的素线长度L，扇形的弧长等于圆锥底圆的圆周D.θD360°2L则θDL180°

设扇形角为θ,则有:

圆锥台的表面展开图是两个同圆心的扇形面积相差的部分，如图所示，为圆锥台的两面投影及其展开图。两面投影展开图θ

3斜口圆柱管的展开方法与步骤：（1）等分圆周

（2）圆周展开（3）量取实长（4）曲线连接展开图ABCDEFGa′b′c′d′e′f′g′1′2′3′4′5′6′7′1。2。3。4。5。6。7。两面投影a（1）b（2）c（3）d（4）e（5）f（6）g（7）（1）等分圆周

a′b′c′d′e′f′g′1′2′3′4′5′6′7′两面投影a（1）b（2）c（3）d（4）e（5）f（6）g（7）

将俯视图的圆周十二等分，并在主视图上画出各分点的素线长度，两面投影展开图1。2。3。4。5。6。7。a′b′c′d′e′f′g′1′2′3′4′5′6′7′a（1）b（2）c（3）d（4）e（5）f（6）g（7）（2）圆周展开

在展开图中按周长展开圆周成直线，并将其十二等分。两面投影（3）量取实长ABCDEFGa′b′c′d′e′f′g′1′2′3′4′5′6′7′a（1）b（2）c（3）d（4）e（5）f（6）g（7）1。2。3。4。5。6。7。展开图

过各等分点1。、2。、3。、……作铅垂线，在各铅垂线上量取其素线的实长，分别得端点A、B、C、……等。（4）曲线连接展开图ABCDEFG1。2。3。4。5。6。7。两面投影a′b′c′d′e′f′g′1′2′3′4′5′6′7′a（1）b（2）c（3）d（4）e（5）f（6）g（7）

用光滑的曲线依次连接A、B、C、……等各点，即得斜口圆柱管的展开图。

在管道设计中，等径直角弯管用来连接两根垂直相交、且直径相等的圆管。由于圆环是不可展曲面，因此在设计弯管时，一般不采用图（a）所示的圆环，而是采用多段圆柱组成，如图（b）所示。图（b）示为工程上常用的五节斜口圆管拼接而成的直角弯管，中间三节叫全节，首尾两节叫半节，半节可用一个全节在对称面处分开得到。等径直角弯管4.等径直角弯管的展开ABCDE（b）圆柱管（a）圆环管等径直角弯管的组成圆环管分解圆柱管组成DR（a）

已知五节直角弯管的管径为D，弯曲半径为R，则弯管正面投影的作图过程如图（a）、（b）、（c）所示：（b）各节对称位置处作圆弧切线，并连接各对应交点。画圆弧，并作出各节对称位置线。

ABCDE（c）擦除辅助线，并描深。等径直角弯管B单元节BB节展开图

从等径直角弯管的五节中，取一个单元节B节，按斜口圆柱管的展开方法进行展开，得如图所示的展开图。ABCDEBDACEBEDBCAACEBD等径直角弯管圆柱管下料（a）（b）（c）

将图示等径直角弯管中的B节、D节分别绕其轴线旋转180。，如图（a）所示，则各节就可拼成一个圆柱管，见图（b）示。因此，可将圆柱管按图（c）示方法割成所需节数，再焊接成所要的弯管。ABCDEDACBDE平板下料（a）（b）（c）

将图（a）所示五节按斜口圆柱管的展开方法展开，结果如（b）图所示。可由此采用平板下料，先作出一个半节的展开图为样板，在一块板材上按图（b）划线、下料，在分别焊成图（c）中的各节，即可按所需焊成弯管。EDBCAACEBD三、不可展曲面表面的近似展开

不可展曲面近似展开的实质是：把不可展曲面分成若干较小的部分，然后将每一小部分表面看成是可展表面，从而进行近似的展开。例如，球面的划分可有以下图示（a）、（b）、（c）等几种方法。下面，就以球面的展开为例说明近似展开的原理。（a）（b）（c）（a）（b）（c）1.近似圆锥法

在球面上作若干水平纬线，把球面进行若干等分，则每一小部分可近似看作一个圆锥，如图（a）、（b）所示。

（c）图所示为球的两面投影，可按此分别画出各个圆锥的展开图。ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ

圆锥的展开图是一个扇形，把各部分圆锥展开之后的形状，如图（d）所示。（d）

因此，只要按展开图在板材上进行划线、下料，再分别焊接成圆锥。最后，将各圆锥组合即可焊接成圆球。（a）（b）（c）2.近似梯形法

把圆球表面等分成圆锥，再把圆锥等分成梯形，如图（a）所示，则在下料时可按图（b）所示，下成小梯形单元，把各梯形单元焊成圆锥，如图（c），最后焊成圆球。（a）3.近似变形法

如图（a）所示，为一罐状容器，其结构由一个圆柱和上、下两个半球组成。在用钢板制造容器的球形部分时，一般都要将下料所得的钢板加热弯压，使钢板发生塑性变形，然后进行焊接。

考虑到下料和工艺的方便性，可将半球面分解为由一块顶板和八块相同的侧板组成，再采用下述方法作球面的近似展开，如图（b）、（c）所示，叫做近似变形法。容器罐动画立体图分解图（b）o′o（c）顶板的近似展开：

（b）图所示为半球的两面投影图，考虑到弯压时会产生塑性变形，顶板的展开图可画成一个圆，其半径等于弧o′1′的长度，如图（c）上方所示。（b）o′oo′o（b）（c）侧板的近似展开：（1）等分侧板

在（b）图的正面投影中，把右边侧板进行三等分，得分点1′、2′、……；在水平投影中，过各分点作同心圆弧aa、……。a′b′c′1′2′3′d′4′abccd24abd13o。（2）圆弧展开（c）（b）1。3。4。2。

把圆弧o′4′展开成一直线o。4。，并在线上量取o。1。=o′1′、……

o′a′b′c′1′2′3′d′4′oaabbccdd1234o′a′b′c′1′2′3′d′4′oaabbccdd1234侧板的近似展开：（1）等分侧板（3）作同心弧（b）（c）oaabbccdd1234o。a。a。b。b。c。c。d。d。1。2。3。4。

以o。为中心，过1。、2。、……作同心圆弧，并在相应圆弧上,对称地