高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1序不等式定理1

设

1

,...2n12nbn11

，则有(倒序积和)b1r2rnrab1nn

（乱序积和）（顺序积和）其中

rrr1,2

是实数组

b1,2n

一个排列式当且仅当

1

2

或

1

2n

时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和

乱序积和

顺序积和）证明：考察右边不等式，并记

bb1r2rr

。不等式

ab1r2rr

的意义：

rrr1

时，达到大值bb11nn

.此，首先证a必须搭配，才能使S达到最大值.即，设

rn

n

和某个(k)k

搭配时有brrnn

（）事实上，bba))nkrknrnrnk不等（告诉们当

rn

调b的位（其余项不变和增加同理调整好nr

a后，再调整n

n

和

n

会使和增加.经过n次调整后，S达到最大值

1122nn

，这就证明了bb1r2rr再证不等式左端

abb12n

.

由

1

2nn

...1

及已证明的不等式右端，得ab1n2

b)bbn11r2rnr即

b1

bn11r2rnr

.例1美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c是数，求证：

a

bc

c

)

.思路分析考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设

，有lgalg根据排序不等式有：lgalgclgblglgalgclgclg以上两式相加，两边再分别加上

lglglg有

alg)a)(lglga)即

lg

a

bc

c

a3

lgabc故

a

b

c

)

.例2证：a

22b3c22bbcca

.思路分析中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明证明：不妨设

111，2且c根据排序不等式，有22111222cb22111222ca两式相加除以2得

nnrnnnrrirrnnrnnnrrirr2bc2c2a

2再考虑

3

3

3

，并且

1bccaab利用排序不等式，bc3133bccabcb1133bccaac两式相加并除以2，即得综上所述，原不等式得证

2

2c23b3c22bbcca例3

,0122n

，而

iii1,

与

jjj1,2n

n的两个排列.求证：

rs

abijr

rs

arsr

.（1-2思路分析已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式证明：令

dr

ns

bjr

（r=

n

）显然

d1

n因为

1

，且

1rrr由排序不等式

s

bsr

r又因为

1所以

nnnna且asrrrrrsr

a（注意）rrr

nrbnniribabnnnrrric12nn12nnrbnniribabnnnrrric12nn12n故

rs

aijr

jdrrrr

rarsrrrrsrs故

原式得证2.均值不等式定理2设

1

,a,...,2

n

是n个正数，则

H()()

()()

称为均值不等式.其中，H()

11aa1

，(n)aa...a12

，(n

a1n

n

，()

221分别称为

1

,,...,2

n

的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明：先证

Gn)()

.记

a...a12

，令

abic

，则

原不等式

b1

2n其中

1bb(a...)1nn取

xx,...,1

使

xb,b,...,b,x2

则

xbn.x1由排序不等式，易证xb1nx2

12nnna12nnna下证

()(n)因为

1a22[()12

2

a12

2

a)1

2

a1

2a)23

2

2

2

a2

2

an

n

2

]

1n

(a)1n

2所以

a2.1n12

2.从上述证明知道，当且仅当H()(n下面证明

1

2

时，不等式取等号.对n个正数

11,,...,aa12

，应用

G()(n

，得即

H()()

11112naa1（等号成立的条件是显然的）.例4已知

x2y，证log(a)log2a

18

.证明：由于

0，ax0,a

，有

a

从而

log(a

x

y

)(2aa

x

a

y

)2a

x2下证

x11，即284

。又因为

x

2

111)244

11，等号在x=(时y=)取得24所以

loga

y

1)l.28例5（IMO）a,b,c是正实数，且满足证明：

(a

11)(b)()bc

annnannn证明：令

a

y,,c，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为xx(yy)

（2-1）记

uxyv,

，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么

）式成立如果这三个数都大于0，由算术—几何均不等式1uv(x)x2同理可证，于是

，vw即

xyz

）式得证.例6知

1

,,...,，2n

.求证：

aa12n112312

n2

.思路分析左边各项形式较复杂，首先将其化简为

na2i(2iiii

.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项数形式，尝试用调和平均证明：不等式左边化为i，2iiii

22i

可看为倒对

222,2212

n

，利用

(n)(n

有naiii

i

i

ninnnnn2ninnnnn22iiiiiii22即

i

2i2

nn21na22i所以

nnni(i2niiiii

n2

.3柯西不等式定理

设bii

（i=1,2,…n）,恒有等式

.b)iiiiiii

2

，当且仅当

bb12naa1

时，等式成立构造二次数证明当

bn2n

时，不等式显然成立令

2i

Ciii

，当

a,

,a

中至少有一个不为零时，可知i

ii构造二次函数

f

Bx2

开得fbxiiiiii

故iif

的判别式

AC移项得

，得证。向量法证令,n1

.则对向量

有

，由ba,2niiii当，即平行时等号成立。

得

aba

当且仅数学归纳证明i)当n=1，有

11

2

，不等式成立。当n=2时，

b112

ababab1222

222222221212k122k222222221212k122k2222222222222212121122222b格朗日恒等式因为

1

bbb112b2b2ab，故有211221212当且仅当

a，即22112

时等号成立。ii）假设n=k时不等式成立，即bb22k2

b

当且仅当

22k

时等号成立。那么当n=k+1时12kkbb2kk2b22bbab112k211

2

2当且仅当

1

a12

a,b2k

ak

k

时等号成立，即

a2kkbbbkk

时等号成立。于是n=k+1时等式成立。由i)ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。利用恒等证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数

a

,a;b12

,b

有柯西—拉a22n2n1nb21133nn13222n

由实数性质

可得柯西不等式成立。以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。

n2n2n2n2n22bbn22iiii22bb柯西不等的推广命题1若级数

2iiii

收敛，则有不等式

nnabab2iiiiiii

。证明：

2iii

nn收敛0iiiiiiii

i

nb收敛，limiiiiiiiii从而有不等式[3]命题2

nnababiiiiiii

成立。若级数

2iiii

收敛且对

nnnababiiiiiii

则对定义在

数f

有不等式

a证明：因为函数

f

f，取每个小区间的左端点为

i

，由定积分的定义得：n

fii

n

gii

f2fiiii令

f

g

，则

2i

i

收敛，由柯西不等式得iinffiiiiiii

从而有不等式nfgf

ngiiia赫尔德不式[4]

。

nqpiiqiiniiiinpqnqpiiqiiniiiinpqppnqn1设

1

b(i),p1

满足

1

则：

i

1nabiiiiii

1q

，等号成立的充分必要条件是

i

i

,;

证明：首先证明

1时对任何正数A及B，有ABqp

q

.对凹函数

f

有：1APBlnApBqlnBqpqq

.令

k

1p

,B

kn

1q

,

代上不式于

,

，n个不等加.

k

abkk1n

1q

k

1a11kqqabiiii

即1nabbiiiiiii

1q

成立。等号成立的充分必要条件是：

aii

p

bii

q

,

即i

i例7

设

xx12

，求证：

xx2x12nnxx23

x1n

.思路分析注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明证明：因为

x1

,x,...,x2

0，故由柯西不等式得222x2(x)(n)x1xx.n)xx3n1

)n

所以

xx221nxxx231

x1n

.

3iii3333iii333例8知实数

,b,c，满足a

2

，求e的取值范围思路分析由

2

2

2

2

2

联想到应用柯西不等式.解因为

2

b

2

2

d

2)(

)即

2,a)4(16)(8

2

，e2

2即

，所以

(

，故

0

65

.评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目例9

xR12

满足

x21

222

，求

x131213

的最小值.解容易猜到

xxx123

1xx时，23122123

取最小值

332

.为了证明这一点，利用柯西不等式，得i

x3ix32)x21iii

，只需要证明

i

x(12ii

23等价于

233

3iiii

（）由几何—算术平均不等式，得22x22(1)(1)x533333

，同理可证，

22x2253(2)(2)x533333

，

3332nnnnnnn3332nnnnnnn22(3以上三式相加）式得证，进而证得

2)()x53333

，x1312113

的最小值是

32

，当且仅当

x1

x2

13

时。评述柯西不等式中的

ii

的如何拆成两个因式a和的积，可以说是应用此不等式的主要技巧（上例iiiii

x(12ii

23

，我们将

i

xi

中的x表示为i

i1i

和

3i

(1i

)

的积正因为

ii

可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.例10试问：当且仅当实数

x,xn2)01n

满足什么条是，在实数

y,...,01

n

使得z

20

21

2

n

成立其中

z

k

xk

k

i为虚数单位k=0,1,证明你的论（高中联赛1997思路分析：

z2202

2n

成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找x(ii

的范围.解将

z

20

1

22

2n

转化到实数范围内，即nx220k0kyk

（3-2）若存在实数

y,...,0

n

使（3-2）成立，则

x20

yy)0k

2

.k由柯西不等式可得

x22)(00k

2k

)

（3-3kk如果

x0

2k

，由（）可知

y20

2k

，从而k

kx220

x)(k

y

2k

)

与（3-3）矛盾k

nnnnniiiiinnnnniiiiiiii于是得

x0

x2k

（3-4）k反之若（）成立，有两种情况：⑴

x0

2k

，则取

yk

，k=0,1,2,…,n，显然（）成立.k⑵

x20

2k

，记

a

2

k

0

，则x1

不全为不妨设

kxn

，

k取

y0,1,2,...,n，并且取k

n

axnx2n

,n

nx2nn

.易知（）成立.综上，所求的条件为4切比雪夫不等

x20kk

.定理4设

xx,...,1n

，

yy1

n

为意组数，若

xx1n

且

yy1

n

或xx12n

且

yy1

n

，则1nni

1n1nxy)(y)nii

（）若

x1

xx2n

且

yy1

n

或

x1

x2n

且

yy1

n

，则1nni

1n1nxy)(y)nii

（4-2）当且仅当

x1

xx2n

或

y...y1