根与系数之间的关系

学习目标1.掌握一元二次方程的根与系数的关系；（重点）2.会用利用根与系数的关系解有关的问题.（难点）导入新课问题：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？做一做方程+02x2+3x-4

=0x2-2x=0x2-5x-6

=0·（1）先解方程，再填表：

由上表猜测：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=.

−16−4120-3-45-6讲授新课一元二次方程的根与系数的关系一

问题：对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ≥0时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？

当Δ≥0

时，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则又于是

根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定，得

这个关系通常被称为韦达定理.

这表明，当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.概念归纳即典例精析例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.解:(1)

(2)整理方程得，(3)整理方程得，

下列方程的两根和与两根积各是多少？⑴

x2－3x+1=0；⑵

3x2－2x=2；⑶

2x2+3x=0；⑷

3x2=1.

在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用x1+x2=－时，“－”不要漏写.注意练一练例2

已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2

.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一个根是，k=-7.一元二次方程的根与系数的关系的应用二已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5

.

由于x1·x2=1×5=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.方法归纳若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：

设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,(4)

.411412总结常见的求值:

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳当堂练习1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m

=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和

1，则：p=

,q=

.1-2-33.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根据根与系数的关系所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；

（2）因为k=-7,所以则：4.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根之差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=