2022高考数学复习第九章直线平面简单几何体（B）9(B)-8试题

第九章（B）第八讲时间：60分钟满分：100分一、选择题8×5＝40分1．四棱锥成为正四棱锥的一个充分但不必要的条件是A．各侧面是等边三角形B．极点在底面的射影在底面四边形的对角线的交点上C．各侧面三角形的顶角为45°D．各侧面是等腰三角形，且底面是正方形答案：A解析：当各侧面为正三角形时，底面为菱形，由侧棱相等，知极点在底面的射影为底面四边形的外心，因此菱形又必须成为矩形，因此底面为正方形，但正四棱锥侧面不一定是正三角形，应选A2．在斜棱柱的侧面中，矩形最多有几个A．2B．3C．4D．6答案：A解析：最多2个，若有3个，则底面有三条边与侧棱垂直，而三边中起码有两条相交，即底面一定存在两相交直线与侧棱垂直，与斜棱柱定义矛盾．应选A3．2022·四川，6如下图，已知六棱锥1C1F1F，相对棱间的距离为d，则a、m、h、d的大小关系正确的选项是A．a>m>h>dB．a>h>m>dC．a>h>d>mD．a>d>h>m答案：A解析：显然斜高大于高，即m>h，清除B、C、6．2022·郑州市高中毕业班第一次质量预测卷如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，1F1F1F1F1C1C1C1C1C1C1C1A1C1A1C1C1A1C，则B1M⊥平面ACC1A1，连接AM∠B1AM为所求角．不妨设棱长为2，则B1M＝错误!，AB1＝2错误!，∴in∠B1AM＝错误!＝错误!12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝错误!，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________．答案：错误!解析：∵AB＝BC＝错误!，∠ABC＝90°，∴AC＝2∴侧面展开后如下列图所示．A1E＝错误!AA1＝1，A1F＝A1B1＋B1F＝错误!，∴EF＝错误!＝错误!＝错误!把△A1B1C1与侧面A1B1BA展开如右图所示．连接EF，过E作EM⊥B1B，则EM＝AB＝错误!，FM＝1＋错误!，∴EF＝错误!，若把△A1B1C1与侧面A1ACC1展开如右图．连接EF，作EM⊥CC1于M，作FD⊥EM于D点，则ED＝错误!，FD＝错误!，∴EF＝错误!＝错误!比较以上三条路径，以第三条最小，∴EF间最短路径为错误!三、解答题4×10＝40分13．2022·陕西，18如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝错误!，∠ABC60°1求证：AB⊥A1C；2求二面角A－A1C－B的大小．解析：1证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，AB⊥AA1，在△ABC中，AB＝1，AC＝错误!，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC

ACB＝30°，AB⊥平面ACC1A1，又A1C?平面ACC1A1，∴AB⊥A1C2解：如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知

BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角．在Rt△AA1C中，AD＝错误!＝错误!＝错误!，在Rt△BAD中，tan∠ADB＝错误!＝错误!，∴∠ADB＝arctan错误!，即二面角A－A1C－B的大小为

arctan

错误!14．如图，三棱柱于底面，∠A1AB＝60°，

ABC－A1B1C1的底面是边长为M是A1B1的中点．

a

的正三角形，侧面

ABB1A1是菱形且垂直1求证：BM⊥AC；求二面角B－B1C1－A1的正切值；求三棱锥M－A1CB的体积．解析：1证明：∵ABB1A1是菱形，∠A1AB＝60°?△A1B1B是正三角形，错误!BM⊥平面A1B1C1错误!?BM⊥AC错误!?BE⊥B1C1，∴∠BEM为所求二面角的平面角，A1B1C1中，ME＝MB1·in60°＝错误!a，Rt△BMB1中，MB＝MB1·tan60°＝错误!a，∴tan∠BEM＝错误!＝2，∴所求二面角的正切值是23VM－A1CB＝错误!VB1－A1CB＝错误!VA－A1CB＝错误!VA1－ABC＝错误!×错误!×错误!a2·错误!a＝错误!a315．2022·广东汕头一模如下图，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且错误!＝错误!＝λ0<λ<1．1求证：无论λ为何值，总有EF⊥平面ABC；2若λ＝错误!，求三棱锥－的体积．ABEF解析：1证明：∵AB⊥平面BCD，AB⊥CD又∵在△BCD中，∠BCD＝90°，BC⊥CD∵又AB∩BC＝B，CD⊥平面ABC又∵在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且错误!＝错误!＝λ0<λ<1，∴无论λ为何值，都有EF∥CD，EF⊥平面ABC在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝错误!又∵AB⊥平面BCD，AB⊥BC，AB⊥BD又∵在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，AB＝BD·tan60°＝错误!，由1知EF⊥平面ABC，VA－BEF＝VF－ABE＝错误!S△ABE·EF＝错误!×错误!S△ABC·EF＝错误!×错误!×1×错误!×错误!＝错误!故三棱锥A－BEF的体积是错误!16．在四棱锥P－ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为2错误!的菱形，∠为菱形的锐角．求证：PA⊥CD；ADC12求二面角－－D的大小；PAB3求棱锥P－ABCD的侧面积；解析：1证明：如下图，取CD的中点E，由PE⊥CD，得PE⊥平面ABCD，连接AC、AEAD·CD·in∠ADC＝2错误!，AD＝CD＝2，∴in∠ADC＝错误!，即∠ADC＝60°，∴△ADC为正三角形，∴CD⊥AE∴CD⊥PA三垂线定理．2解：∵AB∥CD，∴AB⊥PA，AB⊥AE，∴∠PAE为二面角P－AB－D的平面角．在Rt△PEA中，PE＝AE，∴∠PAE＝45°即二面角P－AB－D的大小为45°分别计算各侧面的面积：∵PD＝