拉普拉斯变换及其性质

拉普拉斯变换及其性质演示文稿目前一页\总数三十二页\编于六点5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即

当函数

f

(t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数f

(t)e–t，使其满足条件则函数

f

(t)e–t

即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e–t

起着使函数

f

(t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛因子。2目前二页\总数三十二页\编于六点它是

+j的函数，可以写为

设函数

f

(t)e–t

满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有F(

+j)的傅里叶反变换为即5.1拉普拉斯变换3目前三页\总数三十二页\编于六点二．拉普拉斯变换的定义s=

+j，s为一复数变量，称为复频率。以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。5.1拉普拉斯变换4目前四页\总数三十二页\编于六点正变换反变换记作，称为原函数，称为象函数采用系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号所以5.1拉普拉斯变换5目前五页\总数三十二页\编于六点三拉氏变换的收敛域

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；5.1拉普拉斯变换6目前六页\总数三十二页\编于六点例信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)解:要使该式成立，必须有

>

–

，故其收敛域为全s平面，0=

–

。

>0时该式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，0=

0。

>0时上式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，0=

0。要使该式成立，必须有a+

>

0，即

>

–

a。故其收敛域为

–

a以右的开平面，0=

–

a。7目前七页\总数三十二页\编于六点四．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛

3.单位冲激信号8目前八页\总数三十二页\编于六点4．幂函数tnu(t)四．一些常用函数的拉氏变换9目前九页\总数三十二页\编于六点5．正余弦信号收敛域收敛域四．一些常用函数的拉氏变换10目前十页\总数三十二页\编于六点6．衰减的正余弦信号收敛域收敛域四．一些常用函数的拉氏变换11目前十一页\总数三十二页\编于六点5.2拉普拉斯变换的基本性质线性性质延时特性尺度变换特性复频移特性时域微分定理时域积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理卷积定理12目前十二页\总数三十二页\编于六点一．线性性质解：例：已知求的拉普拉斯变换若为常数则13目前十三页\总数三十二页\编于六点二．延时特性（时域平移）若则注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质14目前十四页\总数三十二页\编于六点例：已知求因为所以解：二．延时性质（时域平移）15目前十五页\总数三十二页\编于六点解：4种信号的波形如图例：已知单位斜变信号的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换二．延时性质（时域平移）16目前十六页\总数三十二页\编于六点只有信号可以用延时性质二．延时性质（时域平移）17目前十七页\总数三十二页\编于六点时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。

结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以

例：周期冲击序列的拉氏变换为二．延时性质（时域平移）18目前十八页\总数三十二页\编于六点例解：已知s)F((ttu(t)f求,1)-=解：例二．延时性质（时域平移）19目前十九页\总数三十二页\编于六点三．尺度变换时移和尺度变换都有:若则20目前二十页\总数三十二页\编于六点四．复频移特性（s域平移）若则例：求的拉氏变换解：21目前二十一页\总数三十二页\编于六点五．时域微分定理推广：若则22目前二十二页\总数三十二页\编于六点六．时域积分定理①②若则因为第一项与t无关，是一个常数23目前二十三页\总数三十二页\编于六点例：求图示信号的拉普拉斯变换

求导得

所以

解：六．时域积分定理24目前二十四页\总数三十二页\编于六点七．s域微积分定理若则取正整数证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得若则25目前二十五页\总数三十二页\编于六点七．s域微积分定理例解：因为所以26目前二十六页\总数三十二页\编于六点八．初值定理和终值定理若和拉氏变换存在，且则为真分式终值存在的条件:若的拉氏变换存在，且则初值定理

的所有极点有负实部终值定理初值存在的条件:当t<0时，f(t)=0，且f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项27目前二十七页\总数三十二页\编于六点由时域微分定理可知所以初值定理证明：所以八．初值定理和终值定理28目前二十八页\总数三十二页\编于六点终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式八．初值定理和终值定理29目前二十九页\总数三十二页\编于六点F(s)为真分式的所有极点有负实部八．初值定理和终值定理30目前三十页\总数三十二页\编于六点例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值

终值

初值终值

注意应用终值定理的条件是满足的。

解：八．初值定