步步高浙江新高考数学理科一轮复习配套练习53平面向量的数量积(含答案详析)

第3讲平面向量的数量积一、选择题abc知足ab且ac，则cab＝( )1．若向量，，∥⊥·(＋2)A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D．若向量a与b不共线，a·b≠，且c＝a－a·ab，则向量a与c的夹角为()20a·bA．0B.πC.πD.π632a·a解析∵a·c＝a·a－a·bb2a22＝a·a－a·ba·b＝a－a＝0，又a≠，c≠，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝π，应选D.002答案D3．若向量a，b，c知足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D．已知△为等边三角形，＝设点→→→→ABC＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，4AB2.P，Q知足AP→→3()．λ∈R.若BQ·CP＝－，则λ等于211±2A.2B.2C.1±10D.－3±2222解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴成立平面直角坐标系，则B(2,0)，，，由→→→→C(13)＝λAB，得P(2λ，0)，由AQ＝(1－λ)AC，得Q(1－λ，3(1－AP→→＝(－λ－1，3(1－λ))(2·λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3λ))，所以BQ·CP×3(1－λ)＝－312，解得λ＝2.]答案A5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )．A.2－1B．1C.2D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量能够求出，a2＝，b2＝，c211＝，由a·b＝，及a－c)(b－c≤，能够知道，(a＋b·c≥c2＝，因为10()0)1|a＋b－c2＝a2＋b2＋c2＋a·b－a·c－b·c，所以有|a＋b－c|2＝－|22232(a·c＋b·c)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案Bα·β6．对随意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若平面向量a，b知足β·β≥，与的夹角θ∈，π，且ab和ba都在会合nn∈Z中，则ab042||a||b|>0ab＝()．135A.2B．1C.2D.2解析由定义αβ＝α·βa·b|a||·b|cosθ|b|cosθβbaa|a||a|π|b|cosθ|b|cosθ1a·b|a||·b|cosθ∈0，4得0<|a|<1，进而|a|＝2，即|a|＝2|b|cosθ.ab＝b2＝|b|2|a|cosθ2π212＝|b|＝2cosθ，因为θ∈0，4，所以2<cosθ<1，所以2<cosθ<1，所以1<2cos2θ<2.联合选项知答案为C.答案C二、填空题7．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．解析∵|a－b2＝a2－a·b＋b2＝－×°＝，∴a－b＝7.3|69106cos607|3|答案78.已知向量a(3,2),a(3m1,4m)，若ab，则m的值为．解析ab,ab3(3m1)(2)(4m)0,m1答案19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC→→＝→→的值的中点，点F在边CD上，若AB·2，则AE·AFBF是________．解析以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴成立直角坐标系→→2，xOy，则AB＝(2，0)，AE＝(1)，→设F(t,2)，则AF＝(t,2)．→→∵AB·AF＝2t＝2，∴t＝1，→→所以AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2.答案210．已知向量a，b，c知足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2|c|2的值是________．解析由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，则a·c＝b·c＝－1，由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案4三、解答题11．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．设c＝4a＋b，求(b·c)a；若a＋λb与a垂直，求λ的值；求向量a在b方向上的投影．解(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，52λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝2.设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|aθ.|cos∴|a|cosθ＝a·b1×2＋2×－222|b＝2222＝－2＝－.|2212．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；设实数→→→＝0，求t的值．(2)t知足－tOC·(AB)OC解→→－1,1)，则(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(→→→→AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．→→，→→所以|AB＋AC＝－AC＝42.|210|AB|故所求的两条对角线长分别为42，210.→2，－→→(2)由题设知OC＝(－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．→→→＝0，由(AB－tOC·)OC得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，11进而5t＝－11，所以t＝－5.．设两向量1，e2知足|e1＝，2＝，1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e213e|2|e|1e与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解由已知得e12＝4，e22＝1，e1·2＝2×1×cos60°＝1.e∴(2te1＋7e2·1＋te2＝2222＋15t＋7.)1＋(2t＋7)e1·2＋7te2＝2t)(e2tee2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－1欲使夹角为钝角，需2.设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴2t＝λ，∴2t2＝7.∴t＝－14，此时λ＝－14.7＝tλ，214即t＝－2时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是14∪141－7，－2－2，－2.14．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，已知m＝cos3A，sin3A，ABCabc22n＝cosA，sinA，且知足＋＝22|mn|3.(1)求角A的大小；→→(2)若|AC|＋|AB|＝

→3|BC|，试判断△

ABC的形状．解(1)由|m＋n|＝3，得m2＋n2＋2m·n＝3，即＋＋3AA＋sin3AA＝，112cos2cos22sin23∴cosA＝1∵0<A<π，∴＝π2.A3.→→→(2)∵|AC|＋|AB|＝3|BC|