2022-2023学年上海市杨浦区重点大学附中高二（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年上海市杨浦区重点大学附中高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件2.用数学归纳法证明等式“”，当n=k+1时，等式左边应在n=A.2k+1 B.2k+33.已知α∈R，，设直线l：y=xtanα+m，其中m≠0，给出下列结论：

①直线l的法向量与向量a=(cosα,sinα)垂直；A.1个 B.2个 C.3个 D.0个4.已知曲线C：x|x|4+y|y|3=−1，对于命题：①垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点；A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若sinα=13，α是第二象限角，则6.已知a=(2,−1,3)7.若复数z=(1+mi)(28.计算______．9.已知f(x)=cos10.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石(精确到小数点后一位数字)11.已知f(x)=x+112.若双曲线x2a2−y2b213.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C14.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，以下结论正确的序号是______．

(1)−3是函数y=f(x15.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点，点P16.已知数列{an}为严格递增数列，且对任意n∈N，n≥1，都有an∈N且an≥三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题14.0分)

已知数列{an}的前n项和Sn=n2．

(1)求证：数列{a18.(本小题14.0分)

已知函数f(x)=ex−mx−1，常数m>0．

(1)若函数19.(本小题14.0分)

某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给困难家庭.此活动也为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1人，收益精确到1元)．

(1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；

(20.(本小题16.0分)

已知F1(−2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|−|PF2|=2，记点P的轨迹为Γ.斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A，B两点．21.(本小题18.0分)

设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．

(1)用t表示点B到点F答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键，属于基础题．

根据线面垂直的定义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：直线m⊥平面α，则直线m与平面α内所有直线，即直线m与平面α内无穷多条直线都垂直成立，

若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m⊥平面α也不一定成立，

即“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件，

2.【答案】C

【解析】解：当n=k(k∈N*)时，，

要证n=k+1时，，

可得当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的项为(2k3.【答案】B

【解析】解：对于①，直线l的法向量是，它与向量a=(cosα,sinα)垂直，故①正确；

对于②，当0<α<π4时，直线l的斜率是tanα，倾斜角是α，

直线y=x的斜率是1，倾斜角是π4，这两直线的夹角为π4−α，故②是真命题；

对于③，直线l的斜率是k=tanα，在y轴上的截距是m4.【答案】A

【解析】解：根据题意，当x≥0且y≥0时，曲线C为x24+y23=−1，不表示任何图形，

当x<0，y≥0时，曲线C为−x24+y23=−1，即x24−y23=1，为双曲线x24−y23=1在第二象限的部分，

当x<0，y<0时，曲线C为−5.【答案】−2【解析】解：因为sinα=13，α是第二象限角，

所以．

故答案为：−26.【答案】−6【解析】【分析】本题考查向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：a//b⇔a=λb，属于基础题．

利用向量共线的充要条件列出方程存在实数【解答】解：因为a=(2,−1,3),b=(−4,2,x)，且

7.【答案】−2【解析】解：z=(1+mi)(2−i)=2+m+(2m−1)i，

8.【答案】2

【解析】解：．

故答案为：2．

直接由无穷递缩等比数列所有项和公式求解．

本题考查无穷递缩等比数列所有项和的求法，熟记公式是关键，是基础题．

9.【答案】−2【解析】解：令u=2x，则y=cosu，u=2x；

10.【答案】169.1

【解析】解：根据题意，这批米内夹谷为

石)．

故答案为：169.1．

根据抽样比例求出这批米内夹谷的多少．

本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．

11.【答案】−1【解析】解：因为f(x)=x+1x=1+1x，

所以，

所以．

故答案为：12.【答案】13【解析】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±32x，

可得：ba=313.【答案】3【解析】解：构造三棱锥A−A1DB，并且有VA−A1BD=VA1−ABD，

因为VA1−ABD=13sh=13×12×1×1×114.【答案】(1【解析】解：当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，当x∈(−3,+∞)时，f′(x)≥0，

故−3是函数y=f(x)的极值点；−115.【答案】

【解析】解：由题意得O(0,0)，F(−1,0)，

设P(x,y)，则，

则16.【答案】66

【解析】解：根据题意，若aan=3n对任意n∈N，n≥1恒成立，则aa1=3，

又由an≥1，且数列{an}为严格递增数列，则a1=1或a1=2，

若a1=1，则有aa1=a1=3，两者相矛盾，不成立，故a1=2，

又由aan=3n，则a2=aa1=3，a3=aa2=6，a6=aa3=9，a9=aa17.【答案】(1)证明：已知数列{an}的前n项和Sn=n2，

则当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，

又当n=【解析】(1)由an=S1,n=1Sn−18.【答案】解：，f′(x)=ex−m，

因为函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=0，

所以f′(0)=0，即e0−m=0，

解得m=【解析】(1)求导得f′(x)=ex−m，由导数的几何意义可得切线斜率为f′(0)=019.【答案】解：(1)设第x天的捐步人数为f(x)，则且f(x)∈N*，

∴第5天的捐步人数为，

由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为5000，公比为1.15，

∴前5天的捐步总收益为元；

(2)设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，

若1≤x≤30，则，

解得舍)，

若x【解析】(1)设第x天的捐步人数为f(x)，由题意可知且f(x)∈N*，进而求出f(5)，再利用等比数列的前n项和公式求出前5天公司的捐步总收益即可；

20.【答案】解：(1)由|PF1|−|PF2|=2<|F1F2|知，

点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，

由c=2，2a=2，得b2=3，

故轨迹E的方程为x2−y23=1，(x≥1).…(3分)

(2)双曲线渐近线的斜率为±3，

∵斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A，B两点，

∴k<−3或k>3；

(3)由(1)得点F2为(2,0)

当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k(x−2)，A(x1,y1)【解析】(1)点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由此能求出轨迹E的方程．

(2)双曲线渐近线的斜率为±3，利用斜率为k的直线l过点F2，且与轨迹Γ相交于A，B两点，即可求斜率k的取值范围；

(3)先假设存在定点M，使MA⊥M21.【答案】解：(1)由题意可设B(t,22t)，

由抛物线的性质可知：|BF|=t+p2=t+2，∴|BF|=t+2；

(2)F(2,0)，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=3，

∴不妨设