高中数学人教高中必修第四章指数函数与对数函数幂函数

问题：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，所支付的钱p是关于w的函数；

(2)如果正方形的边长为a，面积为S,这里S是关于a的函数；(3)如果正方体的边长为a,正方体的体积为V,这里V是关于a函数;

(4)如果一个正方形场地的面积为S,这个正方形的边长为a，这里a是关于S的函数;

(5)如果某人t秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是v

，这里v是关于t的函数.

探究一：幂函数的概念思考1：上述5个问题中函数的对应关系分别是什么？思考2：上述5个问题中的函数有什么共同特征？

5个函数式的共同特征：

(2)底数是自变量；(1)指数是常数；(3)函数式前的系数都是1；探究：合作学习(4)形式都是，其中是常数.幂函数定义：

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，

是常数．(2)底数是自变量；(1)指数是常数；(3)函数式前的系数都是1；(4)形式都是，其中是常数（任意实数）.强调四点：思考3：幂函数和指数函数的区别是什么？

式子

名称

a

xy

指数函数:y=a

x

幂函数:y=x

a

底数指数指数底数幂值幂值判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数练习：在函数y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(

)A.0B.1C.2D.3y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1和y＝x0=1(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y＝1不是幂函数.B探究二：幂函数的图象和性质思考1.我们在前面学习指数函数和对数函数的性质时，用了怎么样的思路？研究幂函数的性质呢？思考2.画出函数(1)y＝x(2)y＝x2

(3)y＝x3(4)(5)y＝x－1的图象.

我们研究指数函数和对数函数时，根据图象研究函数的性质。由具体到一般，要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性。研究幂函数的性质也是如此。x-3-2-1012..941014...x-3-2-1012

x0124

x-3-2-1123公共点

单调性奇偶性值域定义域y=x-1y=x1/2y=x3y=x2y=x

奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(-∞,+∞)(-∞,+∞)(-∞,+∞){x|x≠0}［0,+∞)(-∞,+∞)(-∞,+∞){y|y≠0}［0,+∞)［0,+∞)x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减思考3：仔细观察函数图象，你能填写下面表格的内容吗？（1，1）（0，0）当a为奇数时,幂函数为奇函数,当a为偶数时,幂函数为偶函数.4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)思考4：从这五个具体的函数图象中，你能发现什么规律？X=1幂函数图象在第一象限的分布情况：＝11.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).2.a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在[0,+∞)上为增函数.3.

a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数，一定不过点（0,0）.4.幂函数的图象在直线x=1的右侧，a越大图像越在上方，在y轴与直线x=1之间正好相反。=0思考4：从这五个具体的函数图象中，你能发现什么规律？解（1）上是增函数，1.1<1.4∴

(4)取中间量，∵函数上是减函数

∴

∵函数上是增函数，

∴

（3）上是增函数，0.5<3∴幂函数性质的应用((

4;

)23505.9

)(.

1

1例3

比较下列各组中值的大小，并说明理由

3110.5.0)10

,)54)(

1.4,1.43(2;41,.1）（（2）上是增函数，,且1<1.5<1.7∴比较幂值大小关键是看指数相同还是底数相同，若指数相同利用幂函数的单调性；若底数相同，利用指数函数的单调性；若底数，指数都不相同，构造中间量。规律总结证明任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，4注意：若给出的函数是有根号的式子，往往采用分子有理化的方式。当堂测·查疑缺1.下列函数中不是幂函数的是(

)A.y＝ B.y＝x3C.y＝2x D.y＝x－1C3.已知函数

是幂函数,并且是偶函数，求m的值。4.比较下列各组中两个值大小2.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点

，则f(4)的值等于(

)2.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点

，则f(4)的值等于(

)D3.已知函数

是幂函数,并且是偶函数，求m的值。4.比较下列各组中两个值大小小结：一、幂函数的定义形如y=xα的函数叫幂函数。以自变量x为底数；指数为常数；自变量x前的系数为1；只有一项。二、幂函数与指数函数的区别：

看未知数x是指数还是底数若x是指数，则它是指数函数，如y=2x

若x是底数，则它是幂函数，如y=x2１.所有幂函数的图象都通过点