数字电子技术第章逻辑代数基础

第3章逻辑代数基础内容提要：（1）逻辑代数的基本概念（2）逻辑代数的运算规则（3）逻辑函数的代数化简法（4）逻辑函数的标准形式（5）逻辑函数的卡诺图化简法13.1概述主要内容：逻辑函数的基本概念

逻辑函数的表示方法

23.1.1逻辑函数的基本概念

逻辑代数提供了一种方法，即使用二值函数进行逻辑运算，使得用语言描述显得十分复杂的逻辑命题，使用逻辑代数语言后，就变成了简单的代数式，人们称为“逻辑函数”。逻辑函数

Y＝（A、B、C

········）33.1.2逻辑函数的表示方法

（1）逻辑表达式F=AB（2）真值表（3）逻辑电路图（4）卡诺图

（5）波形图

表3-1F=AB真值表ABF=AB000010100111F=AB逻辑电路图F=AB的波形图

43.2逻辑代数的运算规则

主要内容：逻辑代数的交换律、结合律和分配律逻辑代数的基本公式摩根定理及其不同形式逻辑代数的代入规则、反演规则和对偶规则53.2.1逻辑代数的基本定律

交换律结合律分配律1.A+B=B+A2.A•B=B•A4.A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C3.ABC=(AB)C=A(BC)5.A(B+C)=AB+AC6.A+BC=(A+B)(A+C)6公式1A·0=0A+1=1

公式2A·1=A

A+0=A公式3A·A=AA+A=A公式4公式5公式6 公式7

3.2.2逻辑代数的基本公式

73.2.3摩根定理

1.2.例3-1

应用摩根定理求解：反复应用摩根定理可得：83.2.4逻辑代数的三个规则

1．代入规则任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。2．反演规则对于任何一个逻辑式F，若将其中所有的“·”变成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是。这个规则叫做反演规则。9使用反演规则时应注意遵守以下两个原则：注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个变量上的反号下面的函数当一个变量处理。

例3-2

已知逻辑函数，试求其反函数。例3-3

已知,求10３．对偶规则对于任何一个逻辑表达式F，如果将式中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，原表达式中的运算优先顺序不变。那么就可以得到一个新的表达式，这个新的表达式称为F的对偶式F*。这个规则叫做对偶规则。

11例3-4

已知，求。例3-5

已知，求。

123.3逻辑函数的代数化简法主要内容：并项化简法吸收化简法消去化简法配项化简法各种化简方法的综合运用

133.3.1并项法

例3-7

化简下列函数

(利用的公式)

143.3.2吸收法例3-8化简

利用公式和

153.言3.槽3配项告法利用辣公式例3-柄9化简给某友一个城与项抬配项近，然温后将倦其拆季分成两纹项，降再和彩其它英项合懂并。利用透公式莲Ａ＋德Ａ＝镇Ａ，芹为某蚀项配熟上所港能合速并的赤项例3-辽10化简163.鞭3.主4消去嚼冗余恰项法利用虑公式7例3-船11化简解：17例3-进12化简解：实际隶应用哥中综浴合运拳用各辫种方旨法。18例3-京13化简解：(1葛)先求迷出F的对筐偶函进数,并对协其进劲行化奏简(2然)求的对疮偶函衣数，扇得F的最计简或续与表铁达式:19自测喷练习:化简芹如下圈逻辑判函数203.柱4逻辑状函数硬的标盯准形李式最小骨项与霜最大骂项的咽定义佩、性朗质和校相互际关系把逻私辑函呜数转泪换为尊标准赔与或现表达线式把逻裳辑函果数转热换为拢标准雹或与迅表达枯式两种告标准肌形式食的互抄相转娱换标准暖形式麦与真燥值表夫的互皆相转诱换主要荷内容：213.扭4.鼠1最小补项与进最大倦项最小办项的嚼定义拌：设有n个变垫量，悄它们男所组种成的痕具有n个变凶量的龟“与”项援中，捏每个颗变量里以原萌变量举或反浙变量末的形均式出青现一扒次，柄且仅男出现隶一次喂，这切个乘轨积项挖称为最小懒项。最小遭项的导符号耻表示舅：mi其中i的确熄定方情法：陪原变勇量用1表示他，反灰变量愉用0表示生所得锹二进辽制码泰的十密进制瓶数某个深最小菜项不全在逻己辑函谢数F中，左就在撒其反纸函数渴中。22例

求的反函数。23最大蛛项的命定义：设有n个变暂量，泊它们赴所组铅成的负具有n个变慰量的按“或”项隐中，送每个赢变量债以原道变量亦或反翠变量偿的形岛式出金现一爹次，饺且仅蛮出现持一次遮，这抄个“鄙或”杨项称返为最大忙项。最大浑项的宝符号掏表示皆：Mi其中i的确质定方般法：糖原变裕量用0表示寇，反里变量瓦用1表示镰所得躁二进辨制码冻的十诱进制毫数某个此最大签项不屈在逻筋辑函松数F中，漫就在咳其反耕函数捆中。24例

求的反函数。25最小烫项与拘最大缎项的扩关系下标i相同罢的最品小项绣与最尊大项龄互补手，即:如：净即拍为:。263.卧4.翠2标准诱与或到表达赏式任何词一个定逻辑捎函数灯都可寄以表拢示成索最小葱项之锐和的洞形式踢，称奴为标准潮与或镜表达械式。例3-熔14将互展开途为最址小项遍之和翅的形勉式。273.死4.热3标准槐或与途表达血式任何少一个宇逻辑晒函数决都可青以表翠示成拌最大垮项之桌积的附形式曾，称伐为标准爸或与良表达臂式。例3-取16将展开光为最艇大项愉之积皮的形馅式。例3-闻17将写成减标准拿或与闻表达拿式。283.亚4.壁4两种睬标准颠形式赚的相槽互转辜换对于涌一个n变量倒的逻赞辑函笋数F，若F的标括准与瓦或式愈由K个最小劝项相面或构猴成，虫则F的标你准或伐与式糊一定仓由通个怕最大雄项相予与构盾成。并且两对于螺任何傅一组坝变量甜取值悼组合石对应棒的序屡号i，若选标准学与或沙式中不含mi，则悲标准裁或与宋式中那一定含Mi。例3-站18将标煤准与袋或表则达式表示为标僚准或袋与表泰达式讽。293.凝4.霉5逻辑产函数舌式与嘱真值骡表的造相互躲转换（1）由打真值痒表求围对应刻的逻猪辑函券数表测达式如果卧给出酿了函添数的解真值兰表，乌则只聪要将函数刚值为1的那骑些最块小项液相加偶，便擦是函六数的冠标准咏与或留表达涨式；将函数旗值为0的那源些最嘴大项盯相乘累，便早是函棉数的慌标准础或与模表达贵式。ABCF最小项最大项00000101001110010111011101110100m0m1m2m3m4m5m6m7M0M1M2M3M4M5M6M730（2）由辆逻辑老函数黑表达茂式求亚对应暗的真拼值表其步求骤是归：首丈先在惠真值琴表中个列出狗输入档变量敬二进否制值羊的所况有可砌能取啄值组壤合；其次金将逻馅辑函众数的与或（或辟与）解表达词式转悄换为标准达与或（或全与）室形式关；最后固将构腔成标准途与或（或牺与）利形式当的每个登最小册项（最远大项饲）对疤应的灿输出纲变量句处填上1（0），其它阔填上0（1）。31自测讽练习P64323.怒5逻辑跪函数谷的卡纹诺图晋化简号法2变量间、3变量镰和4变量兆卡诺凝图与或榆表达龟式的业卡诺倚图表伯示与或拿表达搁式的师卡诺属图化么简或与展表达楼式的如卡诺删图化担简含无击关项息逻辑声函数解的卡冲诺图良化简多输勿出逻苍辑函召数的质化简主要云内容：333.芒5.谣1卡诺浅图卡诺煎图是觉一种痰描述拐逻辑仁函数顺的方格趣矩阵，每镰个方喷格代孔表一锄个最组小项准或最举大项匀。它和喇真值聋表相浓似，晕包含测了输坡入变里量的持所有者可能尾取值盛组合摔以及壶每种截取值草组合耻下的臣输出殃结果户，它相当啄于真最值表屿的一妇种特配殊输醉出列。34卡诺项图中想，方蕉格的喇数目动等于门最小历项或卵最大截项的落总数但。所览有方额格按照嚷格雷绞码顺膏序进行繁行和奋列的签排列恭，使辛得每币行和绍每列街的相甘邻方徐格之避间仅休有一蔑位变胀量发产生变猛化。BCA000111100m0m1m3m21m4m5m7m6CAB0100m0m101m2m311m6m710m4m53变量附卡诺国图35CDAB0001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m104变量锦卡诺戒图363.锣5.舞2与或径表达杂式的劫卡诺呜图表社示对于特标准胳形式禁的与摩或表近达式次来说拌，卡家诺图帐的表研示方发法是袖：把羞表达握式中纤的每一个或最小亭项所对能应的吊方格坐中填入1，其走余方凑格填入0，就扫得到锹了该椒逻辑勇函数率的卡膜诺图避。注虹意返变非量姿顺摧序贤！37BCA000111100011111101答刚案38CDAB00011110000000011100111111100110答酬案39首先腹化为一般寇的与俯或表假达式，然票后在贱卡诺床图上枣对每一个裁与项璃所包旺含的右那些密最小缝项（该潜与项董就是叠这些福最小犁项的脊公因钱子）陡相对眨应的我方格陶内填入1，其烘余的巴方格卵内填液入0。40变换否为与腊或表援达式ＡＤ所包含的那些最小项ＢＣ所包含的那些最小项413.单5.浙3与或怎表达够式的池卡诺由图化隆简卡诺么图化记简的分步骤第一微步：释对卡山诺图斥中的脸“1”进行吧分组指，并尾将每庭组用设“圈”围起摘来。悲根据尿以下慈规则置分组燃：（1）每喷个圈幸内只尾能含绣有2n（n=0僻,1躺,2堤,3寨,…硬.）个盘最小匀项。（2）圈害内的世每一瞧个最有小项航必须衡和该崇圈中挪的一象个或斜多个挂最小顿项逻比辑相垫邻，驰但该签圈中夕的所卫有最港小项集并不雅一定础必须糖相互旨逻辑升相邻补。（3）所弟有取梢值为1的方休格均膏要被刮圈过克，即筒不能屋漏下麦取值留为1的方分格。茄但它穿们可绝以多脾次被办圈。（4）圈球的个陈数尽碌量少盾，圈鄙内方仪格的姓个数筋尽可朵能多驾。第二社步：佩由每瓦个圈绑得到暴一个墙合并利的与照项。弯该与棚项由络该圈床中仅把仅以交一种喷形式宜（原想变量踩或者史反变摄量）蠢出现致的所彼有变谎量构明成。施即消卧去同恩时以图原变亦量和魄反变振量形塑式出厘现的歇变量火。攀即“留同移去变”。第三躲步：妈将上蒜一步价各合袜并与慈项相盾加，念即得婆所求横的最谜简“急与或鲁”表对达式鄙。42（1）任星何两黎个（21个）保标1的相鸦邻最稀小项栗，可未以合涛并为胀一项所，并稻消去斧一个美变量穷（消畏去互麦为反末变量酒的因臂子，誉保留劳公因舅子）涉。“留同昂去变”43（2）任背何4个（22个）醉标1的相厚邻最证小项斜，可虫以合圈并为钟一项谊，并政消去2个变案量。44BDＢＤＢＤＢＤ45（3）任递何8个（23个）晌标1的相魄邻最窝小项鲁，可锣以合勤并为葱一项仗，并捉消去3个变淡量。ＤＢ46例：用卡诺图化简逻辑函数画出养四变浑量的惭卡诺唱图47例化简Y(A,惊B,娘C,势D)=(拦0,鸦2,超3,请5,浸6,踏8,糟9,下10畜,1黑1,筐12赌,1乐3,汗14痰,1抽5)ABCD00011110000111101111111111111000A483.梨5.剪4或与船表达贼式的糊卡诺轨图化如简对于氏标准具形式族的或衰与表酷达式热来说掘，卡漆诺图足的表延示方爹法是烂：把户表达机式中窝的每一装个最霜大项所对躁应的守方格吩中填入0，其饺余方猪格填纳入1，就哭得到蚊了该粥逻辑延函数拉的卡屈诺图毁。49ABC0

10001111000001101例3-蠢27用卡亡诺图骑化简遵下面戏或与仪表达稻式。解：首先舟将上捕式转值换为欣标准角或与疲形式悉：。50或与糠表达傍式的乱其它拼化简码方法例3-造28用卡恒诺图肺化简诱下面向或与仍表达姓式。解：（1）求穿出上队式的刮反函剃数为包：（2）对易上述极反函晶数进龙行卡配诺图澡化简炎可得姥：（3）对壤上述题反函盆数再尽求反绪即得巡寿原函津数表胁达式权：513.盼5.捧5含无叮关项昆逻辑临函数阴的卡个诺图输化简有时娃在真报值表永内对谅应于让变量对的某底些取微值组雄合下组，函闲数的征值可暖以是任意衬的，或刘者这户些变齿量的蒙取值旱组合根本贼不会控出现。这侦些变打量的辽取值概组合锣所对棚应的咽最小邪项或丧最大葵项称搁为“无关奇项”或卸“任意屋项”。用符死号“d”、“×”或“φ”表示戏，它刘们的垃函数辽值可再以为彼“0”或“1”。使挡用无皆关项可有助渡于逻碑辑函层数的泳化简斥。含无垂关项勤的逻昆辑函株数有尿如下像几种件表示猛方法屡：（1）最胞小项边表达录式：（2）最侮大项序表达料式：52解:例3-宪30化简壶下列醉函数：F（A，B，C，D）=Σm（0，3，4，7，11）+Σd(8，9，12，13，14，15召)53本章幕小结1．逻平辑变艳量和饰逻辑过函数如果怀一个傻事物聪的发掏生与霸否只歉有完振全对雀立的倾两种柴可能馆性，结则可何将其饱定义岭为一吵个