湖南大学生机械振动习题第一章

机械振动理论于德介绪论

振动是日常生活和工程中普遍存在的现象，有机械振动、电磁振荡、光的波动等不同的形式。这里研究机械振动，如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝土振动捣实以至地震等。特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。掌握机械振动的基本规律，可以更好地利用有益的振动而减少振动的危害。

广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。机械振动电磁振动

振动有各种不同的形式一、振动工程的重要性

1.大型回转机械动态失稳造成事故2.桥梁由于共振、风激振动倒塌3.产品包装4.

汽车舒适性，航天工程5.机床加工质量6.夯士、振动检测国家重点工程:长江三峡水利枢纽工程,135米蓄水前中孔闸门振动试验现场(2003年4月应用锤击模态法)武汉大桥局桥科院、北方交通大学进行的“秦-沈线中华之星高速列车通过桥梁振动及结构应变试验”。中华之星高速列车设计时速260Km/h，实际测试时速321.5Km/h。大桥为28孔双线后张法预应力混凝土简支箱梁桥，梁顶宽12.4m，梁高2.2m，梁跨长24.6m。

案例：齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。二、动态问题特点1.复杂性：载荷作用的后效性，响应对载荷的记忆性

2.危险性：共振、自激振动（在无外力的激励情况下突然振动，振幅上升，如机床、轧钢机、飞机）、颤振

3.超常性：振动现象难以直观解释，如共振、调谐消振器三、工程振动问题类型

1.振动分析(已知输入,系统求输出)

2.系统识别(已知输入和输出求系统）

3.载荷识别(已知系统,输出求输入)四、振动现象分类

1.按系统分：线性、非线性

2.按响应分：定则、随机

3.按输入分：自由、强迫、自激（由系统反馈引起）、参数激励、（随机或周期改变系统特性）

4.按自由度分、离散、连续离散：常微连续：偏微本课程：线性、时不变系统。

第一章

单自由度系统自由振动1.自由功振动陈微分畅方程工程抛中许油多振费动可翅简化渡为一塔个质堵量和危一个绳弹簧撤的弹允簧质叠量系宽统，第系统在重闸力作弟用下脖沿铅乌垂方干向振啊动的巩，具胀有一有个自烈由度吹，简秆化为无图示疫模型渣。下面庙来分论析其轻运动分规律奔，先钱列出造其运所动微何分方胡程。一.单自翠由度镇系统锄的自蛙由振厅动在重疗力P=mg的作看用下弹簧金变形墓为δs，称写为静疑变形便，该霸位置猎为平要衡位权置。萌重力棍和弹电簧力堡。平衡刺时满慎足：设弹漏簧原才长为l0，刚性廉系数石为k。取重裂物的冬平衡蔽位置絮点O为坐织标原丽点，津取x轴的例正向伸铅直赵向下陕。受报力如赢图草。由质凶点运朽动微狮分方刑程可织列：弹簧高力F：表明蜂，物骗体偏伴离平幸衡位贤置于佣坐标x处，安受到贵与偏初离距浅离成吩正比按而与馋偏离扰方向筒相反盐的合搭力，剂称此谜力为纷恢复即力。在恢庭复力督作用思下维掉持的余振动牲称为群无阻斑尼自处由振汤动。重力烦加在怨振动朵系统忆上只捉改变研其平郑衡位膨置，吓只要皆将坐鲁标原纽奉点取僚在平并衡位船置，层可得油到如嫁上形扎式的膝运动饱微分尿方程仍。两端叔除以省质量m，并设移项惧后得:无阻劣尼自当由振举动微卵分方更程的饥标准晃形式是一盾个二雄阶齐什次线站性常范系数荷微分请方程拔。方程你解表帖示为伟：两个片根为溪：设：代入姑微分工方程眨，消笔去ert得特竖征方浊程：C1和C2是积袋分常盼数，瞒由运舍动的伪起始部条件励确定。则解艺为：设：其运伞动图节线为浴：表明绘：无似阻尼礼自由社振动筋是简钉谐振附动。x（t）=x（t+T）T为常纺数，跑称为模周期馅，单宋位符号为s。这种殊振动甩经过嚷时间T后又贪重复奴原来练的运猾动。考虑无阻水尼自隔由振增动微贡分方锹程角度揭周期描为2π，则有:则自蹦由振悄动的哭周期费为：解为欠：2.无阻视尼自抗由振穗动的黑特点（1）固有缘瑞频率无阻齐尼自跑由振党动是就简谐盗振动汉，是罗一种完周期版振动足，任似何瞬栽时t，其运乎动规拜律x（t）总可垮以写滨为:其中称为决振动饥的频率表示切每秒钥钟的租振动舒次数爱，其英单位趟符号染为1/s或Hz（赫兹京）。因为ωn=2πf所以ωn表示2π秒内黎的振描动次毫数，晌称为践圆频成率单位吉符号男为ra悲d/宗s（弧嘱度/秒）请。由可得闪：自由细振动伪的圆仰频率ωn只与消表征吹系统宣本身垮特性融的质紧量m和刚滴度k有关惹，而誓与运倦动的著初始牵条件与无关仆；它是傻振动突系统寨的固躺有的霸特性蛋，所介以称ωn为固捷有圆籍频率叼。固有蠢频率件是振思动理凳论中犬的重漂要概佳念，另它反唇映了窄振动歌系统辉的动帆力学时特性苏，计狡算系歌统的环固有狮频率食是研适究系员统振智动问狭题的很重要腾课题寒之一乘。由上式尽表明耽：上密述振突动系脾统，珠知道酱重力绒作用跑下的堵静变铜形，斩就可烘求得酬系统勤的固蔬有频芽率。如：迅我们案可以眯根据叙车厢好下面静弹簧辱的压参缩量柿来估匪算车化厢上容下振剖动的觉频率准。满载拖车厢网的弹脸簧静捏变形碧比空乘载车房诚厢大五，则炊其振呼动频咽率比骗空载关车厢挽低。（2）振惨幅与对初位况相谐振镜振动啦表达亦式A表示拔相对冰于振欧动中习心点O的最照大位湾移，酸称为都振幅。（ωnt+兽θ）称为净相位魄（或方相位波角）劲，相乔位决屑定了挎质点折在某港瞬时t的位科置，济它具席有角衣度的报量纲碌，而θ称为相初相堆位，粗它决秘定了招质点怨运动代的起余始位嗽置。自由片振动什中的怖振幅A和初她相位θ是两鸽个待桌定常礼数，缘瑞它们狼由运惨动的欠初始芹条件狡确定叶。设在块起始t=范0时，考物块荷的坐鱼标x=躲x0，速度v=乐v0。为求A和θ，将初趁始条林件代颂入以感上两屯式，巩得到得到绍振幅A和初清相位θ的表派达式药为：自由歉振动备的振旦幅和躬初相真位都晋与初葡始条如件有腹关。两端故对时迹间t求一两阶导站数，以得物盾块速拼度3.简谐锈振动顽(谐以振动)特点物体振动时，如果离开平衡位置的位移x(或角位移)随时间t变化可表示为余弦函数或正弦函数(1库).弹簧湾振子拥的振械动弹簧肢振子俘：弹缘瑞簧—棵物体萝系统平衡蔑位置喉：振源动物要体所艰受合拜外力为零朴的位跌置物体睡在平应衡位贴置的片两侧届，在社弹性仪恢复壶力和睛惯性谣两个知因素棋互相阁制约骄下，驳不断团重复怨相同片的运饼动过狐程。由胡鹊克定往律及茫牛顿狡第二魄定律搁可得兄物体系的瞬壶时加拔速度扣:谐振票动运缎动方肆程谐振吨动微傲分方抬程其通解为：（1昼）（花2）补两式垦均为隶物体认作谐会振动械的特鸣征表管述。(2)、弹融簧振目子的巩振动糊方程微分方程形式一个泥运动尘物体皮，它界的加军速度a与它俱离开座平衡增位置城的距饱离恒章成正看比而念反向芬那么困此物撒体一皂定作稼简谐奏振动绞。物体易离开周平衡决位置应后，庭总是己受到槐一个塞方向液指向攻平衡战位置船，大丈小与村物体戒离开剪平衡劣位置职的距探离成位正比体的力师的作碑用，叶则此增物体按一定雁在作混简谐板振动泪。--塌--却线性杂回复伐力运动学特征动力学特征上述脾谐振桨动的杀特征曾表述粪均等衬价。简谐庭振动竟特点调：

(1)等幅振动(2)周期振动简谐烂振动袭定义枣（判赖据）戚：描述环运动球的物融理量缓遵从框微分辜方程或运动方程为运动矮学特流征为维持运动物体所受合外力动力唱学特权征例：差判断践下列荡运动垫是否陡为简年谐振示动乒乓授球在认地面远上的盒上下焰跳动小球弃在半汉径很竖大的肿光滑彻凹球车面底盆部作消小幅乔振动mgO切向攻运动谐振旧动竖直惯方向雕悬挂交的谐驴振子yO光滑妥斜面衫上的物谐振北子mkX0mk速度速度也是简谐振动

比x领先/2加速龙度也是蜻简谐蛙振动简谐振动的速度、加速度toT(3酬).描述肢简谐动振动似的特腥征量奶--体-周窝期、赞振幅悦、相粉位a、周桨期T--哄--物体膨完成矮一次产全振烟动所蒙需时卧间。对弹宗簧振菌子：物体在单位时间内完成振动的次数。频率角频率b.振幅Ac.相位t+黄决定巴振动导物体奥的运狗动状俊态谐振葡动物躬体离杆开平冰衡位咸置的丽最大境位移封的绝偏对值艰。相位t+=0x=克Av=冲0a=圾-ω2A相位t+袖=责/2x=呈0v=荣-Aωa=尿0OAXOAX(t+)是t时刻佣的相膜位是t=0时刻植的相宾位末—惨初相(或.T).A

和三个特征量确定，则谐振动方程就被唯一确定。其中(或.T)由系统本身的性质决定A

和由初条件决定如图m=拍2×1仙0-2kg饮,弹簧雨的静浑止形港变为l=爷9.励8c愚mt=栏0时x0=-倍9.胳8c功m,盼v0=0泳⑴取开各始振夕动时浩为计哲时零仪点，写出辉振动燥方程廊；（2送）若刘取x0=0遥，v手>0为计端时零犬点，写出腥振动争方程央,并桑计算鼠振动秃频率。XOmx解：⑴确定咏平衡脂位置mg踏=kl取为陕原点k=津mg笼/l令向书下有布位移x,则f=征mg妈-k架(l升+x猎)=殊-kx作谐盏振动谈设振爱动方榨程为例题由初哭条件话得由x0=Ac逝os=练-0撤.0誓98翁<0估co慨s<支0,取=灭振动怪方程腰为：x=竹9.东8稻10-2co表s(刮10拒t+)m(2野)按都题意t=晚0时x0=0乳，v模>0x0=Ac洋os=候0汗,co碗s=裂0=励/麦2佳,3贡/袭2v0=-寸As宁in>得0侦,si牺n<0楚,取=脏3脖/2x=聚9.桑8那10-2co洪s(筋10抹t+胸3/气2)m对同流一谐章振动扑取不扰同的哥计时认起点不同耐，但、A不变XOmx固有乎频率例.如图遥所示狮，振联动系咱统由孝一刚枪度系这数为k的厘轻弹筐簧、妻一半恳径为R、转动朱惯量晓为J的靠定滑双轮和叉一质沫量为m的找物体樱所组趟成。鞋使物靠体略汤偏离五平衡觉位置疗后放带手，乡丰任其沾振动而，试绞证物哄体作沸简谐宫振动棕，并装求其手周期T.mm解：炕取位晴移轴ox渔，m在平素衡位洪置时授，设瓣弹簧悟伸长竖量为l，则mm当m有位沿移x时联立颂得物体作简谐振动单摆在角妹位移象很小义的时麦候，衬单摆趁的振动让是简单谐振肢动。草角频若率,浓振动的周英期分吐别为批：结论(4触)、摆巨动为m绕O点转动的转动惯量。复摆致（物速理摆轧）总结：复摆课的角邀谐振鞋动方李程：振动景的角首频率晨、周均期完勾全由疫振动系统别本身割来决可定。复摆坦的角鄙谐振臭动方盯程：单摆遗的角庄谐振碰动方单程：总结：Xt+oxt=tt=0x=Acos(t+)·参考圆(4胃)、浴谐振景动的脉旋转驳矢量误法(1泼)、竹旋转普矢量敢表示金法(2供).位相疫差a.比较洞两个嘉同频为率谐摩振动垫的振咳动步凝调x1=Acos(t+1)x2=Acos(t+2)

捞=(t览+2)-贴(t乓+1)=2-四1振动评（1洪）超饼前振拍动（栽2）/水6或振动型（2暮）超恐前振油动（雕1）尤11/丛61=2/发32=/确2X（1）（2）A-A-A/2-A/22当=2k,(清k榴=0堪,1啄,2碧,…身),两振蹦动步忧调相皇同,呈称同振相

同相和反相当=(2k+陆1),(慎k测=0切,1改,2保,…漫),两振粒动步彻调相絮反,伶称反租相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2+x1x2T同相若=2-1>0墙,则x2比x1较早杯达到加正最择大,把称x2比x1超前默(殊或x1比x2落后喝)。

超前和落后x2TxoA1-A1A2-A2x1t领先简、落挠后以足<的相懂位角纪来判塑断即x1比x2超前超前院时间t=郑赖/氧=汪普T/孔2b.比较玻同一丈振动唱不同杯时刻写的位夕相关潮系A-AtTxt1t2xOOt1t2=(t2+)-班(t1+)=述(t2-哑t1)振动塑状态痕（1聋）超符前振税动状戏态（激2）劈燕/3两振揪动状梳态间扬的时滥间间饭隔t=冻(/雄2)T=死T/墨6谐振喜动的声位移挂、速忠度、猎加速竿度之句间的浓位相竭关系toTavxT/4T/4由图棍可见戚：xt+ot=t·(1都).解析僻法(2革).曲线工法oxmx0=0=/2oA-AtxT由：已知表达式A、T、已知A、T、表达式已知曲线A、T、曲线已知A、T、简谐振动的描述方法：相位差对两同频率的谐振动=2-1初相差例题已知幻玉某简莲谐振哑动的虽速印度与很时间得的关捕系曲秘线如遮图所位示，稠试求紧其振调动方抗程。解：油方法财1用解绍析法匙求解设振动方程为故振晶动方授程为方法腿2：用旋愤转矢府量法特辅助肤求解秧。v的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位由图知5.谐振汤动的浑能量以弹便簧振币子为匪例谐振识动系醉统的极能量戴=系骗统的呼动能Ek+系统弄的势号能Ep某一朽时刻垄，谐贫振子泉速度戴为v，位移废为x谐振米动的桐动能方和势软能是术时间奔的周颠期性疗函数简谐斑振动贤系统末的能零量特语点:(1)动能(2)势能情况同动能。分析：分析：(3)机械能简谐崇振动榨系统安机械讽能守巾恒xtTEEpEk(1/2)kA2oEt由起尚始能困量求柜振幅a.由分析受力出发(由牛顿定律列方程)b.由分析能量出发(将能量守恒式对t求导)简谐振动的动力学解法6.同一星直线粒上谐昂振动寒的合项成振动丢迭加遣原理合振羡动的肆位移腐等于敌各个微分振科动位负移的握矢量砌和。(1住)、同李一直愁线上便两个雀同频狠率谐键振动而的合郊成：分振动:合振动:合振普动是秘简谐墙振动葱,陈其段频率堆仍为两种债特殊挂情况如A1=A2,则A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:合振值动不僚是简哲谐振华动式中随ｔ缓变随ｔ快变合振豪动可慢看作红振幅仁缓变匹的简丢谐振碌动(2)、续同一捷直线尘上两赖个不诞同频逗率谐握振动悬的合秆成分振动合振动当21时拍—英合振遇幅随权时间嘉作周壤期性茂变化红，振动吴时而罢加强趟，时旺而减叠弱的抚现象拍频六--浅单位璃时间刷内加劈燕强(吸或减雕弱)禾的次圈数xtx2tx1t例.质量膀为m=启0.碰5k政g的物者块，仗沿光湾滑斜茧面无秀初速避度滑珍下，瓣如图取所示任。当婶物块坑下落提高度h=辈0.发1m时撞令于无浴质量桌的弹逢簧上活并与兼弹簧展不再涨分离歼。弹伪簧刚讯度k=苗0.痛8kN扶/m，倾角ß=辅30福°，求此芽系统且振动是的固妨有频陷率和锅振幅腰，并往给出乡丰物块疗的运幸动方衡程。解：1)取质壶量弹吹簧系姿统物块顾于弹旋簧的芒自然篮位置A处碰闪上弹半簧。吴若物论块平累衡时泽，由衡于斜尚面的薄影响稳，弹偶簧应临有变防形量:2）以膊物块指平衡座位置O为原声点，挖取x轴如挣图。3）物番块在茎任意粱位置x处受息得力mg、斜面亭约束舅力FN和弹喂性力F作用表明碑斜面烧角β与物书块运乞动微鼓分方役程无间关。固有伤频率辣与斜死面倾肚角β无关歉。4）物扔块沿x轴的房诚运动店微分呼方程肆为固有咬频率此系伙统的滨通解齐为5）当壶物块边碰上留弹簧众时，涨取时和间t=应0，作为雄振动外的起段点，飘此时龙物块蚂的坐欠标即龟为初个位移毛：物块神碰上般弹簧庙时,初始稻速度旁为：得振绘幅及种初相疫位：则此夺物块卧的运卷动方挠程为鼻：解：1）此巴无重燥弹性只梁相矩当于阔一弹妻簧，俭其静亏挠度搭相当蠢于弹饰簧的臣静伸架长，鸣则梁幅的刚搬性系蓬数为2）重浑物在瓦梁上傍振动嘉时，弦所受竟的力穗有重江力mg和弹戚性力F，若取矩其平泥衡位区置为疮坐标缺原点态，x轴方茫向铅工直向更下。例.如图乒所示雾无重前弹性樱梁,当其去中部嗓放置很质量让为M的物灯块,其静部挠度尝为2m禾m。若将湿此物蹲块在败梁未赤变形着位置午处无牲初速丛释放,求系禾统的访振动烫规律暮。设则上偷式可鞋改写授为3）列捆出运邮动微真分方谢程为状：上述宋振动屿微分榴方程够的解固为其中侮圆频拳率在初体瞬时t=拉0，物块及位于稠未变济形的裹梁上耕，其谣坐标x0=-δst=-雁2m缓m，重物和初速υ0=0，初相此位则振秧幅为最后角得系狠统的匙自由杏振动击规律歌为：令（1）弹虾簧并阿联两个遗刚度醉分别价为k1、k2的弹弯簧并磨联。洽设物辆块在浆重力mg作用唯下平纱动，静其静获变形拳为δst，两个市弹簧欧分别而受力F1和F2，7.弹簧消的并扒联与挂串联keq称为角等效立弹簧逮刚性艇系数当两巾个弹宣簧并熔联时怀，其丙等效毒弹簧父刚度版等于钓两个冰弹簧贫刚度吨的和鲜。这丛一结明论也客可以舞推广沃到多险个弹遭簧并阻联的旨情形。平衡让时有育：并联坏系统另的固鼠有频进率为两个层弹簧袋总的染静伸允长（2）弹簧础串联两个枝刚性破系数仗分别蚕为k1、k2弹簧做串联屡系统缘瑞。每个绩弹簧行受的肢力都恩等于曲物块环的重驳量，灿因此杀两个叼弹簧赴的静扣伸长疫分别奖为：设串肿联弹廊簧系苏统的绪等效蓄弹簧气刚度帝为keq，则串联雅弹簧阁系统纲的固溜有圆甘频率醉为平衡聚时有妖：当两泥个弹预簧串支联时陈，其粘等效谨弹簧血刚度技的倒熊数等展于两范个弹酒簧刚苦度倒晃数的率和。苗这一堡结论肉也可雨以推跑广到驾多个跨弹簧均串联指的情俊形。比较锄上面拌两式匹得：部分刚构件核的刚谨度杆：蝇悬廉臂梁:简支资梁中毙点:等直分杆扭理转:猎J为极洁惯性券矩8.其它殃类型丹的单月自由旅度振刃动系块统除弹感簧与茶质量桥组成系的振葬动系径统外巷，工如程中屠还有篇很多精振动党系统闯，如瘦扭振室系统优、多航体系师统等蔬。图为贯一扭便振系狮统，搅其中淘圆盘娇对于区中心友轴的雅转动鸭惯量猎为JO，刚性锅固结魔在扭毫杆的乖一端子。扭杆悄另一知端固竟定，婆圆盘道相对捐于固猛定端登可扭指转一拜个角材度φ，扭杆吧的扭滔转刚晴性系汪数为kt，它表侄示使于圆盘德产生录单位昆扭角相所需萍的力办矩。令上式锐与无爹阻尼他微分丛方程素的标孕准形蔑式相暑同。根据塌刚体哈转动师微分飘方程覆可建庭立圆碍盘转最动的酱运动烟微分最方程催为：例.如图螺为一咽摆振稳系统六，杆娇重不隆计，贵球质唐量为m，摆对削轴O的转誓动惯毙量为J。弹簧到刚度沟为k，杆于旁水平拜位置辽平衡尊，尺纪寸如黑图。止求此流系统欧微小岔振动吊的运掠动微睁分方泛程及矿振动叛频率端。解：1）取芳系统2）受多力分室析有：以平虎衡位毁置为齿原点习，摆尼在任眨一小察角度掘处φ，弹簧云压缩平量为δ0+φ杯d。摆在掩水平旨平衡浑处，旺弹簧筛已有档压缩睛量δ0。由平狠衡方惕程：3）摆敞绕轴O转动脸微分考方程鸦：化为凝标准佩形式失的无忘阻尼腾自由暮振动脉微分絮方程以平显衡点南为原端点，患摆振生系统湖的运坝动微细分方川程也摆有无彻阻尼笔自由棉振动之微分蚀方程坟的标角准形骂式。列方绢程时哗，可穿由平洽衡位当置计作算弹湿性变扁形，莲而不搞再计旅入重姻力。摆振敬系统加的固吹有频容率为芹：能量饶法从阵机械枯能守吵恒定泼律出播发计咳算较贷复杂芒系统告的固占有频换率。图示胖无阻渗尼振拢动系拉统，概当系慌统作犁自由添振动抱时，捕物块挽的运遵动为巨简谐跳振动享。它的含运动吧规律哪可以垃写为殖：一个俘振动挡系统疾，确样定其浅固有稳频率昂非常鸣重要扮。通原过系炉统的绩振动毕微分彼方程览可以爷计算僚系统传的固夜有频贩率。另外驶一种孝计算厕固有夜频率杆的方驶法—能量佛法。二.计算葵固有毫频率古的能植量法速度铺为：在瞬织时t物块跨的动欲能为系统尾的势王能V为弹远簧势是能与裳重力览势能岂的和蓄，选盖平衡独位置民为零渐势能惭点，经有：可见腊，对叹于有僵重力泊影响居的弹呢性系吊统，偏如果雁以平缠衡位那置为垒零势贱能位垮置，搬则重番力势替能与励弹性拿力势丘能之次和相喂当于扁由平管衡位简置处树计算锈变形毛的单削独弹亚性力伙的势预能。当物桃块处任于偏矩离振牺动中暂心的耻极端泳位置瘦时，福其位丙移最云大，胆系统荒具有两最大税势能当物柏块处辽于平区衡位拳置时毛，其芦速度乒达到识最大冶，物胖块具集有最侄大动升能无阻探尼自权由振裤动系葵统是运保守侄系统崖，系孩统的烤机械逆能守恋恒。帐由机盯械能类守恒胶定律续，有赚：可得劝到系彻统的炼固有林频率：这个使原理兰可以图求出蚕其它喇类型独机械牧振动绘系统倦的固腾有频疯率。可列扁出系榨统的草运动腿微分妹方程潜，可助容易组得到让系统秀的固竭有频件率例如丛：图蹄示在枝水平管面匀翅速运陈动的虎均质喜圆柱葛质量产为m，半径朽为r，弹簧甩刚性孝系数谢为k，求系深统微肌振的肆固有挥频率蠢。取平移衡位型置微着系统狗原点喝，受汪力如密图由实际菜问题阔中由痕机械甲能守千恒，葡对保匀守系仰统，围由：例.在下孝图所或示振含动系赛统中惧，摆退杆AO对铰曲链点O的转居动惯尖量为J，在杆鲜的点A和B各安颠置一杀个刚堂度分硬别为K1和K2的弹房诚簧，掘系统攀在水易平位宵置处足于平萄衡，扭求系织统作示微振终时的续固有才频率凑。解：1）取饼摆杆逐为研阳究对堵象2）设躬摆杆AO作自顶由振蛙动时炸，其朴摆角φ的变摊化规吸律为则系果统振串动时选摆杆代的最侮大角遵速度3）计脑算最仪大动算能和棒最大尿势能最大要动能嗽为A最大卷势能祥等于杰两个泄弹簧剪最大眉势能电的和验：4）应蒜用机贸械能旁守恒梨定律：即：得固财有频填率：A例.如图债一质脉量为m、半径秀为r的圆损柱体警，在跃一半鬼径为R的圆蹲槽上锁作无篇滑动疗的滚寸动。顷求圆嘉柱体偶在平观衡位络置附裁近作持微小域振动捉的固厅有频猛率。由运铸动学典知，耗当圆则柱体宵作纯具动时箭，其闯角速羡度为句：解：1）取没圆柱沾为研凯究对粥象2）分行析运志动规扇律设t时刻卖，圆久柱体虏微振浊角为θ设θ的变遣化规骨律为3）计酱算系凭统机真械能圆柱奇在最阿低处露平衡沉，取驳该处颜圆心甘位置C为零除势能刚点，货系统晓的势讨能即赚重力员势能妖为系统价的动羡能：整理童后得盖：系统煮的最即大动弃能系统浇的最推大势岗能得系府统的俯固有做频率飞：4）应裤用机雀械能炮守恒仰定理三.固有社频率骄计算舟方法垒小结1.静变忌形法km2.能量眠法懂动能栏质点裤定吼轴转钱动J为转叼动惯睬量强平面仪运动虎势能巨弹性圣势能护重力哈势能能量辽守恒或例akm例弯设则mlka3.瑞利爱法命假设蚕振动磁形式邮例马：考陡虑弹叼簧质左量影挡响ukxm假定乔：质瓜量的劣位移痒为x时，旦离弹滑簧上胡端u处，料截面划位移详为更动经能为势能有例:悬臂望梁等寸效质虎量xm从材没力，协在梁截端作右用力P时截守面x处挠供度为假定全梁衫动能奥最大坑值乓势稼能最途大值系统载动能册最大崇值四.振动贯测试吓问题块已牺知m，测k，可从汁测蹄求得各。mkm,居k未知越，可摔先测堤，河再附粉加已乱知质私量m。测测弹能模E1.阻尼上节决所研歉究的蓬振动买是不耕受阻侄力作棚用的打，振副动的提振幅鄙是不戒随时塔间改派变的创，振没动过昂程将沫无限简地进搁行下支去。实际叨中的陪振动菌系统医由于烘存在辱阻力弯，而庸不断行消耗灭着振魄动的兰能量蛋，使棵振幅号不断杆地减浸小，摔直到疫最后醒振动倒停止庄。振动到过程训中的缝阻力旁习惯捞上称你为阻厕尼。五.单自洪由度穷系统写的有糠阻尼映自由做振动阻尼熊类型壮：1）介盼质阻习尼2）结敌构阻建尼3）库研仑阻稀尼当振演动速炒度不视大时均，介绍质粘态性引补起的偶阻力滴与速贩度一完次方性成正尘比，绩这种浙阻尼去称为理粘性染阻尼析。这种滴阻尼蛋实际峰上较辽多，烫这里脑将以镇此研势究。振动径系统林中存雅在粘状性阻型尼时际，经赏常用翁阻尼蹄元件c表示恋。比例叔常数c称为谋粘性听阻尼颜系数负号鼓表示寺方向设振踩动质题点的场速度制为为v，则粘解性阻蒙尼的床阻力FC可表贞示为：一般资的机压械振容动系歪统都援可以蒜简化个为：由惯掉性元厚件（m）弹性鸦元件喊（k）阻尼店元件吹（c）组成管的系谁统。下面色建立滥具有仆粘性司阻尼亚系统路的自千由振数动微六分方精程。当以贼平衡少位置O为坐猛标原野点，是建立棋此系蓬统的虑振动障微分段方程流时可猜以不虎再计付入重鹅力作展用。（2）粘谨性阻盘尼力Fc，方向培与速佛度方扒向相份反，2.振动百微分市方程振动脑过程悠中作衡用在乎物块忌上的效力有膀：（1）丘恢复岁力Fk，方向摘指向倚平衡悉位置O大小抹为：大小顾为：物块俩的微馋分方锅程为：整理溪得：它是搜一个燥二阶芦齐次酸常系份数线经性微滩分方澡程有阻肃尼自歇由振卸动微葱分方于程的妨标准晕形式该方耗程通理解为舰：其解大可设孔为：特征登方程：两个敢特征脸根为秒：两端报除以m，并令：当n<冒ωn时，阻尼投系数特征只根为寄共轭轰复数另，即轨：微分粉方程玻的解锋可以惜表示锤为：特征刚根为罩实数鼓或复军数时冒，运雁动规苗律有妻很大煤不同壁，因慨此下娱面按n<辈ωn，n>御ωn和n=让ωn三种乓不同剑情形混分别叹进行垃讨论猜。3.小阻涂尼情倍形阻尼访较小箱，称绿为小外阻尼对情形煤。A和θ为两叙个积虚分常虫数，肃由运确动的迎初始厦条件督确定或其中称有括阻尼抓自由猾振动阶的圆车频率当初瞬真时t=阔0，质点扑的坐纤标为x=涂x0速度v=南v0可求奸得有游阻尼孕自由迈振动掩中的植振幅哨和相携位：这种毙振动拜的振旋幅是掘随时悼间不宗断衰外减的宾，称秤为衰须减振值动。惯衰减嫩振动稍的运朵动图雹线如苏图所避示。由衰流减振驾动的迅表达炸式：这种宝振动碰不符软合周练期振饺动的鉴定义悉，所跳以不山是周幻玉期振产动。但这虚种振等动仍拒围绕训平衡普位置值的往沿复运师动，盈仍具临有振酒动的末特点这。我遣们将崖质点腊从一蒙个最您大偏获离位故置到耐下一错个最颠大偏陷离位连置所殃需的吧时间糊称为坛衰减律振动撞的周夸期，街记为Td，如上融图所失示。ζ称为姥阻尼舍比。丛它是竭振动匆系统皱中反恩映阻养尼特延性的断重要夫参数板。在扭小阻戏尼情计形下颂，ζ<1。有阻恼尼自卡由振仙动周穗期Td、频率fd和圆引频率ωd与相抵应的民无阻领尼自限由振缩慧动的T、f和ωn的关回系：表明勾：由迷于阻武尼的广存在弱，使除系统骡自由多振动两的周吨期增角大，艰频率紧减小精。当获空气钉中的姿振动嚷系统龟阻尼喷比比胸较小度时，酒可认箭为：其中些：ωd=ωn，Td=T经过耻