立体几何知识点总结

立几知点结、、、、的构征（）柱定：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表：用各顶点字母，如五棱柱

ABCDEB'C'

或用对角线的端点字母，如五棱柱

AD

'几特：两底面是对应边平行的等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；行于底面的截面是与底面全等的多边形。（）锥定：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表：用各顶点字母，如五棱锥

A

B'C'E几特：侧面、对角面都是三角；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距与高的比的平方。（）台定：用一个平行于棱锥底面平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表：用各顶点字母，如五棱台

P

'D'E'几特：①上下底面是相似的平多边形②侧面是梯形③棱交于原棱锥的顶点（）柱定：以矩形的一边所在的直为轴旋其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几特：①底面是全等的圆；②线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个形。（）锥定：以直角三角形的一条直边为旋转,旋转一周所成的曲面所围成的几何几特：①底面是一个圆；②母交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（）台定：一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几特：上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇环。（）体定：半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几特：球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于径。、间何的视定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影图从左向右俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。、间何的观——二画斜测法点①原来与x轴平行的线段仍然与x行且长度不变；②原来与y轴行的线段仍然与y平，长度为原来的一半。、体锥、体表积体积（）何的面为何各面面的。（）殊何表积式为底周，为高，为高l母）

ch直棱柱侧面积

圆柱侧

S

正棱锥侧面积

ch'

圆锥侧面积

rl

正棱台侧面积

12

()'12

Sr圆台侧面积

l

圆柱表

S

圆锥表

r

圆台表

rrlRlR

2

（）体锥、体体公Sh柱

V圆柱

r

V锥

13

Sh

V

13

hV(台

'

S

'

S)

V圆台

11(')33

(r

)

（）体表积体公：V

球

=

43

；=球面

R

、间、线平的置系（）面①平的念描性说明；平面是无限伸展的；②平的示通常用希腊字母α、、表，如平面（通常写在一个锐角内也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面。③点平的系点在面内记作A点不在平面内记作A点直的系点的线l上记作∈l；

点在直线l外记作l；直与面关：线l在面内记作l

α；直线l在平面α内记作l。（）理：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推：直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公及其推作：它是空间内确定平面的依据②是证明平面重合的依据（）理：如果一条直线的两点在一个面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应：验桌面是否平；断直线是否在平面内用号言示理：l,Bl,l（）理：果两个不重合的平面有一个公共,么它们有且只有一条过该点的公共直线符：面α和相交，交线是

a

，记作∩＝

a

。符语：A公的作用

BABPl①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（）理：平行于同一条直线的两条直互相平行（）间线直之的置系①异直定：同在任何一个平面内的两条直线②异直性：既不平行，又不相。③异直判：平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异直所角直线、b异面直线，经过空间任意一点，别引直线∥，b’∥b，则把直线a和’所成的锐或直角做面直线a和b所的角条异面直线所成角的范围0°，90°]，两条异面直线所成的角是直角，我们就说两异直互相直说）定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线判定定理（2在异面直线所成角定义中，空间一点是取的，而和点的置无关。

②求异面直线所成角步骤：A利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B证明作出的角即为所求角

、利用三角形来求角（）角理如一角两和一角两分平，么这角等互。（）间线平之的置系直线在平面有无数个公共点．：只有一个公共点直线不在平面内（或直线在平面外）三位关的号示

aaA//（）面平之的置系平行—没有公点α∥相交——有一条公共直线。∩＝、间的行题（）线平平的定其质线平的定理平面外一条直线与此平面内一条直线平,该直线与此平面平行。线线平行

线面平行线平的质理如一条直线和一个面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平

线线平行（）面平平的定其质两平平的定理（1如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平面平行（2如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行平行→面面平行（3垂直于同一条直线的两个平面平行，两平平的质理（1如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行平→线面平行）（2如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行平→线线平行）、间的直题（）线面、面直定①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直③平面和平面垂直果个平面相交成二面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角说两个平面垂直。

．．．．．．（）直系判和质理①面直定理性定判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面直判定和质理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个面。、间问（）线直所的①两平行直线所成的角：规定为

。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点，别作与两条异面直线a平行的直线

a

，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（）线平所的①平面的平行线与平面所成的角：规定为②平面的垂线与平面所成的角：规定为

0

。③平面的斜线与平面所成的角面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角做条直线这个平面所成的角。最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直它也与条斜线垂直。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角一作，二证，三计”。在作角时依定义关键作射影由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息斜线上一点到面的垂线过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（）面和面的面①二面角的定义条线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两面分别作垂直棱两条射线，两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角。垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，得两条交线，这条交线所成的角为二面角的平面角。垂线法：利用三垂线定理或者逆定理作出二面角的平面角。、间角标（）义如图，

ABCD11

是单位正方体.A原点，分别以

AD,

的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴z轴。这时建立了一个空间直角坐标系1A叫坐标原点2）x轴，y轴z轴做坐标.3过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（）手示：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向正方向，食指指向为y轴向，中指指向则为轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。（）意坐表示空间一点M的标可以用有序实数组(y,z)来示序实数组(xyz)叫做点M在空间直角坐标系中的坐标，记作(x,z)（x叫点M的坐标，叫做点M的坐标，z叫点M的坐）（）间点离标式

(xx)2)2()2121

2

【常见题型与路】【、行证方】1.线平的证方：①平行线的传递性：若

a////c

，则

c

。②平行四边形：平行四边形的对边平行。③中位线定理：三角形中位线定理和梯形中位线定理。④若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。符号语言：若

l//

l

，则l//m。⑤若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。符号语言：若

//

，则

//n

。⑥垂直于同一平面的两条直线平行。符号语言：若

mn则m//n。2.线平的证方：①若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。符号语言：若

ll，l

。②若两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。符号语言：若

//

l则l。③若平面外的两条平行线中的一条平行于平面，则另一条也平行这个平面。符号语言：若

m//n//则n

。3.面平的证方：①若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行论符号语言：若

,//

n

则//②若两个平面同时与一条直线垂直，则这两个平面平行。符号语言：若

ll则

。③若两个平面同时与一个平面平行，则这两个平面平行。符号语言：若

则【、直证方】1.线垂的证方：①定义：若两条直线的夹角为90°，则两直线垂直。②勾股定理逆定理：在ABC中，若

2AC22

，则

90，即ABAC③若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面里的所有直线。符号语言：若

lm

，则

l

。

④若直线垂直两平行直线中的一条，则也垂直另一条。符号语言：若

m//l

，则

l

。2.线垂的证方：①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号语言：若