解对初值的连续性和可微性

第三章一阶微分方程解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheorem

ofFirst-OrderODE2023/5/231常微分方程-重庆科技学院-李可人§3.3

解对初值的连续性和可微性

/Continuousanddifferentiabledependenceofthesolutions/

解对初值的连续性解对初值的可微性本节要求：

1了解解对初值及参数的连续依赖性定理；

2了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要§3.3Continuity&differentiability2023/5/233常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.1解对初值的对称性定理设f(x,y)于域D内连续且关于y满足利普希茨条件，是初值问题的唯一解，则在此表达式中，与可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式§3.3Continuity&differentiability2023/5/234常微分方程-重庆科技学院-李可人3.3.2解对初值的连续依赖性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，是初值问题的解，它于区间有定义，那么，对任意给定的，必存在正数，使得当时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且§3.3Continuity&differentiability2023/5/235常微分方程-重庆科技学院-李可人引理如果f(x,y)

在某域D

内连续，且关于y满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解在它们公共存在区间成立不等式其中为所考虑区间内的某一值。证明设在区间均有定义，令不妨设因此，有§3.3Continuity&differentiability2023/5/236常微分方程-重庆科技学院-李可人则于是因此，在区间[a,b]上为减函数，有§3.3Continuity&differentiability2023/5/237常微分方程-重庆科技学院-李可人对于区间则并且已知它有解类似以上推导过程，令注意到因此两边取平方根，得§3.3Continuity&differentiability2023/5/238常微分方程-重庆科技学院-李可人解对初值的连续依赖性定理的证明（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为，积分曲线段是xy平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆使在其内函数f(x,y)关于y

满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设为圆的半径，表示f(x,y)于内的相应的利普希茨常数。§3.3Continuity&differentiability2023/5/239常微分方程-重庆科技学院-李可人令则有且的边界与S的距离。对预先给定的若取则以S上每一点为中心，以为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域，且f(x，y)在D上关于y满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。§3.3Continuity&differentiability2023/5/2310常微分方程-重庆科技学院-李可人（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在这样的正数使得只要满足不等式则解必然在区间也有定义。由于D是有界闭区域，且f(x，y)在其内关于y满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为这时必然有§3.3Continuity&differentiability2023/5/2311常微分方程-重庆科技学院-李可人因为否则设则由引理由的连续性，对必存在使得当时有取则当§3.3Continuity&differentiability2023/5/2312常微分方程-重庆科技学院-李可人于是对一切成立，特别地有即点均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解在区间[a,b]上有定义。§3.3Continuity&differentiability2023/5/2313常微分方程-重庆科技学院-李可人在不等式中，将区间[c，d]换为[a，b]，可知，当时，有定理得证。§3.3Continuity&differentiability2023/5/2314常微分方程-重庆科技学院-李可人的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理假设f(x,y)于域G

内连续且关于y满足局部利普希茨条件，则方程§3.3Continuity&differentiability2023/5/2315常微分方程-重庆科技学院-李可人1.含参苏数的匠一阶棉方程侍表示2.一致地利普则希兹结条件设函承数一致罪地关于y满足局部箱利普雹希兹(L今ip浩sc妨hi泥tz竭)条件，为中慨心的京球榜，使堤得对葵任何其中L是与苗无关宾的正投数。在椅内存连续后，且召在积内即对谈内的吧每一己点垫都存识在以成立哭不等屠式§3.掘3Co快nt刺in酬ui蓄ty如&扰d咬if末fe害re壁nt送ia膊bi犬li山ty20谱23着/5泰/1辈916常微留分方稼程-重庆敲科技索学院-李可艺人由解哑的存纵在唯耀一性冠定理达，对转每一方程政的分解唯深一确淡定。惠记为§3.汁3Co股nt详in猛ui瓦ty佛&吩d喷if非fe浓re姿nt怕ia稳bi莫li疑ty20答23其/5葡/1缎917常微畅分方况程-重庆奴科技单学院-李可博人解对窝初值盈和参旗数的首连续匠依赖锦性定不理假设于域镇内连联续，声且在富内关苦于y一致捏地满晕足局敢部利垃普希念茨条制件，是方菌程册通军过点的解精，在宜区间那么六，对累任意互给定怎的毯，若必存置在正叙数时，敲方程夏满足杠条件条的写解在区肝间也有近定义们，并壶且有定纤义其中使得挂当§3.集3Co屡nt狭in甚ui聋ty驱&翼d谅if需fe牵re燥nt沙ia赤bi勉li唇ty20柿23武/5土/1悼918常微雷分方专程-重庆评科技仔学院-李可魔人的解马作鼠为砖的层函数辆在它听的存善在范怜围内驰是连蜂续的短。解对壶初值只和参移数的给连续认性定棍理假设于域芽内连语续，舱且在唉内关杏于y一致恼地满京足局情部利检普希辉茨条岗件，丢则方律程§3.饼3Co魄nt剩in糖ui材ty后&哥d介if盖fe扛re绢nt馋ia沾bi铁li深ty20嚷23捞/5贤/1蜘919常微性分方袋程-重庆之科技悲学院-李可罢人3.摇3.低3解对凑初值莲的可论微性身定理的解弊作旗为芒的福函数掩在它队的存煤在范质围内蚁是连创续可说微的忠。若函久数f(x,严y)以及箱都在糠区域G内连牛续，亏则方撒程§3.弄3Co喂nt深in救ui睬ty始&脾d救if其fe多re判nt叼ia够bi体li舌ty20决23步/5问/1很920常微织分方宣程-重庆堂科技届学院-李可镰人§3.由3Co捐nt劳in咳ui纽奉ty欣&帆d叶if垄fe煮re环nt吊ia交bi腰li纸ty20妈23帖/5们/1杨921常微酒分方物程-重庆浊科技仿学院-李可嗓人证明由在区为域G内连径续，季推知f(x,疗y)在G内关动于y满足艰局部赴利普宵希茨善条件迫。因飞此，降解对惯初值妨的连绑续性帝定理织成立亿，即下面雕进一夺步证带明对盛于函田数挤的存趋在范偶围内骄任一竹点的木偏导肚数在它巴的存袭在范性围内关于是连可续的腐。存在鸭且连观续。§3.滑3Co互nt标in租ui困ty哥&棵d絮if舅fe筝re颠nt厦ia金bi航li晴ty20稀23港/5糖/1世922常微牢分方居程-重庆挥科技轧学院-李可触人设由捕初值为足羡够小服的正吐数）钱所确尸定的厨方程免的解钟分别闹为即于是其中先证存在萝且连祥续。§3.墓3Co伙nt虑in熄ui辩ty扁&慰d惹if异fe校re狼nt耀ia孝bi凝li屋ty20财23冒/5冒/1脏923常微叼分方瓜程-重庆李科技糠学院-李可醋人注意汉到笋及的连惕续性竹，有其中阵具有罢性质类似塑地其中肚与渐具有时相同抓的性敞质，临因此辣对§3.有3Co热nt固in谁ui堵ty船&叛d的if米fe忌re蔬nt铸ia绩bi继li歼ty20叙23湿/5企/1丑924常微敢分方姜程-重庆勒科技礼学院-李可出人即是初绢值问阿题的解拨，在岗这里妈被枪视为赴参数耕。显然凭，当锅时上赢述初瘦值问倘题仍泉然有寒解。§3.搜3Co挑nt扰in单ui艇ty刊&萍d已if站fe朝re底nt平ia疮bi箩li锈ty20任23披/5塔/1爬925常微天分方舍程-重庆压科技虫学院-李可骨人根据魄解对权初值替和参供数的窑连续粮性定刚理，塌知是的连买续函熊数。注从而壶存在而是初榴值问握题的解顶。且，显河然的连栏续函裳数。它是§3.邮3Co桌nt摘in焰ui龙ty龄&术d殖if牺fe盈re拴nt趴ia撕bi聋li今ty20合23桨/5舞/1遇926常微孩分方嘱程-重庆炕科技照学院-李可瓶人再证存在术且连蜡续。为初孝值设所确哑定的反方程偏的解稳。类似钩地可抢推证是初辣值问跳题的解鸡。因途而§3.蹄3Co下nt峰in岔ui题ty蓄&怕d冤if预fe则re持nt自ia庸bi句li甲ty20忙23散/5脖/1跑927常微籍分方址程-重庆已科技必学院-李可叼人其中勇具有箭性质故有至于杀的愉存在删